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湖南省常德市市直校2024年中考四模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.将抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A. B. C. D.2.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A在x轴正半轴上,OC是△OAB的中线,点B、C在反比例函数y=(x>0)的图象上,则△OAB的面积等于()A.2 B.3 C.4 D.63.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若,AC=3,则CD的长为A.6 B. C. D.34.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍,则此多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.95.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是()A.5 B. C. D.6.下列事件中,属于不确定事件的是()A.科学实验,前100次实验都失败了,第101次实验会成功B.投掷一枚骰子,朝上面出现的点数是7点C.太阳从西边升起来了D.用长度分别是3cm,4cm,5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(12,1),下列结论:①ac<1;②a+b=1;③4ac﹣b2A.1B.2C.3D.48.下列计算正确的是()A.(a-3)2=a2-6a-9 B.(a+3)(a-3)=a2-9C.(a-b)2=a2-b2 D.(a+b)2=a2+a29.甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是()A.甲 B.乙 C.丙 D.都一样10.如图,菱形中,对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于()A.3.5 B.4 C.7 D.1411.下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是()A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙12.将(x+3)2﹣(x﹣1)2分解因式的结果是()A.4(2x+2) B.8x+8 C.8(x+1) D.4(x+1)二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,AB∥CD,∠1=62°,FG平分∠EFD,则∠2=.14.不解方程,判断方程2x2+3x﹣2=0的根的情况是_____.15.如果x+y=5,那么代数式的值是______.16.如图,线段AB两端点坐标分别为A(﹣1,5)、B(3,3),线段CD两端点坐标分别为C(5,3)、D(3,﹣1)数学课外兴趣小组研究这两线段发现:其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段,请写出旋转中心的坐标________.17.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5,圆心距为d,若⊙O1与⊙O2相交,那么d的取值范围是_________.18.如图,某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为__________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;在图2中画出线段AB的垂直平分线.20.(6分)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E为的中点.求证:∠ACD=∠DEC;(2)延长DE、CB交于点P,若PB=BO,DE=2,求PE的长21.(6分)如图,MN是一条东西方向的海岸线,在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上,向东走过780米后到达B处,测得海岛在南偏西37°的方向,求小岛到海岸线的距离.(参考数据:tan37°=cot53°≈0.755,cot37°=tan53°≈1.327,tan32°=cot58°≈0.625,cot32°=tan58°≈1.1.)22.(8分)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡比DE:EC=1:,高为DE,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中A、C、E在同一直线上.求斜坡CD的高度DE;求大楼AB的高度;(参考数据:sin64°≈0.9,tan64°≈2).23.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与双曲线的一个交点为B(-1,4).求直线与双曲线的表达式;过点B作BC⊥x轴于点C,若点P在双曲线上,且△PAC的面积为4,求点P的坐标.24.(10分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E,垂足为点F.(1)证明:DE是⊙O的切线;(2)若BE=4,∠E=30°,求由、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,(3)若⊙O的半径r=5,sinA=,求线段EF的长.25.(10分)(1)|﹣2|+?tan30°+(2018﹣π)0-()-1(2)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x的值从不等式组的整数解中选。26.(12分)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在AC上(且不与点A、C重合),在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;(2)如图2,将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,连接AE,求证:AF=AE;(3)如图3,将△CED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形,且△CED在△ABC的下方时,若AB=2,CE=2,求线段AE的长.27.(12分)如图,已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD是6米,坝高14米,背水坡AB的坡度为1:3,迎水坡CD的坡度为1:1.求:(1)背水坡AB的长度.(1)坝底BC的长度.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解析】
直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【详解】将抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为,故答案选A.2、B【解析】
作BD⊥x轴于D,CE⊥x轴于E,∴BD∥CE,∴,∵OC是△OAB的中线,∴,设CE=x,则BD=2x,∴C的横坐标为,B的横坐标为,∴OD=,OE=,∴DE=OE-OD=﹣=,∴AE=DE=,∴OA=OE+AE=,∴S△OAB=OA?BD=×=1.故选B.点睛:本题是反比例函数与几何的综合题,熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.3、D【解析】
解:因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD,,所以在Rt△AEC中,∠A=30°,又AC=3,所以CE=AB=,所以CD=2CE=3,故选D.【点睛】本题考查圆的基本性质;垂经定理及解直角三角形,综合性较强,难度不大.4、A【解析】试题分析:根据多边形的外角和是310°,即可求得多边形的内角的度数为720°,依据多边形的内角和公式列方程即可得(n﹣2)180°=720°,解得:n=1.故选A.考点:多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理5、C【解析】
先利用勾股定理求出AC的长,然后证明△AEO∽△ACD,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.【详解】∵AB=6,BC=8,∴AC=10(勾股定理);∴AO=AC=5,∵EO⊥AC,∴∠AOE=∠ADC=90°,∵∠EAO=∠CAD,∴△AEO∽△ACD,∴,即,解得,AE=,∴DE=8﹣=,故。篊.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形对应边成比例的性质,根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键.6、A【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【详解】解:A、是随机事件,故A符合题意;B、是不可能事件,故B不符合题意;C、是不可能事件,故C不符合题意;D、是必然事件,故D不符合题意;故选A.【点睛】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.7、C【解析】①根据图象知道:a<1,c>1,∴ac<1,故①正确;②∵顶点坐标为(1/2,1),∴x="-b/2a"="1/2",∴a+b=1,故②正确;③根据图象知道:x=1时,y=a++b+c>1,故③错误;④∵顶点坐标为(1/2,1),∴4ac-b24a其中正确的是①②④.故选C8、B【解析】
利用完全平方公式及平方差公式计算即可.【详解】解:A、原式=a2-6a+9,本选项错误;
B、原式=a2-9,本选项正确;
C、原式=a2-2ab+b2,本选项错误;
D、原式=a2+2ab+b2,本选项错误,
故。築.【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式,熟练掌握公式是解题的关键.9、B【解析】
根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格,再进行比较即可得出结论.【详解】解:降价后三家超市的售价是:甲为(1-20%)2m=0.64m,乙为(1-40%)m=0.6m,丙为(1-30%)(1-10%)m=0.63m,∵0.6m<0.63m<0.64m,∴此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙.故。築.【点睛】此题考查了列代数式,解题的关键是根据题目中的数量关系列出代数式,并对代数式比较大。10、A【解析】
根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OE是△ABD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.【详解】解:∵菱形ABCD的周长为28,∴AB=28÷4=7,OB=OD,∵E为AD边中点,∴OE是△ABD的中位线,∴OE=AB=×7=3.1.故。篈.【点睛】本题考查了菱形的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质与定理是解题的关键.11、B【解析】分析:根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等,甲与△ABC不全等.详解:乙和△ABC全等;理由如下:在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,所以乙和△ABC全等;在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,所以丙和△ABC全等;不能判定甲与△ABC全等;故选B.点睛:本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.12、C【解析】
直接利用平方差公式分解因式即可.【详解】(x+3)2?(x?1)2=[(x+3)+(x?1)][(x+3)?(x?1)]=4(2x+2)=8(x+1).故选C.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用平方差公式是解题关键.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、31°.【解析】试题分析:由AB∥CD,根据平行线的性质得∠1=∠EFD=62°,然后根据角平分线的定义即可得到∠2的度数.∵AB∥CD,∴∠1=∠EFD=62°,∵FG平分∠EFD,∴∠2=12∠EFD=1故答案是31°.考点:平行线的性质.14、有两个不相等的实数根.【解析】分析:先求一元二次方程的判别式,由△与0的大小关系来判断方程根的情况.详解:∵a=2,b=3,c=?2,∴∴一元二次方程有两个不相等的实数根.故答案为有两个不相等的实数根.点睛:考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.15、1【解析】
先将分式化简,然后将x+y=1代入即可求出答案【详解】当x+y=1时,原式=x+y=1,故答案为:1.【点睛】本题考查分式的化简求值,解题的关键是利用运用分式的运算法则求解代数式.16、或【解析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑:当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,点E即为旋转中心;当点A的对应点为点D时,连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,点M即为旋转中心此题得解.【详解】当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,如图1所示:点的坐标为,B点的坐标为,点的坐标为;当点A的对应点为点D时,连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,如图2所示:点的坐标为,B点的坐标为,点的坐标为.综上所述:这个旋转中心的坐标为或.故答案为或.【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转,根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键.17、3<d<7【解析】
若两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:相交,则R-r<d<R+r,从而得到圆心距O1O2的取值范围.【详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5,且两圆的位置关系为相交,∴圆心距O1O2的取值范围为5-2<d<2+5,即3<d<7.故答案为:3<d<7.【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系,解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.18、【解析】
设扇形的圆心角为n°,则根据扇形的弧长公式有:,解得所以三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.(2)根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分,即可解决问题.试题解析:(1)如图所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小长方形的对角线).(2)线段AB的垂直平分线如图所示,点M是长方形AFBE是对角线交点,点N是正方形ABCD的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.考点:作图—应用与设计作图.20、(1)见解析;(2)PE=4.【解析】
(1)根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B,然后由圆周角定理可得结论;(2)连结OE,根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE∥CD,然后由△POE∽△PCD列出比例式,求解即可.【详解】解:(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠BCD+∠B=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,∵∠DEC=∠B,∴∠ACD=∠DEC(2)证明:连结OE∵E为BD弧的中点.∴∠DCE=∠BCE∵OC=OE∴∠BCE=∠OEC∴∠DCE=∠OEC∴OE∥CD∴△POE∽△PCD,∴∵PB=BO,DE=2∴PB=BO=OC∴∴∴PE=4【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的性质是解题的关键.21、10【解析】试题分析:如图:过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ACD中,利用∠ACD的正切可得AD=0.625CD,同样在Rt△BCD中,可得BD=0.755CD,再根据AB=BD-CD=780,代入进行求解即可得.试题解析:如图:过点C作CD⊥AB于点D,由已知可得:∠ACD=32°,∠BCD=37°,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∴AD=CD·tan∠ACD=CD·tan32°=0.625CD,在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∴BD=CD·tan∠BCD=CD·tan37°=0.755CD,∵AB=BD-CD=780,∴0.755CD-0.625CD=780,∴CD=10,答:小岛到海岸线的距离是10米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线构造直角三角形、根据图形灵活选用三角函数进行求解是关键.22、(1)斜坡CD的高度DE是5米;(2)大楼AB的高度是34米.【解析】试题分析:(1)根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1:,高为DE,可以求得DE的高度;(2)根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度.试题解析:(1)∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1:,∴,设DE=5x米,则EC=12x米,∴(5x)2+(12x)2=132,解得:x=1,∴5x=5,12x=12,即DE=5米,EC=12米,故斜坡CD的高度DE是5米;(2)过点D作AB的垂线,垂足为H,设DH的长为x,由题意可知∠BDH=45°,∴BH=DH=x,DE=5,在直角三角形CDE中,根据勾股定理可求CE=12,AB=x+5,AC=x-12,∵tan64°=,∴2=,解得,x=29,AB=x+5=34,即大楼AB的高度是34米.23、(1)直线的表达式为,双曲线的表达方式为;(2)点P的坐标为或【解析】分析:(1)将点B(-1,4)代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可;(2)根据直线解析式求得点A坐标,由S△ACP=AC?|yP|=4求得点P的纵坐标,继而可得答案.详解:(1)∵直线与双曲线()都经过点B(-1,4),,,∴直线的表达式为,双曲线的表达方式为.(2)由题意,得点C的坐标为C(-1,0),直线与x轴交于点A(3,0),,∵,,点P在双曲线上,∴点P的坐标为或.点睛:本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键.24、(1)见解析(2)8(3)【解析】分析:(1)连接BD、OD,由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD,根据AO=OB知OD是△ABC的中位线,据此知OD∥BC,结合DE⊥BC即可得证;(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,在Rt△ODE中由sinE=求得x的值,再根据S阴影=S△ODE-S扇形ODB计算可得答案.(3)先证Rt△DFB∽Rt△DCB得,据此求得BF的长,再证△EFB∽△EDO得,据此求得EB的长,继而由勾股定理可得答案.详解:(1)如图,连接BD、OD,∵AB是⊙O的直径,∴∠BDA=90°,∵BA=BC,∴AD=CD,又∵AO=OB,∴OD∥BC,∵DE⊥BC,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,在Rt△ODE中,OE=4+x,∠E=30°,∴,解得:x=4,∴DE=4,S△ODE=×4×4=8,S扇形ODB=,则S阴影=S△ODE-S扇形ODB=8-;(3)在Rt△ABD中,BD=ABsinA=10×=2,∵DE⊥BC,∴Rt△DFB∽Rt△DCB,∴,即,∴BF=2,∵OD∥BC,∴△EFB∽△EDO,∴,即,∴EB=,∴EF=.点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、中位线定理、三角函数的应用及相似三角形的判定与性质等知识点.25、(1)-1(1)-1【解析】
(1)先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简,然后按照实数的运算法则计算即可;(1)把括号里通分,把的分子、分母分解因式约分,然后把除法转化为乘法计算;然后求出不等式组的整数解,选一个使分式有意义的值代入计算即可.【详解】(1)原式=1+3×+1﹣5=1++1﹣5=﹣1;(1)原式====﹣,解不等式组得:-1≤x则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1,∵x(x+1)≠0且x﹣1≠0,∴x≠0且x≠±1,∴x=1,则原式=﹣=﹣1.【点睛】本题考查了实数的运算,分式的化简求值,不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键,本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件.26、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)4.【解析】试题分析:(1)依据AE=EF,∠DEC=∠AEF=90°,即可证明△AEF是等腰直角三角形;(2)连接EF,DF交BC于K,先证明△EKF≌△EDA,再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论;(3)当AD=AC=AB时,四边形ABFD是菱形,先求得EH=DH=CH=,Rt△ACH中,AH=3,即可得到AE=AH+EH=4.试题解析:解:(1)如图1.∵四边形ABFD是平行四边形,∴AB=DF.∵AB=AC,∴AC=DF.∵DE=EC,∴AE=EF.∵∠DEC=∠AEF=90°,∴△AEF是等腰直角三角形;(2)如图2,连接EF,DF交BC于K.∵四边形ABFD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠DKE=∠ABC=45°,∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°,EK=ED.∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,∴∠EKF=∠ADE.∵∠DKC=∠C,∴DK=DC.∵DF=AB=AC,∴KF=AD.在△EKF和△EDA中,,∴△EKF≌△EDA(SAS),∴EF=EA,∠KEF=∠AED,∴∠FEA=∠BED=90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=AE.(3)如图3,当AD=AC=AB时,四边形ABFD是菱形,设AE交CD于H,依据AD=AC,ED=EC,可得AE垂直平分CD,而CE=2,∴EH=DH=CH=,Rt△ACH中,AH==3,∴AE=AH+EH=4.点睛:本题属于四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,寻找全等的条件是解题的难点.27、(1)背水坡的长度为米;(1)坝底的长度为116米.【解析】
(1)分别过点、作,垂足分别为点、,结合题意求得AM,MN,在中,得BM,再利用勾股定理即可.(1)在中,求得CN即可得到BC.【详解】(1)分别过点、作,垂足分别为点、,根据题意,可知(米),(米)在中∵,∴(米),∵,∴(米).答:背水坡的长度为米.(1)在中,,∴(米),∴(米)答:坝底的长度为116米.【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
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