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§8.1空间几何体结构特征、三视图和直观图[考纲要求]
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体结构特征,并能利用这些特征描述现实生活中简单物体结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)三视图,能识别上述三视图所表示立体模型,会用斜二测法画出它们直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形三视图与直观图,了解空间图形不一样表示形式.4.会画一些建筑物三视图与直观图(在不影响图形特征基础上,尺寸、线条等没有严格要求).1/571.空间几何体结构特征(1)多面体结构特征多面体结构特征棱柱有两个面______,其余各面都是四边形且每相邻两个面交线都平行且相等平行2/57棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个_______三角形棱台棱锥被平行于______平面所截,截面和底面之间部分叫做棱台公共顶点底面3/57(2)旋转体形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在直线圆锥直角三角形一直角边所在直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在直线或等腰梯形上下底中点连线球半圆或圆直径所在直线4/572.空间几何体三视图(1)三视图名称几何体三视图包含:_______、________、_______.(2)三视图画法①在画三视图时,重合线只画一条,挡住线要画成______.②三视图正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体______方、_____方、______方观察几何体正投影图.正视图侧视图俯视图虚线正前正左正上5/573.空间几何体直观图画空间几何体直观图惯用________画法,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴夹角为_____________,z′轴与x′轴、y′轴所在平面_____.(2)原图形中平行于坐标轴线段,直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴线段在直观图中保持原长度_____,平行于y轴线段长度在直观图中变为______________.斜二测45°(或135°)垂直平行于不变原来二分之一6/574.惯用结论(1)常见旋转体三视图①球三视图都是半径相等圆.②水平放置圆锥正视图和侧视图均为全等等腰三角形.③水平放置圆台正视图和侧视图均为全等等腰梯形.④水平放置圆柱正视图和侧视图均为全等矩形.7/578/57【思索辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形几何体是棱柱.(
)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形几何体是棱锥.(
)(3)夹在两个平行平面之间,其余面都是梯形,这么几何体一定是棱台.(
)9/57(4)正方体、球、圆锥各自三视图中,三视图均相同.(
)(5)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间部分仍是圆柱.(
)(6)菱形直观图仍是菱形.(
)【答案】
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
(6)×10/571.(教材改编)以下说法正确是(
)A.相等角在直观图中依然相等B.相等线段在直观图中依然相等C.正方形直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应两条线段依然平行【解析】
由直观图画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段平行性不变.【答案】
D11/572.(·厦门质量检测)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗实线画出是某多面体三视图,则该多面体最长棱长度等于(
)12/57【答案】
C13/573.(·广东)若空间中n个不一样点两两距离都相等,则正整数n取值(
)A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】
当n=3时显然成立,故排除C,D;由正四面体四个顶点两两距离相等,得n=4时成立,故选B.【答案】
B14/574.(·山东枣庄第三中学第二次学情调查)已知某几何体三视图(单位:cm)如图所表示,则该几何体体积是(
)15/57A.48cm3B.98cm3C.88cm3D.78cm3【答案】
B16/575.正三角形AOB边长为a,建立如图所表示直角坐标系xOy,则它直观图面积是________.17/57【解析】
画出坐标系x′O′y′,作出△OAB直观图O′A′B′(如图).D′为O′A′中点.18/5719/57题型一空间几何体结构特征【例1】
(1)给出以下命题:①在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点连线是圆柱母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形几何体是棱锥;20/57③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成几何体都是圆锥;④棱台上、下底面能够不相同,但侧棱长一定相等.其中正确命题个数是(
)A.0
B.1C.2D.321/57(2)(易错题)以下说法正确是(
)A.有两个平面相互平行,其余各面都是平行四边形多面体是棱柱B.四棱锥四个侧面都能够是直角三角形C.有两个平面相互平行,其余各面都是梯形多面体是棱台D.棱台各侧棱延长后不一定交于一点22/57(3)设有以下四个命题:①底面是平行四边形四棱柱是平行六面体;②底面是矩形平行六面体是长方体;③直四棱柱是直平行六面体;④棱台相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题序号是________.23/57【解析】
(1)①不一定,只有当这两点连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点三角形”,如图1所表示;③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成面所围成几何体不是圆锥,如图2所表示,它是由两个同底圆锥组成几何体;④错误,棱台上、下底面相同且是对应边平行多边形,各侧棱延长线交于一点,不过侧棱长不一定相等.24/5725/57(2)A错,如图(1);B正确,如图(2),其中底面ABCD是矩形,可证实∠PAB,∠PCB都是直角,这么四个侧面都是直角三角形;C错,如图(3);D错,由棱台定义知,其侧棱延长线必相交于同一点.26/57(3)命题①符合平行六面体定义,故命题①是正确;底面是矩形平行六面体侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误;因为直四棱柱底面不一定是平行四边形,故命题③是错误;命题④由棱台定义知是正确.【答案】
(1)A
(2)B
(3)①④27/57【方法规律】
(1)处理本类题目标关键是准确了解几何体定义,真正把握几何体结构特征,能够依据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)处理本类题目标技巧:三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是惯用几何模型,有些问题能够利用它们举特例处理或者学会利用反例对概念类命题进行辨析.28/57跟踪训练1
给出以下命题:①棱柱侧棱都相等,侧面都是全等平行四边形;②若三棱锥三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形四面体.其中正确命题序号是________.29/57【解析】
①不正确,依据棱柱定义,棱柱各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥三条侧棱两两垂直,则三个侧面组成三个平面二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱截面交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体AC1中三棱锥C1?ABC,四个面都是直角三角形.30/57【答案】
②③④31/57题型二空间几何体三视图命题点1由空间几何体三视图还原出几何体形状【例2】
(·锦州模拟)若某几何体三视图如图所表示,则这个几何体直观图能够是(
)32/57【解析】
A,B正视图不符合要求,C俯视图显然不符合要求,故选D.【答案】
D33/57命题点2由空间几何体直观图判断三视图【例3】
(·贵州七校联考)如图所表示,四面体ABCD四个顶点是长方体四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(
)34/5735/57A.①②⑥
B.①②③C.④⑤⑥
D.③④⑤【解析】
正视图应该是边长为3和4矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,所以正视图是①;侧视图应该是边长为5和4矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,所以侧视图是②;俯视图应该是边长为3和5矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,所以俯视图是③.【答案】
B36/57命题点3由空间几何体部分视图画出剩下部分视图【例4】
(·吉林模拟)已知某组合体正视图与侧视图相同,如图所表示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体俯视图能够是________(把你认为正确图序号都填上).37/57【解析】
直观图如图1几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱)俯视图为①;直观图如图2几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个圆柱)俯视图为②;直观图如图3几何体(上部是一个圆锥,下部是一个圆柱)俯视图为③;直观图如图4几何体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱)俯视图为④.【答案】
①②③④38/57【方法规律】
三视图问题常见类型及解题策略(1)由几何体直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图观察方向,注意看到部分用实线表示,不能看到部分用虚线表示.(2)由几何体部分视图画出剩下部分视图.先依据已知一部分三视图,还原、推测直观图可能形式,然后再找其剩下部分三视图可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出部分三视图是否符合.(3)由几何体三视图还原几何体形状.要熟悉柱、锥、台、球三视图,明确三视图形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.39/57跟踪训练2(1)(·天津)将一个长方体沿相邻三个面对角线截去一个棱锥,得到几何体正视图与俯视图如图所表示,则该几何体侧(左)视图为(
)40/5741/57(2)(·衡阳联考)已知底面为正方形四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥三视图可能是以下各图中(
)42/5743/57【解析】
(1)由正视图和俯视图可知该几何体直观图如图所表示,故该几何体侧视图为选项B.(2)依据三视图定义可知A、B、D均不可能,故选C.【答案】
(1)B
(2)C44/57题型三空间几何体直观图【例5】
(1)下图是水平放置某个三角形直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边中点且A′D′∥y′轴,A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC,那么(
)45/57A.最长是AB,最短是ACB.最长是AC,最短是ABC.最长是AB,最短是ADD.最长是AD,最短是AC46/57(2)(·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置平面图形直观图为如图所表示一个正方形,则原来图形是(
)47/5748/57【解析】
(1)A′D′∥y′轴,依据斜二测画法规则,在原图形中应有AD⊥BC,又AD为BC边上中线,所以△ABC为等腰三角形.AD为BC边上高,则有AB,AC相等且最长,AD最短.(2)由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上对角线长为2.【答案】
(1)C
(2)A49/57【方法规律】
用斜二测画法画直观图技巧在原图形中与x轴或y轴平行线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原图中不与坐标轴平行直线段能够先画出线段端点再连线,原图中曲线段能够经过取一些关键点,作出在直观图中对应点后,用平滑曲线连接而画出.50/57跟踪训练3
(·武汉调研)若某几何体三视图如图所表示,则此几何体直观图是(
)51/57【解析】
B侧视图不对,C俯视图不对,D正视图不对,排除B、C、D,A正确.【答案】
A易错警示系列10三视图识图中易误辨析【典例】
将正方体(如图1所表示)截去两个三棱锥,得到如图2所表示几何体,则该几何体侧视图为(
)52/5753/57【易误分析】(1)不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.【解析】
侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.因为AD1与B1C不平行,投影为相交线,故应选B.【答案】
B54/57【温馨提醒】(1)因对三视图原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A.(2)因对三视图画法要求不明而误选C或D.在画三视图时,分界限和可见轮廓线都用实线画,被遮住部分轮廓线用虚线画.(3)解答这类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表示不准而不能画出所要求视图,在复习时要明确三视图含义,掌握“长对正、宽相等、高平齐”要求.55/57?方法与技巧1.三视图画法特征“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.2.对于简单几何体组合体,在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成,然后再画其三视图.56/573.由三视图还原几何体时,要遵照以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.?失误与防范画三视图应注意问题(1)若相邻两物体表面相交,表面交线是它们分界限,在三视图中,要注意实、虚线画法.(2)确定正视、侧视、俯视方向,观察同一物体方向不一样,所画三视图也不一样.57/57
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