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向量专题定比分点的向量形式及运用定理：（定比分点公式的向量形式）设点分的比为（即，），为平面上的任意一点，则证明：即即推论1：设点为的边上的点，且则推论2：设点为的边的中点，则推论3：中，点在直线上的充要条件是：存在实数，使成立。推论4：（定比分点公式）在直角坐标平面中，设且点分的比为（其中），则例1如图，在中，是边的三等分点，在和之间，是的中点，是的中点，设是线段与的交点，求比值例2如图所示，已知的面积为分别是边上的点，且求的面积。例3已知是的重心，过点任作一条直线，分别交边于点若求证：为定值。奔驰定理与三角形五心的向量表达【奔驰定理】设是内一点，记三角形面积分别为则延长至点，则用同样方法可得由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得(1)(2)化简即得奔驰定理：点为内任意一点，求证：证明：考虑到存在，使得(1)如图：设点为的重心。由三角形面积公式得：又两边同除得：代入(1)式得：例1设为三角形内一点，且满足：则的值为。例2【2016年清华领军】若为内一点，满足设则。由奔驰定理易得下面5条结论点是的重心点是的垂心点是的外心点是的内心点是的旁心例1的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数。例2如果的外接圆的圆心为，那么是的（）外心内心重心垂心例3是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（）外心内心重心垂心例4是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（）外心内心重心垂心例5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（）外心内心重心垂心例6已知是平面上不共线的三点，为外心，动点满足则的轨迹定过的（）内心垂心重心边中点等和线的实际运用【深入研究】若那么过点作直线，在上任作一点，连接，交于点，同理可得，以为基地时，对应的系数和依然为。在向量起点相同的前提下，所有以与平行的直线上面的点为终点的向量，其基地的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等和线与在起点的两侧时，值为负。例1如图，正六边形中，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是。例2给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若，则的最大值是。例3设D，E分别是的边上的点，若则的值为。例4如图，在扇形中，为弧上的一个动点，若则的取值范围是。规律：定值问题特殊化；垂直问题坐标化；一般图形基底化。