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级数的收敛性第1页,课件共96页,创作于2023年2月§1级数的收敛性第十二章数项级数第2页,课件共96页,创作于2023年2月1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出第3页,课件共96页,创作于2023年2月1.无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示为一个无穷级数,简称为级数.其中,un称为级数的一般项或通项.无穷级数的概念第4页,课件共96页,创作于2023年2月若级数的每一个项un均为常数,则称该级数为常数项级数;若级数的每一项均为同一个变量的函数un=un(x),则称级数为函数项级数.第5页,课件共96页,创作于2023年2月例1.

下列各式均为常数项级数第6页,课件共96页,创作于2023年2月例2.

下列各式均为函数项级数第7页,课件共96页,创作于2023年2月2.级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和:称为级数的部分和.若存在,则称级数收敛,S称为级数的和:第8页,课件共96页,创作于2023年2月若不存在(包括为

),则称级数发散.第9页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推播放第10页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第11页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第12页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第13页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第14页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第15页,课件共96页,创作于2023年2月观察雪花分形过程第一次分叉:依次类推第16页,课件共96页,创作于2023年2月周长为面积为第次分叉:第17页,课件共96页,创作于2023年2月于是有结论:雪花的周长是无界的,而面积有界.雪花的面积存在极限(收敛).第18页,课件共96页,创作于2023年2月例3.

讨论等比级数的敛散性.解:等比级数的部分和为:当公比|r|<1时,即第19页,课件共96页,创作于2023年2月当公比|r|>1时,当公比r=1时,当公比r=

1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.

综上所述,当公比|r|<1时,等比级数收敛;当公比|r|

1时,等比级数发散.第20页,课件共96页,创作于2023年2月例4.

讨论级数的敛散性.解:

第21页,课件共96页,创作于2023年2月而故,即该级数收敛.第22页,课件共96页,创作于2023年2月3.收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项,记为的和S与其部分和Sn的差S

Sn显然第23页,课件共96页,创作于2023年2月二、级数收敛的必要条件定理:若级数收敛,则必有证设第24页,课件共96页,创作于2023年2月例5.

判别的敛散性.解:由于故该级数发散.第25页,课件共96页,创作于2023年2月例6.

证明调和级数是发散的.证

调和级数的部分和有:第26页,课件共96页,创作于2023年2月第27页,课件共96页,创作于2023年2月由数学归纳法,得

k=0,1,2,

而故不存在,即调和级数发散.第28页,课件共96页,创作于2023年2月若c0为常数,则有相同的敛散性,且三、无穷级数的性质性质1第29页,课件共96页,创作于2023年2月证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.第30页,课件共96页,创作于2023年2月若其和分别为S1和S2,则级数且性质2第31页,课件共96页,创作于2023年2月证的部分和为:故第32页,课件共96页,创作于2023年2月即级数收敛,且第33页,课件共96页,创作于2023年2月例7.

因为等比级数所以级数第34页,课件共96页,创作于2023年2月例8.

问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的?答:是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的?答:不一定.第35页,课件共96页,创作于2023年2月

在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说,它的和将改变.)性质3第36页,课件共96页,创作于2023年2月证

设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为S'k:第37页,课件共96页,创作于2023年2月由于Sm当m固定时为一常数,所以故级数与级数第38页,课件共96页,创作于2023年2月

对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛,且其和不变.性质4第39页,课件共96页,创作于2023年2月例9.

考虑一下几个问题:(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗?答:不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散?答:不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散?答:原级数也发散.第40页,课件共96页,创作于2023年2月证明四、级数收敛的必要条件:第41页,课件共96页,创作于2023年2月注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.第42页,课件共96页,创作于2023年2月讨论第43页,课件共96页,创作于2023年2月8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.第44页,课件共96页,创作于2023年2月五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第45页,课件共96页,创作于2023年2月思考题第46页,课件共96页,创作于2023年2月思考题解答能.由柯西审敛原理即知.第47页,课件共96页,创作于2023年2月练习题第48页,课件共96页,创作于2023年2月第49页,课件共96页,创作于2023年2月练习题答案第50页,课件共96页,创作于2023年2月§2正项级数第十二章数项级数第51页,课件共96页,创作于2023年2月正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列为单调增加数列.第52页,课件共96页,创作于2023年2月证明即部分和数列有界3.比较审敛法第53页,课件共96页,创作于2023年2月不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第54页,课件共96页,创作于2023年2月解由图可知第55页,课件共96页,创作于2023年2月重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第56页,课件共96页,创作于2023年2月证明第57页,课件共96页,创作于2023年2月4.比较审敛法的极限形式:设??=1nnu与??=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时,若收敛,则收敛;(3)当时,若??=1nnv发散,则??=1nnu发散;第58页,课件共96页,创作于2023年2月证明由比较审敛法的推论,得证.第59页,课件共96页,创作于2023年2月第60页,课件共96页,创作于2023年2月解原级数发散.故原级数收敛.第61页,课件共96页,创作于2023年2月证明第62页,课件共96页,创作于2023年2月收敛发散第63页,课件共96页,创作于2023年2月比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:第64页,课件共96页,创作于2023年2月第65页,课件共96页,创作于2023年2月解第66页,课件共96页,创作于2023年2月比值审敛法失效,改用比较审敛法第67页,课件共96页,创作于2023年2月级数收敛.第68页,课件共96页,创作于2023年2月思考题第69页,课件共96页,创作于2023年2月思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如:收敛,发散.第70页,课件共96页,创作于2023年2月练习题第71页,课件共96页,创作于2023年2月第72页,课件共96页,创作于2023年2月练习题答案第73页,课件共96页,创作于2023年2月§3一般项级数第十二章数项级数第74页,课件共96页,创作于2023年2月任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,它的一般形式为或其中,un0(n=1,2,…)第75页,课件共96页,创作于2023年2月定理(莱布尼兹判别法)若交错级数满足条件(1)(2)un

un+1(n=1,2,…)

则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)第76页,课件共96页,创作于2023年2月证只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.1)取交错级前2m项之和由条件(2):un

un+1,un0,得S2m以及由极限存在准则:第77页,课件共96页,创作于2023年2月2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述,有第78页,课件共96页,创作于2023年2月例1.讨论级数的敛散性.解:这是一个交错级数,又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.第79页,课件共96页,创作于2023年2月例2.判别级数的敛散性.解:这是一个交错级数,又令x[2,+),则x[2,+),故f(x)

[2,+),即有un

un+1成立,由莱布尼兹判别法,该级数收敛.第80页,课件共96页,创作于2023年2月解原级数收敛.第81页,课件共96页,创作于2023年2月2.任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对敛和条件收敛定义:若级数对收敛的;若级数但级数第82页,课件共96页,创作于2023年2月定理:若(即绝对收敛的级数必定收敛)证:

un|un|

从而第83页,课件共96页,创作于2023年2月上定理的作用:任意项级数正项级数第84页,课件共96页,创作于2023年2月解故由定理知原级数绝对收敛.第85页,课件共96页,创作于2023年2月定理(达朗贝尔判别法)设有级数若(1)<1时,级数绝对收敛;(2)>1(包括=)时,级数发散;(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.第86页,课件共96页,创作于2023年2月例5.判别级数的敛散性.解:由P一级数的敛散性,即原级数绝对收敛.第87页,课件共96页,创作于2023年2月例6.判别的敛散性,其中,x1为常数.解:记第88页,课件共96页,创作于2023年2月当|x|<1时,=|x|<1,原级数绝对收敛.当|x|>1时,=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法:但|x|>1时,从而,原级数发散.第89页,课件共96页,创作于2023年2月例6.级数是否绝对收敛?解:由调和级数的发散性可知,故发散.但原级数是一个收敛的交错级数:故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.第90页,课件共96页,创作于2023年2月(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变.

性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积.第91页,课件共96页,创作于2023年2月(3)任意项级数敛散性的一个判别法定理(迪利赫勒判别法)设有级数任意的n1,有un

un+1,且又n=1,2,…,M>0为与n无关的常数,则级数若对收敛.第92页,课件共96页,创作于2023年2月例8.判别级数的敛散性,其中,x2k,k

Z.解:记vn=cosnx,则n=1,2,…,第93页,课件共96页,创作于2023年2月又而x2k,k

Z,于是且故又迪利赫勒判别法,级数(x2k,k

Z)收敛.第94页,课件共96页,创作于2023年2月小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;第95页,课件共96页,创作于2023年2月第96页,课件共96页,创作于2023年2月

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