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第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解第1课时提公因式法
学习导航学习目标新课导入自主学习合作探究当堂检测课堂总结一、学习目标2.通过探究多项式因式分解的过程,能够确认多项式的公因式,会运用提公因式法分解因式.(重点)1.理解因式分解的定义及它与整式乘法的联系;二、新课导入说出下列数字或者代数式是哪个数或者式的平方
121x4(a2)3±11±x2±a3想必大家都是轻松答对,那么这个式子你还能回答出来吗?
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3要想知道这个复杂的式子是哪个式的平方,就要用到我们今天所学的知识.三、自主学习知识点一因式分解的定义自主探究问题1:运用前面所学的知识填空:(1)m(a+b+c)=
;ma+mb+mc(2)(x+1)(x-1)=
;x2-1(3)(a+b)2=
.a2+2ab+b2问题2:根据上面的计算填空:(1)ma+mb+mc=
;(2)x2-1=
;(3)a2+2ab+b2=
.m(a+b+c)(x+1)(x-1)(a+b)2问题2中都是将多项式转化为两个整式的
.乘积三、自主学习
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解整式乘法等式的特征:左边是多项式,右边是几个整式的乘积.想一想:整式乘法与因式分解有什么关系?是互为相反的变形,即因式分解的定义:三、自主学习知识点二提公因式法自主探究观察下列这3个多项式,说出他们的共同特点.(1)ma+mb+mc(2)4x+3x-5x(3)pa+pb+pc这些多项式的各项都含有一个
的因式;相同例如ma+mb+mc中各项相同的因式为
.m我们把这种多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.三、自主学习要点归纳提公因式法一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.正确找出多项式各项公因式的关键是:1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母最低次幂.
四、合作探究探究1利用因式分解求值问题提出:多项式x2+ax+8因式分解后有一个因式为x+2,求a的值.问题探究:学习整式的乘法时,我们知道了一个公式,还记得吗?(x+p)(x+q)=()2+()x+(),
多项式x2+ax+8一个因式为x+2,不难猜出另外一个因式为
.故x2+ax+8=(x+2)(x+4),要求a的值先要将(x+2)(x+4)展开.应用:若x2+ax+8因式分解后有一个因式为x-1,则a的值为
.反之:x2+(p+q)+pq=(x+p)(x+q).x+4问题解决:根据公式:(x+2)(x+4)=
;a的值为
.xp+qpqx2+6x+86-9四、合作探究练一练1.多项式x2+mx-n因式分解后变为(x+5)(x-2),求m+n的值.因为(x+5)(x-2)=x2+3x-10,解:
由题意得x2+mx-n=(x+5)(x-2);所以m=3,n=10,所以m+n=13.四、合作探究探究2利用提公因式法进行因式分解
问题提出:如何利用提公因式法把8a3b2+12ab3c分解因式.4公因式ab124ab2问题探究:利用提公因式法进行因式分解,首先要找出
,然后提取公因式,即多项式化为两个因式的乘积.两项的系数分别是8与12,它们的最大公约数是
;两项字母部分都含有字母
和
;其中a的最低次数为
,b的最低次数为
;因此我们选定
为要提出的公因式.四、合作探究应用:多项式12x4y3+6x3y4的公因式为
.问题解决:8a3b2+12ab3c=4ab2·
+4ab2·
=
.
6x3y34ab2(2a2+3bc)2a23bc思考:你是否记住了找公因式的步骤?1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母最低次幂.
注意:如果随意提取公因式,那么另一个因式可能还存在公因式.四、合作探究练一练2.把2ab3-4a2b2分解因式分析:这两项的公因式为2ab2.思考:如何检查这个因式分解是否正确.将结果做整式的乘法运算2ab2(b-2a)=2ab3-4a2b2,与原式一致,故正确.解:2ab3-4a2b2=2ab2·b-2ab2·2a=2ab2(b-2a)四、合作探究问题提出:如何利用提公因式法把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.问题探究:这两个式子的公因式为
,可以直接提出.b+c应用:分解因式:p(a2+b2)+q(a2+b2)=
.问题解决:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)
.
2a-3(p+q)(a2+b2)总结:公因式可以是一个单项式,也可以是一个多项式.3.分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3(导入中问题)
它是
的平方.±(1+x)2解:原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2],=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)=(1+x)4.四、合作探究练一练五、当堂检测1.把下列各式分解因式:(1)6x3-18x2=
(x-3);(2)-7a2+21a=-7a(
).6x2a-32.把下列各式分解因式:(1)np-nq;(2)-x3y-x2y2+xy.解:原式=n(p-q),原式=xy(-x2)-xy·xy+xy·1,=xy(-x2-xy+1).五、当堂检测3.把下列各式分解因式.(1)3(a+b)2+6(a+b);(2)m(a-b)-n(a-b);(3)6(x-y)3-3y(y-x)2;(4)mn(m-n)-m(n-m)2.解:原式=3(a+b)·(a+b)+3(a+b)·2=3(a+b)·(a+b+2).原式=(m-n)(a-b).原式=6(x-y)3-3y(x-y)2.=3(x-y)2·2(x-y)-3(x-y)2·y=3(x-y)2[2(x-y)-y]=3(x-y)2(2x-3y).原式=mn(m-n)-m(m-n)2=m(m-n)-[n-(m-n)]=m(m-n)(2n-m).五、当堂检测=9900(2)992+99=99×(99+1)解:原式=
99×99+994.计算:(1)178×+178×+178×
解:原式=178×(++)=178×1=178六、课堂总结因式分解注意把一个多项式化为几个整式的乘积的形式1.分解因式是一种恒等变形;2.公因式:要提。3.不要漏项;4.提负号,要注意变号.
定义方法1提公因式法确定公因式的方法:定系数;定字母;定指数1.找公因式;2.提公因式
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