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2024届湖北省天门市天门外国语高考数学押题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知全集为,集合,则()A. B. C. D.3.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95444.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.5.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.6.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是()A. B. C. D.7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.8.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件9.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.310.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A. B. C. D.11.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.12.展开项中的常数项为A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.14.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.15.已知集合,若,且,则实数所有的可能取值构成的集合是________.16.若变量,满足约束条件则的最大值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的图象(要列表).18.(12分)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.19.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.20.(12分)在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若时,,求实数;⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.21.(12分)在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.22.(10分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故。篋.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.2、D【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集;对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.3、C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故。篊【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.4、A【解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故。篈.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。5、B【解析】
,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故。築.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.6、C【解析】
设,,,,设直线的方程为:,与抛物线方程联立,由△得,利用韦达定理结合已知条件得,,代入上式即可求出的取值范围.【详解】设直线的方程为:,,,,,联立方程,消去得:,△,,且,,,线段的中点为,,,,,,,,把代入,得,,,故。骸镜憔Α勘咎庵饕疾榱酥毕哂肱孜锵叩奈恢霉叵,考查了韦达定理的应用,属于中档题.7、C【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故。篊【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.8、A【解析】
,是相交平面,直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,即可判断出结论.【详解】解:已知直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,“”是“”的充分不必要条件.故。篈.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力.9、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;10、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.11、B【解析】
根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故。骸镜憔Α勘咎饪疾榱搜酚锞涞某绦蚩蛲,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.12、B【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的,所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项,有3种情况:(1)5个括号都出1,即;(2)两个括号出,两个括号出,一个括号出1,即;(3)一个括号出,一个括号出,三个括号出1,即;所以展开项中的常数项为,故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程,考查定理的本质,即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.14、1【解析】
按照个位上的9元的支付情况分类,三个数位上的钱数分步计算,相加即可.【详解】9元的支付有两种情况,或者,①当9元采用方式支付时,200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;②当9元采用方式支付时:200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;所以总的支付方式共有种.故答案为:1.【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏,分步做到步骤完整.15、.【解析】
化简集合,由,以及,即可求出结论.【详解】集合,若,则的可能取值为,0,2,3,又因为,所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【点睛】本题考查集合与元素的关系,理解题意是解题的关键,属于基础题.16、7【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据函数的最小正周期可求出的值,由该函数的最大值可得出的值,再由,结合的取值范围可求得的值,由此可得出函数的解析式;(2)由计算出的取值范围,据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.【详解】(1)因为函数的最小正周期是,所以.又因为当时,函数取得最大值,所以,同时,得,因为,所以,所以;(2)因为,所以,列表如下:描点、连线得图象:【点睛】本题考查正弦函数解析式的求解,同时也考查了利用五点作图法作图,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.18、(1)直线l的普通方程为x+y-4=0.曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】
(1)将直线l参数方程中的消去,即可得直线l的普通方程,对曲线C的极坐标方程两边同时乘以,利用可得曲线C的直角坐标方程;(2)求出点到直线的距离,再求出的弦长,从而得出△MON的面积.【详解】解:(1)由题意有,得,x+y=4,直线l的普通方程为x+y-4=0.因为ρ=4sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,两边同时乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因为,所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原点O到直线l的距离直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面积S=|MN|×d=4.【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,解题的关键是正确使用这一转化公式,还考查了直线与圆的位置关系等知识.19、(1)79颗;(2)5.5秒.【解析】
(1)利用各小矩形的面积和为1可得,进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率,从而得到频数;(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.【详解】(1)第一到第六组的频率依次为0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和为1所以,,所以,自转周期在2至10秒的大约有(颗).(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为(秒).故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,涉及到平均数的估计值等知识,是一道容易题.20、(1)(2)(3)为定值【解析】试题分析:(1)利用待定系数法可得,椭圆方程为;(2)我们要知道=的条件应用,在于直线交椭圆两交点M,N的横坐标为,这样代入椭圆方程,容易得到,从而解得;(3)需讨论斜率是否存在.一方面斜率不存在即=时,由(2)得;另一方面,当斜率存在即时,可设直线的斜率为,得直线MN:,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和焦半径公式,就能得到,所以为定值,与直线的倾斜角的大小无关试题解析:(1),得:,椭圆方程为(2)当时,,得:,于是当=时,,于是,得到(3)①当=时,由(2)知②当时,设直线的斜率为,,则直线MN:联立椭圆方程有,,,=+==得综上,为定值,与直线的倾斜角的大小无关考点:(1)待定系数求椭圆方程;(2)椭圆简单的几何性质;(3)直线与圆锥曲线21、(1)(为参数),;(2)【解析】分析:(1)直线的参数方程为(为参数),其中表示之间的距离,而极坐标方程可化为,从而的直角方程为.(2)设,则,利用在圆上得到满足的方程,最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.详解:(1)直线的参数方程为(为参数).曲线的极坐标方程可化为.把,代入曲线的极坐标方程可得,即.(2)把直线的参数方程为(为参数)代入圆的方程可得:.∵曲线与直线相交于不同的两点,∴,∴,又,∴.又,.∴,∵,∴,∴.∴的取值范围是.点睛:(1)直线的参数方程有多种形式,其中一种为(为直线的倾斜角,是参数),这样的参数方程中的参数有明确的几何意义,它表示之间的距离.(2)直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式,而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式,后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.22、(1)(2)【解析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.
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