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3.2.3空间的角的计算1整理课件空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法,解题时,可用定量的计算代替定性的分析,从而防止了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题,也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的方法解决空间角的问题。2整理课件空间的角:空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角。
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时,就主要求范围内的角;
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角,再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况,线面角的范围也是;
两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。总之,空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。3整理课件异面直线所成角的范围:
思考:结论:一、线线角:4整理课件所以与所成角的余弦值为解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设则:
所以:例一:5整理课件练习:在长方体
中,简解:6整理课件直线与平面所成角的范围:
思考:结论:二、线面角:7整理课件例二:在长方体中,简解:所以~~~~8整理课件练习:
的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为1,9整理课件l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图,设二面角的大小为,其中DCBA三、面面角:①方向向量法:二面角的范围:10整理课件例三:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线〔库底与水坝的交线〕的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解:如图,化为向量问题根据向量的加法法那么有于是,得设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为11整理课件ll三、面面角:二面角的范围:②法向量法注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角12整理课件设平面
方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角13整理课件小结:1.异面直线所成角:
2.直线与平面所成角:
14整理课件lDCBA3.二面角:ll一进一出,二面角等于法向量的夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。15整理课件2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是n1=〔1,0,1〕,n2=〔0,1,1〕,那么这条斜线与平面所成的角是______.1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.3.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,E为PC中点,,那么PA与BE所成角的余弦值为_________.
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,那么AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.16整理课件2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=〔1,0,1〕,=〔0,1,1〕,那么这条斜线与平面所成的角是______.3、两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1),那么两平面所成的钝二面角为______.练习:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.600135017整理课件4.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,那么PA与BE所成角的余弦值为_________.
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,那么AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,那么二面角E-BC-A的大小是________18整理课件7.正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方体的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC;
(2)求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM19整理课件
解法一:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a,侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1,,则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F,则〈〉即为二面角的大小在中,即E分有向线段的比为20整理课件由于且,所以在中,同理可求∴cos〈〉=
∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE21整理课件解法二:同法一,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz
在坐标平面yoz中
设面的一个法向量为同法一,可求B(0,1,0)∴可。(1,0,0)为面的法向量
∴yxzCADBC1B1A1由得解得
所以,可取
二面角的大小等于〈〉
∴∴cos〈〉=
即二面角的余弦值为
方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角22整理课件8.①证明:以为正交基底,建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC;
(2)求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz23整理课件②B1A1C1D1DCBAOMxyz24整理课件习题课例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB(2)求证:PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD。AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABDO25整理课件例3如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?假设存在,确定点E的位置;假设不存在说明理由。DBACEP例4〔2006年福建卷〕如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,〔I〕求证:AO⊥平面BCD;〔II〕求异面直线AB与CD所成角的大。弧睮II〕求点E到平面ACD的距离。26整理课件1.正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方体的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC;
(2)求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM练习:27整理课件
解法一:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a,侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1,,则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F,则〈〉即为二面角的大小在中,即E分有向线段的比为28整理课件由于且,所以在中,同理可求∴cos〈〉=
∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE29整理课件解法二:同法一,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz
在坐标平面yoz中
设面的一个法向量为同法一,可求B(0,1,0)∴可。(1,0,0)为面的法向量
∴yxzCADBC1B1A1由得解得
所以,可取
二面角的大小等于〈〉
∴∴cos〈〉=
即二面角的余弦值为
方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角30整理课件8.①证明:以为正交基底,建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC;
(2)求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz31整理课件②B1A1C1D1DCBAOMxyz32整理课件例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB(2)求证:PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF33整理课件ABCDPEFXYZG解:如以下图建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG34整理课件ABCDPEFXYZG(2)求证:PB⊥平面EFD35整理课件ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。36整理课件ABCDPEFXYZ37整理课件38整理课件例2、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD。AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz39整理课件SABDOC证明:(1)取BC中点O,连接OA、OS。40整理课件(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为41整理课件例3如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?假设存在,确定点E的位置;假设不存在说明理由。DBACEPxzy42整理课件解:以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设BE=m,则43整理课件例4〔2006年福建卷〕如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,〔I〕求证:AO⊥平面BCD;〔II〕求异面直线AB与CD所成角的大。弧睮II〕求点E到平面ACD的距离。44整理课件解:〔I〕略〔II〕解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为
45整理课件〔III〕解:设平面ACD的法向量为那么令得是平面ACD的一个法向量,又所以点E到平面ACD的距离46整理课件例5、(2004,天津)如以下图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。(1)证明:PA//平面EDB;(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz47整理课件ABCDPEGxyz(1)证明:设正方形边长为1,那么PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点48整理课件(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为49整理课件
方向朝面内,方向朝面外,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角50整理课件1、如图,:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B-AS-O的余弦值OABCSxyz【练习】
51整理课件OABCSxyz1、如图,:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值52整理课件OABCSxyz1、如图,:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。求:(2)OS与面SAB所成角的余弦值所以OS与面SAB所成角的余弦值为53整理课件OABCSxyz所以二面角B-AS-O的余弦值为1、如图,:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。求:(3)二面角B-AS-O的余弦值54整理课件2、在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=〔1〕求MN的长;〔2〕a为何值时?MN的长最。俊3〕当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。ABCDEFMN55整理课件ABCDMNE56整理课件57整理课件3、如图,在棱长为的正方体中,分别是棱AB,BC上的动点,且。(1)求证:;(2)当三棱锥的体积取最大值时,求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF58整理课件O’C’B’A’OABCEF图659整理课件
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