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第07讲导数的概念及其意义【【考点目录】【知识梳理【知识梳理】知识点1瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).知识点2函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．知识点3函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).知识点4割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).知识点5导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点6导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).规律总结：1.(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).(2)瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数2.【【考点剖析】考点一函数的平均变化率1．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.3．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．4．（2023·高二课时练习）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为，则产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率为______元/台．5．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．6．（2023·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．7．（2023·全国·高二假期作业）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．存在，使得考点二瞬时变化率理解8．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s9．（2023秋·广东广州·高二统考期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-510．（2023秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒11．（2023秋·北京·高二北京市第一六一中学校考期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A． B．C． D．12．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示（为月末时间）.则该月内：①甲厂污水排放量逐渐减少；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确说法的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）李华在参加一次同学聚会时，用如图所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．考点三导数（导函数）的理解14．（2023·高二课时练习）设函数在点处附近有定义，且为常数，则（

）A． B． C． D．15．（2023·高二课时练习）若函数在处可导，则的结果（

）．A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关16．（2023秋·广西河池·高二校联考阶段练习）函数在处的导数可表示为，即（

）．A． B．C． D．考点四导数定义中的极限的简单计算17．（2023·高二课时练习）设函数，若，则______．18．（2023秋·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期中）已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．819．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设函数在处的导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．620．（2023·高二课时练习）已知，则在处的导数（

）A． B．1 C． D．3考点五利用导数几何意义求切线方程求曲线切线的斜率或倾斜角21．（2023春·湖南株洲·高二校考期中）若，则在处的切线的斜率为______．22．（2023秋·四川资阳·高二校考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______．23．（2023春·云南昆明·高二石林彝族自治县第一中学校考阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．24．（2023·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．求在曲线上一点处的切线方程25．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习），在处切线方程为（）A． B．C． D．26．（2023·全国·高二假期作业）已知曲线：(1)求的值；(2)求曲线在点处的切线方程.27．（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．28．（2023·全国·高二假期作业）函数的图象在处的切线方程为______.求过一点的切线方程29．【多选】（2023秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（

）A． B． C． D．30．（2023·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．31．（2023秋·广东茂名·高二统考期中）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.32．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（

）A． B． C． D．考点六已知切线（斜率）求参数33．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知函数在点处的切线斜率为7，则实数a的值为___________.34．（2023秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若函数在处的切线方程为，则_________．35．（2023·全国·高二假期作业）曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-136．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则_________.考点七求切点坐标37．【多选】（2023·全国·高二假期作业）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（

）A． B． C． D．38．【多选】（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（

）A． B． C． D．39．（2023秋·四川雅安·高二统考期末）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（

）A． B．1 C．3 D．40．（2023秋·广东珠海·高二统考期末）已知点在曲线：的图像上，在点处的曲线的切线与直线：垂直，则点横坐标为（

）A．或1 B．1或3 C．或 D．或3考点八两条曲线的公切线问题41．【多选】（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．42．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（

）A． B． C． D．43．（2023秋·陕西安康·高二统考期中）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【【过关检测】1．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（

）A． B． C．1 D．2．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（

）A． B． C． D．无法确定的大小关系3．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）设在处可导，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（

）A．1 B．2 C．3 D．无数条5．（2023春·河北唐山·高三校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数（

）A． B． C． D．6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）函数在点处的切线方程为___________.7．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9m/s的时刻是在t=______s时．8．（2023春·山东济宁·高三统考期中）已知函数在点处切线的斜率是3，则实数__________.9．（2023·上：缈凇ね晨家荒＃┥枨叩男甭饰3的切线为，则的方程为______．10．（2023·上海金山·统考一模）已知，则曲线在处的切线方程是___________.11．（2023春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知函数．则曲线的斜率等于的切线方程为_________．12．（2023·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______．（1）；（2）；（3）对于，存在，使得；（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．