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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二(上）期末数学试卷(文科）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.)每小题中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在正确的位置。1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A,B,则“k=1”是“△ABC的面积为"的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．原命题为“若＜an，n∈N+，则｛an}为递减数列"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假3．已知命题p：?x＞0，总有（x+1)ex＞1,则￢p为（）A．?x0≤0,使得（x0+1）e≤1 B．?x0＞0，使得（x0+1)e≤1C．?x0＞0,使得（x0+1）e≤1 D．?x0≤0，使得(x0+1)e≤14．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．75．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．46．已知点A(2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则｜FM|：|MN｜=（)A．2： B．1：2 C．1： D．1：37．若曲线f(x)=x?sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于(）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．若函数f(x)=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f(﹣)=f() B．f(﹣）＞f（） C．f(﹣)＜f（) D．不确定9．命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()A．若α≠,则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=10．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0）,离心率等于，则C的方程是（)A． B． C． D．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题，逆否命题中至少有一个为真；②若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件;③若p是q的充要条件，则可记为p?q；④命题“若p则q”的否命题是“若p则￢q”．其中是真命题的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④12．函数f（x)=xe﹣x，x∈[0，4］的最大值是（）A．0 B． C． D．二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。)请将正确的答案填在横线上．13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的．14．p:?x0∈R,x02+2x0+2≤0的否定是．15．设函数f（x）在(0，+∞）内可导,且f（ex）=x+ex，则f′（1)=．16．已知F1（﹣1,0），F2（1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且｜AB|=3，则C的方程为．三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F1（﹣5，0）,F2（5，0)，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程．19．已知点A，B的坐标分别为(﹣5,0），（5,0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．20．已知集合A=，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB｜=．22．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f(x）在点（2,f（2)）处的切线方程．23．已知函数f（x）=ex，求f(x）的单调区间．24．已知函数f(x)=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A,曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x)的极值;(2）证明:当x＞0时，x2＜ex．

2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二（上）期末数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分.）每小题中，只有一项符合题目要求,请将正确答案填在正确的位置。1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A，B，则“k=1"是“△ABC的面积为”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】k=1时,圆心O到直线l的距离d=，|AB|=2，可得S△ABC=d｜AB|．反之不成立，例如取k=﹣1．即可判断出结论．【解答】解:k=1时,圆心O到直线l的距离d=，|AB｜=2=．∴S△ABC=d|AB|==．反之不成立，例如取k=﹣1．∴“k=1”是“△ABC的面积为”的充分不必要条件．故。築．2．原命题为“若＜an,n∈N+,则｛an}为递减数列”，关于其逆命题,否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系．【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜an=?an+1＜an，n∈N+,∴｛an｝为递减数列，命题是真命题；其否命题是:若≥an，n∈N+，则{an}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选:A．3．已知命题p:?x＞0,总有(x+1）ex＞1,则￢p为（)A．?x0≤0,使得（x0+1）e≤1 B．?x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．?x0＞0，使得(x0+1）e≤1 D．?x0≤0，使得（x0+1）e≤1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：?x＞0,总有(x+1)ex＞1,则￢p为：?x0＞0，使得(x0+1)e≤1．故。築．4．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为（)A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解:设所求距离为d,由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故选D．5．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（)A．2 B．2 C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵：﹣=1(a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F(c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为,∴d=，即,解得c=2，则焦距为2c=4,故。篊6．已知点A（2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则｜FM|：|MN｜=（)A．2： B．1：2 C．1： D．1：3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM｜．Rt△MPN中,根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM｜，进而算出｜MN｜=|PM｜,由此即可得到|FM｜：｜MN|的值．【解答】解：∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM｜=｜PM｜∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=,可得|PN|=2｜PM|，得|MN｜==|PM｜因此，，可得｜FM｜：｜MN｜=|PM｜：|MN|=1：故。篊7．若曲线f（x）=x?sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（)A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=xsinx+1在点处的导数值,这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率,然后根据两直线垂直的条件列方程求解a．【解答】解：f’（x)=sinx+xcosx，，即函数f(x)=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故选D．8．若函数f（x）=cosx+2xf′（）,则f(﹣)与f（）的大小关系是（）A．f(﹣）=f（) B．f（﹣）＞f(） C．f（﹣)＜f（） D．不确定【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式,然后比较f（﹣）与f()的大。窘獯稹拷：函数f（x）=cosx+2xf′（）,所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′(）=﹣sin+2f′()=，f（x）=cosx+x,则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+,所以f（﹣)＜f（）．故选C．9．命题“若α=，则tanα=1"的逆否命题是(）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=,则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题为:若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1,则α≠．故选C．10．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0),离心率等于，则C的方程是（)A． B． C． D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解:由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F(1，0），所以c=1，又离心率等于,即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题,逆否命题中至少有一个为真；②若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件；③若p是q的充要条件，则可记为p?q；④命题“若p则q"的否命题是“若p则￢q"．其中是真命题的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，原命题与其逆否命题同真假，；②,若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件;③,若p是q的充要条件,则可记为p?q；④,命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，．【解答】解:对于①，原命题与其逆否命题同真假,故正确；对于②，若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件，正确；对于③,若p是q的充要条件，则可记为p?q，正确;对于④，命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，故错．故。篈12．函数f（x）=xe﹣x,x∈[0,4］的最大值是（）A．0 B． C． D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数判断函数的单调性即可得出结论．【解答】解：f(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x），∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f(x）单调递增,当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）max=f（1)=．故选B．二、填空题：（本大题4小题,每小题5分，共20分.）请将正确的答案填在横线上．13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5,b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立,故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2"的必要不充分条件,故答案为：必要不充分条件．14．p:?x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定是?x∈R，x2+2x+2＞0．【考点】命题的否定．【分析】特称命题：?x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：把?改为?,其它条件不变，然后否定结论,变为一个全称命题．即?x∈R,x2+2x+2≥0"．【解答】解：特称命题:?x0∈R，x02+2x0+2≤0"的否定是全称命题：?x∈R，x2+2x+2＞0故答案为：?x∈R，x2+2x+2＞0．15．设函数f（x）在（0,+∞)内可导，且f（ex)=x+ex，则f′（1)=2．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f(x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′(1)．【解答】解：函数f（x)在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，令ex=t，则x=lnt，故有f(t）=lnt+t,即f（x）=lnx+x,∴f′（x）=+1，故f′(1）=1+1=2．故答案为：2．16．已知F1（﹣1，0），F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A,B两点，且|AB｜=3,则C的方程为=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0），根据题目条件得出a2﹣b2=1，①，=1，②由①②联合求解即可．【解答】解：设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0）∵可得c==1，∴a2﹣b2=1，①AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB｜=3，A（1,），（1,﹣），代入方程得出：=1，②联合①②得出a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1，故答案为：=1三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标,离心率，渐近线方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为，由此利用双曲线的性质能求出结果．【解答】解:把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为由此可知实半轴长a=4，虚半轴长b=3，，焦点坐标（0,﹣5），（0，5）,离心率，渐近线方程为．18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F1（﹣5，0），F2（5,0），双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用已知条件求出a,c，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：因为双曲线的焦点在x轴上,所以可设它的标准方程为，因为2a=6，2c=10，所以a=3,c=5，又因为b2=c2﹣a2所以b2=52﹣32=16，双曲线的标准方程为．19．已知点A,B的坐标分别为（﹣5，0)，（5，0），直线AM，BM相交于点M,且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程,去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0)，B（5，0)所以kAM=（x≠﹣5），kBM=（x≠5）由已知，?=﹣化简，得4x2+9y2=100（x≠±5）即．故答案为：．20．已知集合A=,p:x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件,求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据二次函数的性质求出A的范围，化简集合B，根据A?B,得到关于m的不等式,解出即可．【解答】解：化简集合，配方，得．因为，∴，化简集合B，由x+m2≥1，得x≥1﹣m2，B=｛x｜x≥1﹣m2},因为命p题是命题q的充分条件,∴解得或，故实数的取值范围是．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A,B两点，则|AB｜=12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率，写出过A,B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程,由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和,代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．【解答】解:由y2=3x,得2p=3，p=，则F（，0)，∴过A，B的直线方程为y=（x﹣）,联立，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1,y1)，B（x2，y2），则，∴|AB|=．故答案为：12．22．已知函数f（x)=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程x﹣y﹣4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（2）,再求得f（2）的值，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x)=x3﹣4x2+5x﹣4，得f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，又f（2）=﹣2．∴曲线f（x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y+2=1(x﹣2)，即x﹣y﹣4=0．故答案为：x﹣y﹣4=0．23．已知函数f（x）=ex，求f(x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到f′（x）＜0，从而判断出函数的单调性．【解答】解：f′（x）=（）′ex+（）ex=ex=﹣ex＜0,∴函数f（x）在R上单调递减．24．已知函数f(x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值;(2）证明：当x＞0时,x2＜ex．【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x)的极值;（2）构造函数g（x)=ex﹣x2，求函数的导数,研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜ex．【解答】解：（1）因为f（x)=ex﹣ax，所以f（0）=1,即A(0，1）,由f（x）=ex﹣ax,得f′(x）=ex﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．所以f（x)=ex﹣2x，f′（x)=ex﹣2．令f′（x)=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时,f′(x）＞0，f(x）单调递增．所以当x=ln2时,f（x）取得极小值，且极小值为f(ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4,f（x)无极大值．(2)令g(x）=ex﹣x2，则g′(x）=ex﹣2x．由(1)得g′(x)=f（x）≥f（ln2)＞0，故g（x）在R上单调递增，又g(0)=1＞0，因此，当x＞0时，g(x）＞g（0)＞0，即x2＜ex．

2017年3月21日