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3.3幂函数(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付的钱数P=t元，这里P是t的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长

，这里c是S的函数；(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度km/s，这里V是t的函数.

先看几个实例：幂函数的概念上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数．（1）都具有幂的形式；（2）均是以幂的底为自变量；（3）幂的指数都是常数；（4）自变量前的系数为1．

观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？

一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．练习1

判断下列函数是否为幂函数．(1)y=x4(2)y=2x2

(3)y=-x2(4)y=-2x(5)y=x-2(6)y=x3+2

√××××√【2】的底数为自变量;【1】的系数为1;【3】的指数为常数．只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数.xαxαxα

判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效．y=xαα函数形式自变量位置常数位置(a或α)指数函数幂函数思考：幂函数与指数函数有什么区别？

x在指数位置x在底数位置底数指数(2)(5)在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并研究其定义域、值域、奇偶性、单调性：幂函数的图像探究：观察下面5个幂函数的图象，归纳出它们的性质.函数图像RR在R上单调递增奇函数R[0，+∞）在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增偶函数RR在R上单调递增奇函数定义域值域单调性奇偶性定点[0，+∞）[0，+∞）在[0，+∞）上单调递增非奇非偶函数(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减奇函数（1，1）五个常用幂函数的图象特征与性质：幂函数在第一象限内的指数变化规律：xy–3–2–11234–3–2–11234O

A在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从下到上，相应的指数由小变大，即指数大的在上边．指数逆时针变大（1）图像都过点（1，1)；（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；

奇函数的图像在第一和第三象限；

偶函数的图像在第一和第二象限；

非奇非偶函数的图像在第一象限；

注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点．（3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减；

当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；（5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减。话忝莺耐枷筇卣魈庑鸵：幂函数的概念例1

函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值.解

根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.变式训练：已知f(x)=(m2+2m-2)xm+2

+2n-3是幂函数，求m,n

的值.

题型二：幂函数的图象问题例2

如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以。

）CC题型三：函数值大小的比较例3比较下列各组数的大。篬思路点拨](1)、(2)、(3)指数相同，可构造幂函数比较大。(4)底数相同，构造指数函数比较大小.【解析】(1)因为函数f(x)＝x在

(0，＋∞)上为增函数，又，所以0.8<

.(2)因为函数f(x)＝x在

(0，＋∞)上为增函数，又，所以3.1<

.

(4)因为函数f(x)＝x在

(0，＋∞)上为增函数，又3.5>3，所以3.(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小.(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；规律总结：比较大小的方法题型四：幂函数单调性的证明

[思路点拨]用定义法证明，可用作差法也可用作商法.【证明】

技巧：分子有理化.1.下列幂函数中，定义域不是R的是（

）A.y＝x B. C. D.B2.以下结论正确的是（

）A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限D

比较大。1．作差法；2．利用函数单调性：根据自变量的大。冉虾档拇笮。换蛘吒莺档拇笮。冉献员淞康拇笮。灰愣嗯σ坏愕，你就可以超越梦想积硅步以致千里，积怠惰以致深渊只要你多一点点懈。憔捅亟独朊蜗肜妹莺男灾，比较下列四个数的大。莺母拍：

一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的重要性质：（1）图像都过点（1，1)；（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；（3）当α<0时，函数在第一象限单调递减；

当α>0时，函数在第一象限单调递增．【2】的底数为自变量;【1】的系数为1;【3】的指数为常数．只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数.xαxαxα