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2023-2024学年丽水市重点中学高三考前热身数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数满足,则的图像可能是A. B.C. D.2.函数的图象可能是()A. B. C. D.3.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.84.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数5.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图,则下列说法错误的是()A.甲得分的平均数比乙大 B.甲得分的极差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位数和乙相等6.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.7.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.68.体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是()A.3 B.4 C.5 D.69.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.10.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个11.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④12.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.14.三个小朋友之间送礼物,约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),则三人都收到礼物的概率为______.15.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.16.若x,y满足,且y≥?1,则3x+y的最大值_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.18.(12分)在等比数列中,已知,.设数列的前n项和为,且,(,).(1)求数列的通项公式;(2)证明:数列是等差数列;(3)是否存在等差数列,使得对任意,都有?若存在,求出所有符合题意的等差数列;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数,不等式的解集为.(1)求实数,的值;(2)若,,,求证:.20.(12分)若关于的方程的两根都大于2,求实数的取值范围.21.(12分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数.(1)写出与的直角坐标方程;(2)在什么范围内取值时,与有交点.22.(10分)已知函数,.(1)当时,判断是否是函数的极值点,并说明理由;(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意,确定函数的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.由得是偶函数,所以函数的图象关于轴对称,可知B,D符合;由得是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B.2、A【解析】
先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故。篈.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3、D【解析】
画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故。篋【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.4、D【解析】
将复数整理为的形式,分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为,错误;,错误;,错误;,为纯虚数,正确本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识,属于基础题.5、B【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念,可得所求结论.【详解】对于甲,;对于乙,,故正确;甲的极差为,乙的极差为,故错误;对于甲,方差.5,对于乙,方差,故正确;甲得分的中位数为,乙得分的中位数为,故正确.故。海镜憔Α勘咎饪疾榫ヒ锻嫉挠τ,考查平均数和方差等概念,培养计算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.6、B【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故。築.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.7、C【解析】
模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故。篊.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.8、B【解析】
通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故。築.【点睛】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,属于基础题.9、B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.10、B【解析】
圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故。海镜憔Α勘咎庵饕疾榕孜锵叩募虻バ灾,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.11、A【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确;由周期函数特点知②错误;函数定义域为,最值点即为极值点,由知③错误;令,在和两种情况下知均无零点,知④正确.【详解】由题意得:定义域为,,为奇函数,图象关于原点对称,①正确;为周期函数,不是周期函数,不是周期函数,②错误;,,不是最值,③错误;令,当时,,,,此时与无交点;当时,,,,此时与无交点;综上所述:与无交点,④正确.故。.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.12、D【解析】
根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、161【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列,由此可求结果.【详解】某医院一次性收治患者127人.第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,从第15天开始,每天出院人数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则第19天治愈出院患者的人数为,,解得,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案为:16,1.【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用,考查等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.14、【解析】
基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.由此能求出三人都收到礼物的概率.【详解】三个小朋友之间准备送礼物,约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.则三人都收到礼物的概率.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】
由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.16、5.【解析】
由约束条件作出可行域,令z=3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为:5【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)因为,所以,所以,即,又因为,所以数列为等差数列,且公差为1,首项为1,则,即.设的公差为,则,所以(),则(),所以,因此,综上,.(2)设数列的前n项和为,则两式相减得,所以,设则,所以.18、(1)(2)见解析(3)存在唯一的等差数列,其通项公式为,满足题设【解析】
(1)由,可得公比,即得;(2)由(1)和可得数列的递推公式,即可知结果为常数,即得证;(3)由(2)可得数列的通项公式,,设出等差数列,再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【详解】(1)设等比数列的公比为q,因为,,所以,解得.所以数列的通项公式为:.(2)由(1)得,当,时,可得①,②②①得,,则有,即,,.因为,由①得,,所以,所以,.所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.(3)由(2)得,所以,.假设存在等差数列,其通项,使得对任意,都有,即对任意,都有.③首先证明满足③的.若不然,,则,或.(i)若,则当,时,,这与矛盾.(ii)若,则当,时,.而,,所以.故,这与矛盾.所以.其次证明:当时,.因为,所以在上单调递增,所以,当时,.所以当,时,.再次证明.(iii)若时,则当,,,,这与③矛盾.(iv)若时,同(i)可得矛盾.所以.当时,因为,,所以对任意,都有.所以,.综上,存在唯一的等差数列,其通项公式为,满足题设.【点睛】本题考查求等比数列通项公式,证明等差数列,以及数列中的探索性问题,是一道数列综合题,考查学生的分析,推理能力.19、(1),.(2)见解析【解析】
(1)分三种情况讨论即可(2)将,的值代入,然后利用均值定理即可.【详解】解:(1)不等式可化为.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集为,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,当且仅当,即,时等号成立.故,即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式,中档题.20、【解析】
先令,根据题中条件得到,求解,即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2,令所以有,解得,所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题,熟记二次函数的特征即可,属于常考题型.21、(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消参可得直角坐标方程.(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,与有交点,可得,解不等式即可求解.【详解】(1)(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得:与有交点,即【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断,属于基础题.22、(1)是函数的极大值点,理由详见解析;(2)1.【解析】
(1)将直接代入,对求导得,由于函数单调性不好判断,故而构造函数,继续求导,判断导函数在左右两边的正负情况,最后得出,是函数的极大值点;(2)利用题目已有条件得,再证明时,不等式恒成立,即证,从而可知整数的最小值为1.【详解】解:(1)当时,.令,则当时,.即在内为减函数,且∴当时,;当时,.∴在内是增函数,在内是减函数.综上,是函数的极大值点.(2)由题意,得,即.现证明当时,不等式成立,即.即证令则∴当时,;当时,.∴在内单调递增,在内单调递减,的最大值为.∴当时,.即当时,不等式成立.综上,整数的最小值为.【点睛】本题考查学生利用导数处理函数的极值,最值,判断函数的单调性,由此来求解函数中的参数的取值范围,对学生要求较高,然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题,为难题
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