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济南市历城第四中学2023-2024学年数学高二上期末考试模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.三棱锥A-BCD中,E,F,H分别为边CD,AD,BC的中点,BE,DH的交点为G,则的化简结果为()A. B.C. D.2.阅读程序框图,该算法的功能是输出A.数列的第4项 B.数列的第5项C.数列的前4项的和 D.数列的前5项的和3.我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为,设张华第个月的还款金额为元,则()A.2192 B.C. D.4.若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.5.饕餮(tāotiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为,有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为()A. B.C. D.6.美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.7.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,直线与椭圆的另一个交点为,若为等腰三角形,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.8.在空间四边形OABC中,,,,点M在线段OA上,且,N为BC中点,则等于()A. B.C. D.9.若命题“对任意,使得成立”是真命题,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.10.圆C:的圆心坐标和半径分别为()A.和4 B.(-3,2)和4C.和 D.和11.下列椭圆中,焦点坐标是的是()A. B.C. D.12.过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P,为右焦点,若,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为_____14.已知点在圆上,点在圆上,则的最小值是__________15.已知椭圆,为其右焦点,过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为,则椭圆的方程为________.16.一个物体的运动方程为其中位移的单位是米,时间的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆的圆心在直线上,且经过点和.(1)求圆的标准方程;(2)若过点且斜率存在的直线与圆交于,两点,且,求直线的方程.18.(12分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.19.(12分)某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况,随机抽取200名用户,根据不同年龄段(单位:岁)统计如下表:分组频率/组距0.010.040.070.060.02(1)根据上表,试估计样本的中位数、平均数(同一组数据以该组区间的中点值为代表,结果精确到0.1);(2)按照年龄段从内的用户中进行分层抽样,抽取6人,再从中随机选取2人赠送小礼品,求恰有1人在内的概率20.(12分)已知中,内角的对边分别为,且满足.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在区间[-3,1]上最大值和最小值22.(10分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,(1)设,,,用向量表示,并求出的长度;(2)求异面直线与所成角的余弦值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】依题意可得为的重心,由三角形重心的性质可知,由中位线定理可知,再利用向量的加法运算法则即可求出结果【详解】解:依题意可得为的重心,,,分别为边,和的中点,,,故。篋2、B【解析】分析:模拟程序的运行,依次写出每次循环,直到满足条件,退出循环,输出A的值即可详解:模拟程序的运行,可得:
A=0,i=1执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,满足条件,退出循环,输出A的值为31.观察规律可得该算法的功能是输出数列{}的第5项.所以B选项是正确的.点睛:模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的A,i的值,当i=6时满足条件,退出循环,输出A的值,观察规律即可得解.3、D【解析】计算出每月应还的本金数,再计算第n个月已还多少本金,由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知:每月还本金为2000元,设张华第个月的还款金额为元,则,故。篋4、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点:椭圆的几何性质.点评:椭圆图形当中有一个特征三角形,它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.5、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件,然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件,最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,次跳动的所有基本事件有:(右,右,右)、(右,右,下)、(右,下,右)、(下,右,右)、(右,下,下)、(下,右,下)、(下,下,右)、(下,下,下),沿着饕餮纹的路线到达点的事件有:(下,下,右),故到达点的概率,故。築.6、A【解析】设圆柱的底面半径为,由题意知,,椭圆的长轴长,短轴长为,可以求出的值,即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长,短轴长,,故。篈【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解,属于基础题.7、B【解析】由椭圆定义可得各边长,利用三角形相似,可得点坐标,再根据点在椭圆上,可得离心率.【详解】如图所示:因为为等腰三角形,且,又,所以,所以,过点作轴,垂足为,则,由,,得,因为点在椭圆上,所以,所以,即离心率,故。築.8、B【解析】由题意结合图形,直接利用,求出,然后即可解答.【详解】解:因为空间四边形OABC如图,,,,点M在线段OA上,且,N为BC的中点,所以.所以.故。築.9、A【解析】由题得对任意恒成立,求出的最大值即可.【详解】解:由题得对任意恒成立,(当且仅当时等号成立)所以故。篈10、C【解析】先将方程化为一般形式,再根据公式计算求解即可.【详解】解:可化为,由圆心为,半径,易知圆心的坐标为,半径为故。篊11、B【解析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.【详解】对于A,椭圆的焦点在x轴上,A不是;对于B,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,B是;对于C,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,C不是;对于D,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,D不是.故。築12、D【解析】由题知是等腰直角三角形,,又根据通径的结论知,结合可列出关于的二次齐次式,即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形,且,,又,,即,,,即,解得,,.故。篋.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由已知求得母线长,代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1,h=,则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π故答案为2π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14、3-5【解析】因为点在圆上,点在圆上,故两圆的圆心分别为半径分别为和两圆的圆心距为,故两圆相离,则最小值为,故答案为.考点:1、圆的方程及圆的几何性质;2、两点间的距离公式及最值问题.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、两点间的距离公式及最值问题的应用,属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将解析几何中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题就是利用圆的几何性质,将的最小值转化两圆心的距离减半径解答的.15、##【解析】将代入椭圆的方程,可得出,可得出关于的等式,求出的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程.【详解】将代入椭圆的方程可得,可得,由已知可得,整理可得,,解得,所以,,因此,椭圆的方程为.故答案为:.16、5【解析】,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)设圆心,由题意得,,结合两点间的距离公式求解的值,则圆心与半径可求,圆的方程可求;(2)若直线的斜率不存在,设直线的方程为,符合题意,若直线的斜率存在,设直线方程为,即,由圆心到直线的距离与半径关系求得,则直线方程可求【小问1详解】解:(1)设圆心,由题意得,,,解得.圆心坐标为,半径.则圆的方程为;【小问2详解】解:(2)直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,,圆心到直线的距离,即,解得,得直线的方程为.18、(1);(2)存在,,.【解析】(1)根据椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,直接代入方程解方程组即可.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为,联立,根据,结合韦达定理运算,同时满足,则存在,否则不存在,当切线斜率不存在时,验证即可;在该圆的方程存在时,利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以,解得,所以,所以椭圆E的方程为.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为,联立得,则△=,即,,,要使,需使,即,所以,所以,又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,所以,则所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,,①当时,,因为,所以,所以,所以,当且仅当时取”=”.②当时,.③当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为,即:【点睛】思路点睛:1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则(k为直线斜率)注意:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式大于零19、(1)中位数为38.6,平均数为38.5岁;(2).【解析】(1)由中位数分数据两边的频率相等,列方程求中位数;根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数;(2)由分层抽样确定从中各抽4人、2人,列举出随机选取2人的所有组合,得到恰有1人在的组合数,即可求概率.【详解】(1)中位数在中,设为,则,解得.平均数为岁.所以样本的中位数约为38.6,平均数为38.5岁.(2)根据分层抽样法,其中位于中的有4人,记为,,,;位于中的有2人,记为,.从6人中抽取2人,有,,,,,,,,,,,,,,,共15种情况,恰有1人在内的有,,,,,,,,共8种情况,∴恰有1人在内的概率为.【点睛】关键点点睛:由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数;根据分层抽样确定各组选取人数,利用列举法求概率.20、(1)2;(2).【解析】(1)利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出,而,即可求出的值;(2)根据题意,由余弦定理得,再根据基本不等式求得,当且仅当时取得等号,即可求出面积的最大值.【小问1详解】解:由题意得,由正弦定理得:,即,即,因为,所以【小问2详解】解:由余弦定理,即,由基本不等式得:,即,当且仅当时取得等号,,所以面积的最大值为21、(1);(2)最大值为,最小值为.【解析】(1)求导,结合导数的几何意义列方程组,即可得解;(2)求导,确定函数的单调性和极值,再和端点值比较即可得解.【详解】(1)由题意,,因为曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,所以,,又当时,y=f(x)有极值,所以,所以;(2)由(1)得,,所以当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;又,,,,所以在[-3,1]上的最大值为,最小值为.22、(1);(2)【解析】(1)根据向量加减法运算法则可得,根据计算可得的长度;(2)根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】,因为,同理可得,所以【小问2详解】因为,所以,因为,所以所以异面直线与所成角的余弦值为
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