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贵州省贵阳附中2024届数学高一上期末经典试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行2.下列结论中正确的是A.若角的终边过点,则B.若是第二象限角,则为第二象限或第四象限角C.若,则D.对任意,恒成立3.若函数,则的单调递增区间为()A. B.C. D.4.下列函数既是奇函数,又是在区间上是增函数是A. B.C. D.5.下列说法正确的是()A.若,,则 B.若a,,则C.若,,则 D.若,则6.已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有2个元素,则()A.k≥4 B.k>4C.k≥8 D.k>87.已知角的终边经过点,则的值为A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则()A. B.C. D.9.已知圆锥的底面半径为,当圆锥的体积为时,该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A. B.C. D.10.若直线与直线互相垂直,则等于(
)A.1 B.-1C.±1 D.-2二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11.由直线上的任意一个点向圆引切线,则切线长的最小值为________.12.若a∈{1,a2﹣2a+2},则实数a的值为___________.13.已知函数f(x)=lg(x2+2ax-5a)在[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围为______14.已知函数为奇函数,则______15.已知函数则的值为_______三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.若函数是定义在实数集上的奇函数,并且在区间上是单调递增的函数.(1)研究并证明函数在区间上的单调性;(2)若实数满足不等式,求实数的取值范围.17.已知为奇函数,为偶函数,且.(1)求及的解析式及定义域;(2)如果函数,若函数有两个零点,求实数的取值范围.18.已知函数,其中,且.(1)若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;(2)在(1)的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.19.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)求证:MN⊥平面A1BC;(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大。20.已知函数,其中.(1)当时,求的值域和单调区间;(2)若存在单调递增区间,求a的取值范围.21.如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,CD=23,∠DAB=∠CDB=θ,0<θ<π2,∠ADB=π(1)求四边形ABCD面积的最大值;(2)求DA+DB+DE的取值范围
参考答案一、选择题(本大题共10小题;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意,请将正确选项填涂在答题卡上.)1、C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.2、D【解析】对于A,当时,,故A错;对于B,。堑诙象限角,为第三象限角,故B错;对于C,因且,故,所以,故C错;对于D,因为,所以,所以,故D对,综上,选D点睛:对于锐角,恒有成立3、A【解析】令,则,根据解析式,先求出函数定义域,结合二次函数以及对数函数的性质,即可得出结果.【详解】令,则,由真数得,∵抛物线的开口向下,对称轴,∴在区间上单调递增,在区间上单调递减,又∵在定义域上单调递减,由复合函数的单调性可得:的单调递增区间为.故。篈.4、A【解析】对于,函数,定义域是,有,且在区间是增函数,故正确;对于,函数的定义域是,是非奇非偶函数,故错误;对于,函数的定义域是,有,在区间不是增函数,故错误;对于,函数的定义域是,有,是偶函数不是奇函数,故错误故选A5、C【解析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A:令,;,,则,,不满足,故A错误;B:a,b异号时,不等式不成立,故B错误;C:,,,,即,故C正确;D:令,,不成立,故D错误.故。篊6、D【解析】首先确定集合A,由此得到log2k>3,即可求k的取值范围.【详解】∵集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有2个元素,∴A={2,3},则log2k>3,可得k>8.故。篋.7、C【解析】因为点在单位圆上,又在角的终边上,所以;则;故选C.8、A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出,然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边,且终边与单位圆交于点,所以,则.故。篈.【点睛】当以为始边,已知角终边上一点的坐标为时,则,.9、A【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值,结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.【详解】如图,根据圆锥的性质得底面圆,所以即为母线与底面所成角,设圆锥的高为,则由题意,有,所以,所以母线的长为,则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.故。篈【点睛】本题考查了圆锥的体积,线面角的概念,考查运算求解能力,是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角,再根据几何关系求解.10、C【解析】分类讨论:两条直线的斜率存在与不存在两种情况,再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可【详解】解:①当时,利用直线方程分别化为:,,此时两条直线相互垂直②如果,两条直线的方程分别为与,不垂直,故;③,当时,此两条直线的斜率分别为,两条直线相互垂直,,化为,综上可知:故选【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法,属于基础题二、填空题(本大题共5小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11、【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.【详解】圆心坐标,半径要使切线长最。蛑恍枰愕皆残牡木嗬胱钚。耸弊钚≈滴残牡街毕叩木嗬,此时,故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,同时考查了点到直线的距离公式,属于基础题.12、2【解析】利用集合的互异性,分类讨论即可求解【详解】因为a∈{1,a2﹣2a+2},则:a=1或a=a2﹣2a+2,当a=1时:a2﹣2a+2=1,与集合元素的互异性矛盾,舍去;当a≠1时:a=a2﹣2a+2,解得:a=1(舍去)或a=2;故答案为:2【点睛】本题考查集合的互异性问题,主要考查学生的分类讨论思想,属于基础题13、【解析】利用对数函数的定义域以及二次函数的单调性,转化求解即可【详解】解:函数f(x)=lg(x2+2ax﹣5a)在[2,+∞)上是增函数,可得:,解得a∈[﹣2,4)故答案为[﹣2,4)【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用,考查转化思想以及计算能力14、##【解析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为是奇函数,所以有,故答案:15、【解析】首先计算,再求的值.【详解】,所以.故答案为:三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16、(1)见解析;(2).【解析】(1)设,则,所以,根据在区间上是单调递增,可得,从而可得函数在区间上是单调递减函数;(2)先证明在区间上是单调递增的函数,根据奇偶性可得在区间上是单调递增的函数,再将变形为,可得,进而可得实数的取值范围.试题解析:(1)设,显然恒成立.设,则,,,则,所以,又在区间上是单调递增,所以,即,所以函数在区间上是单调递减函数.(2)因为是定义在实数集上的奇函数,所以,又因为在区间上是单调递增的函数,所以当时,,当时,,,所以当,有.设,则,所以,即,所以,所以在区间上是单调递增函数.综上所述,在区间上是单调递增的函数.所以由得,即所以.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及抽象函数与复合函数的单调性,属于难题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是:(1)在已知区间上任。唬2)作差;(3)判断的符号(往往先分解因式,再判断各因式的符号),可得在已知区间上是增函数,可得在已知区间上是减函数.17、(1),(2)【解析】(1)根据是奇函数,是偶函数,结合,以取代入上式得到,联立求解;(2)易得,,设,转化为,,根据时,与有两个交点,转化为函数,在有一个零点求解.【小问1详解】解:因为是奇函数,是偶函数,所以,,∵,①∴令取代入上式得,即,②联立①②可得,,【小问2详解】,,,可得,∴,.设,∴,,∵当时,与有两个交点,要使函数有两个零点,即使得函数,在有一个零点,(时,只有一个零点)即方程在内只有一个实根,∵,令,则使即可,∴或.∴的取值范围.18、(1)或(2)【解析】(1)因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;(2)因为,由(1)可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.【详解】(1)根据函数的图像过点,且函数只有一个零点可得,整理可得,消去得,解得或当时,,当时,,综上所述,函数的解析式为:或(2)当,由(1)可知:要使函数在区间上单调递增则须满足解得,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.19、(1)见解析;(2)【解析】(1)易得BC⊥平面ACC1A1,连接AC1,则BC⊥AC1.侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,根据线面垂直判定定理可知AC1⊥平面A1BC,因为侧面ABB1A1是正方形,MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1,从而MN⊥平面A1BC;(2)根据AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连接BD,根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角,设AC=BC=CC1=a,求出C1D,BC1,在Rt△BDC1中,求出∠C1BD,即可求出所求.试题解析:(1)证明如图,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,得BC⊥平面ACC1A1.连接AC1,则BC⊥AC1.又侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连接AB1,则点M是AB1的中点.又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)如图所示,因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连接BD,则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角.设AC=BC=CC1=a,则C1D=a,BC1=a在Rt△BDC1中,sin∠C1BD==,所以∠C1BD=30°,故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°20、(1)见解析(2)【解析】(1)利用换元法设,求出的范围,再由对数函数的性质得出值域,再结合复合函数的单调性得出的单调区间;(2)分别讨论,两种情况,结合复合函数的单调性以及二次函数的性质得出a的取值范围.【详解】(1)当时,设,由,解得即函数的定义域为,此时则,即的值域为要求单调增(减)区间,等价于求的增(减)区间在区间上单调递增,在区间上单调递减在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)当时,存在单调递增区间,则函数存在单调递增区间则判别式,解得或(舍)当时,存在单调递增区间,则函数存在单调递减区间则判别式,解得或,此时不成立综上,a的取值范围为【点睛】关键点睛:本题主要考查了对数型复合函数的单调性问题,解题的关键在于利用复合函数单调性的性质进行求解.21、(1)2+(2)2,1+2【解析】(1)依题意可得DA=2cosθ,DB=2sinθ,再由∠CDB=θ,得到BE=2sin2θ(2)依题意可得DA+DB+DE=2cosθ+2sinθ+2sin【小问1详解】解:因为∠ADB=90°,AB=2,∠DAB=θ,所以DA=2cosθ,又因为∠CDB=θ,所以BE=BDsinθ=2则S==2==2因为0<θ<π2,-π当2θ-π3=π2时,即θ=5π【小问2详解】解:DA+DB+DE=2设t=cosθ+sin所以2cosθsin因为t=2sinθ+π而DA+DB+DE=(t+1)2-2可得DA+DB+DE的取值范围2,1+2
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