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第三章网络函数3-1网络函数及其极点和零点由若干独立电压源和独立电流源激励的线性时不变网络,设网络中各电容电压、电感电流原始值为零。网络节点方程的解为展开写为以下形式
Δ为节点导纳矩阵的行列式,为节点导纳矩阵的余因子(即代数余子式)。
节点k的节点电压为任一节点电压象函数可表示为激励电流、电压象函数的线性组合。线性时不变网络中任意零状态响应的象函数可以表示为各激励象函数的线性组合。用数学表达式描述为:3-1网络函数及其极点和零点网络函数及其应用一、网络函数的定义和分类
网络零状态响应的象函数R(s)与激励对象函数E(s)之比,用H(s)表示,叫网络函数.US(s)I1(s)NU1(s)IS(s)N输入导纳输入阻抗策动点函数网络函数的六种类型:转移电压比转移电流比US(s)NU2(s)IS(s)NI2(s)转移阻抗IS(s)NU2(s)转移导纳US(s)NI2(s)一、网络函数的定义和分类激励响应激励与响应的位置关系网络函数类型电流源电压激励与响应在同一端口策动点阻抗(函数)电压源电流激励与响应在同一端口策动点导纳(函数)电流源电压激励与响应不在同一端口转移阻抗(函数)电压源电压激励与响应不在同一端口转移电压比(函数)电流源电流激励与响应不在同一端口转移电流比(函数)电压源电流激励与响应不在同一端口转移导纳(函数)驱动点函数实质上是描述单口网络外部特性的量,而转移函数则是描述双口网络传输特性的量。一、网络函数的定义和分类
图为低通滤波器电路。若激励是e(t),响应是i1(t)、u2(t),试求网络函数。例解:运算电路图如图所示。整理后得:又二、网络函数的极点和零点式中,K=bm/an,称为比例因子。
z1、z2、…、zm为网络函数的零点;
p1、p2、…、pn为网络函数的极点。给出全部极点、零点及比例因子,就可以完全地确定一个网络函数。
零点和极点都是复常数,均可在复频率平面(s平面)上用对应的点表示。一般以小叉(×)标注极点,小圈(o)标注零点。网络函数的极点、零点在复平面上的分布图简称极零图
。
二、网络函数的极点和零点三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系网络函数等于冲激响应的象函数;冲激响应等于网络函数的原函数。
1.暂态特性其中1.暂态特性可见,网络函数的极点决定了时域冲激响应的变化规律。极点位于负实轴上,冲激响应为衰减的指数函数,电路能达到稳态;极点位于虚轴上,则电路出现等幅震荡,电路不稳定。极点位于左半平面,电路是稳定的。三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系0th(t)s=0s=σ1>00th(t)s=σ2<00th(t)0th(t)s=jω3
s=-jω3
σ4s=σ4+jω4s=σ4-jω4jω4-jω40th(t)s=σ5+jω5s=σ5+jω5σ5jω5-jω50th(t)1.暂态特性可见,网络函数的全部零点、极点以及比例因子k共同决定冲激响应每项的系数Ak。总之,极点决定冲激响应的波形,而冲激响应的幅度大小则由极、零点共同决定,即网络函数的极点和零点决定了网络的自然暂态特性。三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系令网络函数H(s)中的s=jω,可得频域网络函数H(jω),它代表在角频率为ω的正弦电源激励下,某一正弦稳态响应相量与正弦激励相量之比。将H(jω)写为复数的指数型,即幅频特性和相频特性统称为频率响应,它表征网络的稳态响应特性。因此,网络函数H(s)决定了网络的稳态响应特性。2.稳态特性三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系1.将网络函数分子、分母写为因式分解形式绘出其极零图3.对应于上式分子、分母的每一因式,在极零图上绘出相应的零点向量和极点向量。于是可将上式改写为四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系网络函数的幅频特性和相频特性可根据其极零图直接求得。由网络函数的极零图求频率响应的一般步骤为:2.令式中的s=jω,得4.由此得到用极点向量、零点向量的长度和辐角来表示网络函数的幅频和相频特性的表达式5.令ω由0向∞增加,根据以上两式便可确定网络函数的幅频特性和相频特性。四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数
的零、极点之间的关系3-2多端口网络的网络函数由线性时不变元件构成的多端口网络N,其中不含独立源,且所有动态元件的原始状态为零。端口电压向量
端口电流向量
端口电压向量和端口电流向量之间的约束关系有两种表达形式。一种表达形式为
矩阵Zoc(s)各元为多端口网络各端口(除激励端口外)开路条件下的阻抗参数。主对角线元为策动点阻抗;非主对角线元为转移阻抗。故称Zoc(s)为开路阻抗矩阵。3-2多端口网络的网络函数另一种表达形式为
矩阵Ysc(s)各元为多端口网络各端口(除激励端口外)短路条件下的导纳参数。主对角线元为策动点导纳;非主对角线元为转移导纳。故称Ysc(s)为短路导纳矩阵。3-2多端口网络的网络函数输入变量向量为输出变量向量为
输入变量与输出变量间的约束关系方程为转移函数矩阵它可以是转移阻抗、转移导纳、转移电压比或转移电流比。3-2多端口网络的网络函数3-3多端网络的不定导纳矩阵
3-3-1不定导纳矩阵的定义和特性网络N由线性时不变元件构成的连通网络,其中不含独立源,且所有动态元件的原始状态为零。并且电位参考点在网络N之外的某一任意点处。
不定导纳矩阵定义:性质1、不定导纳矩阵每行诸元之和为零,每列诸元之和也为零——零和特性。根据基尔霍夫电流定律,多端网络各端电流满足以下方程对n个端子轮流指定某一端电压不为零而其余各端电压均为零,例如,令Uk(s)≠0,则性质:因为Uk(s)≠0,故必有表明不定导纳矩阵任一列诸元之和为零。另选一电位参考点后,网络方程变为式中为n维电压向量,其中各元均相同,表示参考点的改变使各端电压都增加一个相同的电压U0(s)。
性质1:零和特性由于U0(s)≠0,故有此式表明,不定导纳矩阵任一行诸元之和为零。不定导纳矩阵定导纳矩阵划去1
行1
列添加1
行1
列性质1:零和特性等余因式导纳矩阵同理可得性质2:等余因子不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等____等余因子矩阵
由于不定导纳矩阵是奇异的,则3-3-2原始不定导纳矩阵的直接形成
设网络N的每一节点均为可及节点,并连接有一引出端。这样的多端网络的不定导纳矩阵称为网络N的原始不定导纳矩阵。
(1)二端导纳元件二端元件对不定导纳矩阵的a、b行及a、b列元有以下贡献Yi(s)行对应电流,列对应电压(2)电压控电流源(VCCS)电压控电流源对不定导纳矩阵的c、d行及a、b列元贡献如下(3)回转器回转器对不定导纳矩阵的a、b、c、d行及a、b、c、d列的贡献
(4)耦合电感元件二端口耦合电感元件对不定导纳矩阵的a、b、c、d行及a、b、c、d列的贡献
(5)理想变压器含理想变压器的二端口网络对不定导纳矩阵的a、b、c、d行及a、b、c、d列元有如下贡献
对于给定的一个具有nt个节点的线性多端网络,用观察法写出其原始不定导纳矩阵的规则如下(1)写出所有的二端导抗元件对原始不定导纳矩阵的贡献部分,并将位于该矩阵同一元处的各参数相加。
仅由所有二端导抗元件而构成的子网络的原始不定导纳矩阵参数为与端点i相联接的二端元件的导纳联接于节点i、j间的二端元件的导纳(i=1,2,…,nt,j=1,2,…,nt)(2)写出各类二端口元件对原始不定导纳矩阵的贡献。
(3)将由以上步骤所得到的各类元件对原始不定导纳矩阵的贡献相加,即得原始不定导纳矩阵。
多端网络任二端点k
和j并起来接于外部并端后端点数减少端口变量的改变的改变3-3-3Yi(s)随端部处理的变换(1)端子压缩(合并)减少一个变量、一个方程例:端子1和2压缩连接在一起
1、2列元素相加1、2行元素相加(1)端子压缩(合并)
(2)端子消除(收缩)将多端网络的某些端子与外电路断开,使之成为网络的内部节点,称为端子消除。
这些端子的电流为零;这些端子的电压不再出现在方程中;将原多端网络的全部端子按保留端和消除端分类。对应于保留端的端电流、端电压向量用Ia(s)、Ua(s)表示,对应于消除端的端电流、端电压向量用Ib(s)、Ub(s)表示用不定导纳矩阵表示的多端网络方程可写为以下形式
(2)端子消除(收缩)如果仅消除编号为k的一个端子,新的不定导纳矩阵产生的规则是,删去原不定导纳矩阵的第k行和第k列,且其余任一元yij(s)变为(2)端子消除(收缩)(3)多端网络相并联由两个多端网络相并联而成的多端网络的不定导纳矩阵,等于原来两个多端网络的不定导纳矩阵之和。
两个端点不等的多端网络相并联
(4)端子接地令端点n为电位参考点un=0删去其第n行、第n列的(n–1)阶矩阵,称为原n端网络以端子n为接地端时的“定导纳矩阵”。(n–1)端口网络的短路导纳矩阵Ysc(s)例:求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F①②③④可分别写出两个网络的不定导纳矩阵G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F①②③④④②例:求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。于是消去节点③,将上式中3行与4行交换、3列与4列交换得例:求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。消去节点③后,新的不定导纳矩阵为节点4接地,消去最后一行和一列就得到原网络的短路导纳矩阵。设VCVS的控制支路和受控支路分别连接于一个n端网络的a、b端间和c、d端间:不考虑VCVS接入时网络的IAM方程为应用用不定导纳矩阵分析含运算放大器的有源网络
附加以约束条件由于运放接入,网络N的端子d已接地,故上式左端的(n–2)阶矩阵已成为定导纳矩阵。根据端部未受约束时多端网络的IAM写出运放接入后网络的DAM的规则是:(1)开环增益A乘以c列(c为运放输出端)加至a列(a为运放同相输入端);(-A)乘以c列加至b列(b为运放反相输入端)。(2)删去原c列和c行。(3)删去原d列和d行(d为运放接地端)。2.
IC不独立了,划去c行1.
b列加到a列上,划去b列.(n–2)阶矩阵定导纳矩阵。3.
d点接地,划去d行、d列用不定导纳矩阵分析含理想运放的网络3-4网络函数的拓扑公式线性无源网络原始状态为零求Z的问题变为了求Δ的问题网络函数的拓扑公式___直接根据网络的图和各支路元件参数写出网络函数
定理3-1比内—柯西(BinetCauchy)定理设C和D分别为p
q和q
p矩阵,且p≤q,则以上二矩阵相乘所得矩阵的行列式式中Cj和Dj分别为矩阵C和矩阵D的第j大子式3-4网络函数的拓扑公式定理3-2一个节点数为(N+1)的连通图G,其关联矩阵为A。矩阵A的的N阶子矩阵为非奇异的必要和充分条件是:此子矩阵的列所对应支路为图G的一个树的树支。且其行列式等于1或-1。有多少种树,就有多少个不为零的大子式1.A的大子式各列对应一个树的全部树支2.A的树的数为3-4网络函数的拓扑公式节点导纳行列式Δ的拓扑公式
无源网络矩阵结构与A完全相同,只是系数不同3-4网络函数的拓扑公式节点导纳行列式Δ的拓扑公式
求Z的问题变为了求Δ的问题求Δ的问题变为了求树的问题3-4网络函数的拓扑公式树的个数——穷举法124,125,126,134,135,136,145,156,234,235,236,245,246,346,356,456,节点导纳行列式Δ的拓扑公式
3-4网络函数的拓扑公式从节点导纳矩阵中划去第1行1列元,余下的元素构成的行列式称为元素Y11的余子式。节点导纳矩阵的对称代数余子式Δjj的拓扑公式从节点导纳矩阵中划去第1行1列元,等效1节点接地由1节点接地时网络的树,即得3-4网络函数的拓扑公式由2-树的定义可以得出2-树的下列性质:(1)2-树包括图G的全部节点。(2)2-树具有Nt–2条支路,不含任何回路。(3)2-树由两个分离的子图组成,每一子图是一个连通图,有一个子图可为孤立节点。定义2-树
一个节点数为Nt的连通图G的2-树是从G的一个树T中去掉任一树支而得到的一个子图。节点导纳矩阵的对称代数余子式Δjj的拓扑公式3-4网络函数的拓扑公式1节点接地时网络的树,与原来网络的树的关系如何由1节点接地时网络的树,比原来网络的树的树支树少一节点导纳矩阵的对称代数余子式Δjj的拓扑公式3-4网络函数的拓扑公式节点导纳矩阵的对称代数余子式Δjj的拓扑公式1节点接地时网络的树,与原来网络的树的关系如何原来网络节点1与4分别处于二个不同的分离部分的2-树是1节点接地时网络的树3-4网络函数的拓扑公式节点导纳矩阵的对称代数余子式Δjj的拓扑公式12,13,15,23,24,34,35,45求所用二树计算Δjj的拓扑公式:3-4网络函数的拓扑公式策动点函数和转移函数的拓扑公式策动点阻抗为策动点导纳3-4网络函数的拓扑公式例(a)所示一端口网络中,,,
,,,试求入端运算阻抗。(b)的树为支路集合(123),(124),(134),(135),(145),(234),(235),(245)解例(a)所示一端口网络中,,,
,,,试求入端运算阻抗。(b)的树为支路集合(123),(124),(134),(135),(145),(234),(235),(245)
2树为支路集合(12),(14),(15),(23),(25),(34),(35),(45)得例(a)所示一端口网络中,,,
,,,试求入端运算阻抗。
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