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第06讲排列与组合【人教A版2019】·模块一排列与排列数·模块二组合与组合数·模块三课后作业模块一模块一排列与排列数1．排列(1)排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题.2．排列数(1)排列数定义

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

(2)排列数公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.【考点1有关排列数的计算与证明】【例1.1】（2023上·高二课时练习）计算：(1)4A(2)A4【例1.2】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）计算：(1)4A(2)A10【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）计算：(1)A66(2)2A(3)若3Ax3=2【变式1.2】（2022·高二课时练习）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【考点2无限制条件的排列问题】【例2.1】（2023上·高二课时练习）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（

）A．3种 B．4种C．6种 D．12种【例2.2】（2023上·高二课时练习）5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（

）A．20种 B．60种 C．120种 D．100种【变式2.1】（2023上·高二课时练习）身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相，在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数为（

）A．1 B．15 C．90 D．54【变式2.2】（2023下·山西运城·高二校考阶段练习）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818?，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（

）个A．180 B．240 C．360 D．720【考点3有限制条件的排列问题】【例3.1】（2023上·黑龙江鸡西·高三校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲?乙?丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻?丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【例3.2】（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4×100m接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（

A．84 B．108 C．132 D．144【变式3.1】（2023·山东·统考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【变式3.2】（2023下·上海闵行·高二校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位kok电子竞技利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（

）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法模块二模块二组合与组合数1．组合(1)组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.2．组合数与组合数公式(1)组合数

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

==.

这里，n,m∈，并且mn.

②阶乘表示：=.

规定：=1.3．组合数的性质(1)性质1：=

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.

(2)性质2：=+

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.

由分类加法计数原理可得：=+.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.【考点1

有关组合数的计算与证明】【例1.1】（2023上·高二课时练习）设n为正整数，求值：(1)C2n-3(2)C13+n【例1.2】（2023上·高二课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且m≤n．求证：(1)Cn(2)Cn+1【变式1.1】（2023上·高二课时练习）（1）计算：C（2）求等式Cn-15+【变式1.2】（2023下·高二单元测试）已知n∈N*，n≥2，(1)求值：kC(2)化简：Cn【考点2组合计数问题】【例2.1】（2023上·甘肃白银·高二校考期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．24【例2.2】（2023·四川自贡·统考一模）2023年成都大运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助.每名志愿者只能担任一项，则甲乙不参与同一项志愿服务的选法有（

）种.A．28 B．36 C．40 D．44【变式2.1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【变式2.2】（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种【考点3排列、组合的综合问题】【例3.1】（2023下·湖南长沙·高二统考期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.(1)A必须在内，有多少种排法？(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？(3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【例3.2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数(1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？(2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？(3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？【变式3.1】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【变式3.2】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是A,B,C,D,E,F.（以下问题用数字作答）(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，C不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？模块三模块三课后作业1．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）5A52A．74 B．98 C．124 D．1482．（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知A3m-A．0 B．2或3 C．1或3 D．33．（2023·四川凉山·统考一模）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（

）A．12种 B．24种 C．48种 D．96种4．（2023下·高二课时练习）不等式A8A．2,8 B．2,6 C．7,12 D．85．（2023上·江西抚州·高二校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（

）A．90种 B．105种 C．260种 D．315种6．（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．144007．（2023上·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中3位女生，2位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（

）A．60 B．36 C．30 D．728．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）将甲，乙，丙，。煳迕驹刚甙才诺紸,B,C,D四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在A社区的不同安排方法数为（

）A．24 B．36 C．60 D．969．（2023上·江西·高二统考阶段练习）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某一时期的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（

）

A．4 B．13 C．15 D．1610．（2023下·江苏苏州·高三统考开学考试）将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（

）种不同的放置与上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．561611．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）（1）计算：4A（2）证明：Cn12．（2023上·高二课时练习）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本.13．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）4名男生和5名女生站成一排．(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？(4)男、女相间的站法有多少种？(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？14．（2023上·陕西汉中·高二校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？15．（2022下·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）6名同学(简记为A、B、C、D、E、F)到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.(1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法种数？