kok电子竞技

辅助圆问题1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值为.第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为.第2题图3.如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝eq\f(1,3)AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.第3题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点(点D不与点B，C重合)，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为.第4题图5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于Ｗ.第5题图参考答案1.eq\r(10)－1【解析】∵四边形ABCD为矩形，点M为AD的中点，∴如解图，以点M为圆心，以AM长为半径画圆，连接MC与⊙M相交于点A′，此时A′C最。逜B＝DC＝3，MD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC＝1，∴MC＝eq\r(MD2＋DC2)＝eq\r(10).∵MA′＝MA＝1，∴A′C＝eq\r(10)－1.第1题解图2.eq\r(3)－1【解析】如解图①，根据翻折可知，BC＝BF，∴点F的运动轨迹在以点B为圆心，BC长为半径的半圆弧CG上．∵点E为AC的中点，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2，BC＝BF＝eq\r(3)，∴BE＝eq\f(1,2)AC＝1，∵BE＋EF≥BF，∴如解图②，当且仅当点B、E、F共线，且点E在线段BF上时，线段EF取得最小值，此时EF＝BF－BE＝eq\r(3)－1.图①图②第2题解图3.eq\r(19)－1【解析】∵菱形的边长AD＝3，AM＝eq\f(1,3)AD，∴AM＝eq\f(1,3)×3＝1，MD＝2.如解图，以点M为圆心，MA长为半径作⊙M.由折叠得MA＝MA′＝1.∴点A′在⊙M上．连接MC交⊙M于点A1.当点M、A′、C不在一条直线上时，则在△MA′C中，A′C＞|MC－MA′|，即A′C＞|MC－1|.当点M、A′、C在一条直线上时，A′C＝|MC－MA′|，即A′C＝|MC－1|.∴折叠过程中，A′C≥|MC－1|.∴A′C的最小值为|MC－1|.过点M作ME⊥CD交CD的延长线于点E.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠MDE＝∠MAB＝60°.在Rt△MDE中，sin∠MDE＝eq\f(ME,MD)，cos∠MDE＝eq\f(DE,MD).∴ME＝MD·sin∠MDE＝2×sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).DE＝MD·cos∠MDE＝2×cos60°＝2×eq\f(1,2)＝1.∴CE＝ED＋CD＝1＋3＝4.在Rt△MCE中，由勾股定理得MC＝eq\r(ME2＋CE2)＝eq\r(（\r(3)）2＋42)＝eq\r(19).∴A′C的最小值为|eq\r(19)－1|＝eq\r(19)－1.第3题解图4.eq\f(3,2)或eq\f(3,4)【解析】由题意可得，点C和点E在以线段AD为直径的圆上，如解图①，点E与点F重合时，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－32)＝4.由翻折的性质可知：AE＝AC＝3，DC＝DE，则EB＝2，设DC＝DE＝x，则DB＝4－x，在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2.解得：x＝eq\f(3,2)，∴DF＝DE＝eq\f(3,2).如解图②，∠EDB＝90°时，由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形．又∵AC＝AE，∴矩形ACDE为正方形，∴CD＝AC＝3，∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA.∴eq\f(DF,CA)＝eq\f(DB,CB)＝eq\f(1,4)，即eq\f(DF,3)＝eq\f(1,4).解得：DF＝eq\f(3,4).点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，而AE＝AC<BC，故∠DBE不可能为直角．故答案为：eq\f(3,2)或eq\f(3,4).图①图②第4题解图5.eq\f(5,2)或10【解析】由题意可得，点B′在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．①如解图①，当点P在线段BC上时，过A，C分别作AD∥BC，CD∥AB两线交于点D，则四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，过B′作B′F⊥BC于点F，延长FB′交AD于点E，则AD⊥EF，∵点B′落在线段BC的垂直平分线上，∴AE＝BF＝eq\f(1,2)BC＝4，∵将△ABP沿AP折叠得到△AB′P，∴AB′＝AB＝5，BP＝B′P，∵EB′＝3，∴B′F＝2，∴PF＝4－PB，∵在Rt△B′PF中，B′P2＝PF2＋FB′2，∴BP2＝(4－BP)2＋22，解得BP＝eq\f(5,2)；第5题解图①②如解图②，当点P在BC的延长线上时，过A，C分别作AD∥BC，CD∥AB两线交于点D，则四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，过B′作B′F⊥BC于点F，交AD于点E，则AD⊥EF，∵点B′落在线段BC的垂直平分线上，∴AE＝BF＝eq\f(1,2)BC＝4，∵将△ABP沿AP折叠得到△AB′P，∴AB′＝AB＝5，BP＝B′P，∴EB′＝3，∴B′F＝8，∴PF＝BP－4，∵在Rt△B′PF中，B′P2＝PF2＋FB′2，∴BP2＝(BP－4)2＋82，解得BP＝10；综上所述，BP的长等于eq\f(5,2)或10.第5题解图②