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2024届四川省眉山一中办学共同体数学高一上期末统考模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知函数,且,,,则的值A.恒为正 B.恒为负C.恒为0 D.无法确定2.函数的零点个数为(
)A.1 B.2C.3 D.43.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为,则直线l的方程是()A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=04.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式(是素数),法国数学家马丁?梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式(是素数)的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于(参考数据:)()A. B.C. D.5.已知点P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则的最大值是()A. B.2C.4 D.6.函数的零点在A. B.C. D.7.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;③若,则与的终边相同;④若,是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是()A.1 B.2C.3 D.48.设为偶函数,且在区间上单调递减,,则的解集为()A.(-1,1) B.C. D.(2,4)9.要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度10.圆与直线相交所得弦长为()A.1 B.C.2 D.2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数,则当_______时,函数取得最小值为_________.12.若函数(常数),对于任意两个不同的、,当、时,均有(为常数,)成立,如果满足条件的最小正整数为,则实数的取值范围是___________.13.已知函数(1)当时,求的值域;(2)若,且,求的值;14.已知扇形的圆心角为,扇形的面积为,则该扇形的弧长为____________.15.已知,,则____________16.在平行四边形中,为上的中点,若与对角线相交于,且,则__________三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数(其中,,)图象上两相邻最高点之间距离为,且点是该函数图象上的一个最高点(1)求函数的解析式;(2)把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若恒有,求实数的最小值.18.某乡镇为了进行美丽乡村建设,规划在长为10千米的河流的一侧建一条观光带,观光带的前一部分为曲线段,设曲线段为函数,(单位:千米)的图象,且曲线段的顶点为;观光带的后一部分为线段,如图所示.(1)求曲线段对应的函数的解析式;(2)若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带,绿化带由线段构成,其中点在线段上.当长为多少时,绿化带的总长度最长?19.已知函数,(1)若,求函数的值域;(2)已知,且对任意的,不等式恒成立,求的取值范围20.已知函数满足:.(1)证明:;(2)对满足已知的任意值,都有成立,求m的最小值.21.已知函数为的零点,为图象的对称轴(1)若在内有且仅有6个零点,求;(2)若在上单调,求的最大值
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据题意可得函数是奇函数,且在上单调递增.然后由,可得,结合单调性可得,所以,以上三式两边分别相加后可得结论【题目详解】由题意得,当时,,于是同理当时,可得,又,所以函数是上的奇函数又根据函数单调性判定方法可得在上为增函数由,可得,所以,所以,以上三式两边分别相加可得,故选A.【题目点拨】本题考查函数奇偶性和单调性的判断及应用,考查函数性质的应用,具有一定的综合性和难度,解题的关键是结合题意得到函数的性质,然后根据单调性得到不等式,再根据不等式的知识得到所求2、B【解题分析】函数的定义域为,且,即函数为偶函数,当时,,设,则:,据此可得:,据此有:,即函数是区间上的减函数,由函数的解析式可知:,则函数在区间上有一个零点,结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.本题选择B选项.点睛:函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点3、C【解题分析】交点坐标为,设直线方程为,即,则,解得,所以直线方程为,即,故选C点睛:首先利用点斜式设出直线,由距离公式求出斜率,解得直线方程.求直线的题型,基本方法是利用点斜式求直线方程,本题通过距离公式求斜率,写出直线方程4、C【解题分析】根据两数远远大于1,的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.【题目详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,因此有.故选C【题目点拨】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.5、B【解题分析】,则,则的最大值是2,故选B.6、B【解题分析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值,当两个函数值符号相反时,这个区间就是函数零点所在的区间.【题目详解】函数定义域为,,,,,因为,根据零点定理可得,在有零点,故选B.【题目点拨】本题考查函数零点的判定定理,本题解题的关键是看出函数在所给的区间上对应的函数值的符号,此题是一道基础题.7、A【解题分析】根据题意,对题目中的命题进行分析,判断正误即可.【题目详解】对于①,根据任意角的概念知,第二象限角不一定大于第一象限角,①错误;对于②,根据角的定义知,不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关,②正确;对于③,若,则与的终边相同,或关于轴对称,③错误;对于④,若,则是第二或第三象限的角,或终边在负半轴上,④错误;综上,其中正确命题是②,只有个.故。骸咎饽康悴Α勘咎饪疾檎婕倜獾呐卸,考查三角函数概念,属于基础题.8、C【解题分析】由奇偶性可知的区间单调性及,画出函数草图,由函数不等式及函数图象求解集即可.【题目详解】根据题意,偶函数在上单调递减且,则在上单调递增,且函数的草图如图,或,由图可得-2<x<0或x>2,即不等式的解集为故。篊9、D【解题分析】化简得到,根据平移公式得到答案.【题目详解】;故只需向右平移个单位长度故。骸咎饽康悴Α勘咎饪疾榱巳呛钠揭,意在考查学生对于三角函数的变换的理解的掌握情况.10、D【解题分析】利用垂径定理可求弦长.【题目详解】圆的圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为,故弦长为:,故。篋.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、①.##②.【解题分析】根据求出的范围,根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.【题目详解】∵,∴,∴当,即时,取得最小值为,∴当时,最小值为.故答案为:;-3.12、【解题分析】分析可知对任意的、且恒成立,且对任意的、且有解,进而可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.详解】,因为,由可得,由题意可得对任意的、且恒成立,且对任意的、且有解,即,即恒成立,或有解,因为、且,则,若恒成立,则,解得;若或有解,则或,解得或;因此,实数的取值范围是.故答案为:.13、(1)(2)【解题分析】(1)化简函数解析式为,再利用余弦函数的性质求函数的值域即可;(2)由已知得,利用同角之间的关系求得,再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.【小问1详解】,,利用余弦函数的性质知,则【小问2详解】,又,,则则14、【解题分析】利用扇形的面积求出扇形的半径,再带入弧长计算公式即可得出结果【题目详解】解:由于扇形的圆心角为,扇形的面积为,则扇形的面积,解得:,此扇形所含的弧长.故答案为:.15、【解题分析】,,考点:三角恒等变换16、3【解题分析】由题意如图:根据平行线分线段成比例定理,可知,又因为,所以根据三角形相似判定方法可以知道∵为的中点∴相似比为∴∴故答案为3三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)最小值为4【解题分析】(1)由图象上两相邻最高点之间的距离为,可知周期,点是该函数图象上的一个最高点,可知,故,将点代入解析式即可得,函数解析式即可求得;(2)利用函数平移的性质即可求得平移后的函数,由恒有,可知函数在处取得最大值,即可求出实数取最小值.【小问1详解】根据题意得函数的周期为,即,故,∵点是该函数图象上的一个最高点,∴,即,将点代入函数解析式得,,即,则,又∵,∴,故.【小问2详解】∵函数,∴∵恒有成立,∴在处取得最大值,则,,得∵,,故当时,实数取最小值4.18、(1).(2)当OM长为1千米时,绿化带的总长度最长.【解题分析】(1)由题意首先求得a,b,c的值,然后分段确定函数的解析式即可;(2)设,由题意得到关于t的函数,结合二次函数的性质确定当长为多少时,绿化带的总长度最长即可.【题目详解】(1)因为曲线段OAB过点O,且最高点为,,解得.所以,当时,,因为后一部分为线段BC,,当时,,综上,.(2)设,则,由,得,所以点,所以,绿化带的总长度:.所以当时.【题目点拨】本题考查分段函数求函数值,要确定好自变量的取值范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.19、(1);(2)当时,;当且时,.【解题分析】(1)由题设,令则,即可求值域.(2)令,将问题转化为在上恒成立,再应用对勾函数的性质,讨论、,分别求出的取值范围【小问1详解】因为,设,则,因为,所以,即当时,,当或时,,所以的值域为.【小问2详解】因为,所以,又可化成,因为,所以,所以,令,则,,依题意,时,恒成立,设,,当时,当且仅当,,故;当,时,在上单调递增,当时,,故,综上所述:当时,;当且时,.【题目点拨】关键点点睛:应用换元法及参变分离,将问题转化为二次函数求值域,及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.20、(1)证明见解析;(2).【解题分析】(1)由二次不等式恒成立,可得判别式小于等于0,化简即可得证;(2)由(1)可得,分别讨论或,运用参数分离和函数的单调性,可求得所求的最小值.【题目详解】(1)证明:.即恒成立.则,化简得;(2)由(1)得,当时,,令,则,令在上单调递增,所以,所以;当时,,所以,此时或0,,从而有,综上可得,m的最小值为.【题目点拨】方法点睛:本题考查不等式的证明,以及不等式恒成立问题,常运用参变分离的方法,运用函数的单调性,最值的方法得以解决.21、(1);(2).【解题分析】(1)根据的零点和对称中心确定出的取值情况,再根据在上的零点个数确定出,由此确定出的取值,结合求解出的取值,再根据以及的范围确定出的取值,由此求解出的解析式;(2)先根据在上单调确定出的范围,由此确定出的可取值,再对从大到小进行分析,由此确定出的最大值.【题目详解】(1)因为是的零点,为图象的对称轴,所以,所以,因为在内有且仅有个零点,分析正弦函数函数图象可知:个零点对应的最短区间长度为,最长的区间长度小于,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,代入,所以,所以,所以,又因为,所以,所以;(2)因为在上单调,所以,即,所以,又由(1)可知,所以,所以,当时,,所以,所以,所以此时,因为,所以,又因为在时显然不单调所以在上不单调,不符合;当时,,所以,所以,所以此时,因为,所以,又因为在时显然单调递减,所以在上单调递减,符合;综上可知,的最大值为.【题目点拨】思路点睛:求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点:(1)结论突破:任意对称轴(对称中心)之间的距离为,任意对称轴与对称中心之间的距离为;(2)运算突破:已知在区间内单调,则有且;已知在区间内没有零点,则有且.
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