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湖南省衡阳县达标名校2023-2024学年中考数学模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB等于()A. B.C. D.2.如图,已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为、,将这两个三角形的一组等边重合,拼合成一个无重叠的几何图形,其中轴对称图形有()A.3个; B.4个; C.5个; D.6个.3.下列计算正确的是()A.﹣= B.=±2C.a6÷a2=a3 D.(﹣a2)3=﹣a64.若关于,的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解,则的值为A. B. C. D.5.将抛物线y=x2﹣x+1先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得抛物线的表达式为()A.y=x2+3x+6 B.y=x2+3x C.y=x2﹣5x+10 D.y=x2﹣5x+46.我省2013年的快递业务量为1.2亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2012年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到2.5亿件,设2012年与2013年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是()A.1.2(1+x)=2.5B.1.2(1+2x)=2.5C.1.2(1+x)2=2.5D.1.2(1+x)+1.2(1+x)2=2.57.如图,,交于点,平分,交于.若,则
的度数为()
A.35o B.45o C.55o D.65o8.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,则它的侧面积是A. B. C. D.9.学习全等三角形时,数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛,全班同学的比赛结果统计如下表:得分(分)60708090100人数(人)7121083则得分的众数和中位数分别为()A.70分,70分 B.80分,80分 C.70分,80分 D.80分,70分10.目前,世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m,将0.00000004用科学记数法表示为()A.0.4×108 B.4×108 C.4×10﹣8 D.﹣4×108二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图所示,三角形ABC的面积为1cm1.AP垂直∠B的平分线BP于P.则与三角形PBC的面积相等的长方形是()A.B.C.D.12.不等式≥-1的正整数解为________________.13.如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是_________.14.如图,圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为________.15.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的面积为12,点B在y轴上,点C在反比例函数y=的图象上,则k的值为________.16.如图所示,把一张长方形纸片沿折叠后,点分别落在点的位置.若,则等于________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)已知,抛物线y=x2﹣x+与x轴分别交于A、B两点(A点在B点的左侧),交y轴于点F.(1)A点坐标为;B点坐标为;F点坐标为;(2)如图1,C为第一象限抛物线上一点,连接AC,BF交于点M,若BM=FM,在直线AC下方的抛物线上是否存在点P,使S△ACP=4,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;(3)如图2,D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点,直线AD、AE分别交y轴于M、N两点,若OM?ON=,求证:直线DE必经过一定点.18.(8分)如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是BC边上一点,将点D绕点A逆时针旋转60°得到点E,连接CE.(1)当点E在BC边上时,画出图形并求出∠BAD的度数;(2)当△CDE为等腰三角形时,求∠BAD的度数;(3)在点D的运动过程中,求CE的最小值.(参考数值:sin75°=,cos75°=,tan75°=)19.(8分)孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心”自愿捐款活动进行抽样调查,得到了一组学生捐款情况的数据.如图是根据这组数据绘制的统计图,图中从左到右各长方形的高度之比为3:4:5:10:8,又知此次调查中捐款30元的学生一共16人.孔明同学调查的这组学生共有_______人;这组数据的众数是_____元,中位数是_____元;若该校有2000名学生,都进行了捐款,估计全校学生共捐款多少元?20.(8分)在中,,是的角平分线,交于点.(1)求的长;(2)求的长.21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以点为圆心,8为半径的圆与轴交于,两点,过作直线与轴负方向相交成的角,且交轴于点,以点为圆心的圆与轴相切于点.(1)求直线的解析式;(2)将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移,当第一次与外切时,求平移的时间.22.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,过点C作BC的垂线交⊙O于D,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.求证:DE是⊙O的切线;若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求⊙O直径的长.23.(12分)小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?24.中华文化,源远流长,在文学方面,《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查,根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图,请结合图中信息解决下列问题:(1)本次调查了名学生,扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为度,并补全条形统计图;(2)此中学共有1600名学生,通过计算预估其中4部都读完了的学生人数;(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读,求他们选中同一名著的概率.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】法一,依题意△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=,∵,∴sinB=,∵tanB==故选B法2,依题意可设a=4,b=3,则c=5,∵tanb=故选B2、B【解析】分析:直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案.详解:如图所示:将这两个三角形的一组等边重合,拼合成一个无重叠的几何图形,其中轴对称图形有4个.故选B.点睛:本题主要考查了全等三角形的性质和轴对称图形,正确把握轴对称图形的性质是解题的关键.3、D【解析】
根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断,开算术平方根,同底数幂的除法及幂的乘方运算.【详解】A.不是同类二次根式,不能合并,故A选项错误;B.=2≠±2,故B选项错误;C.
a6÷a2=a4≠a3,故C选项错误;D.
(?a2)3=?a6,故D选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则,开算术平方根,同底数幂的除法及幂的乘方运算,熟记法则是解题的关键.4、B【解析】
将k看做已知数求出用k表示的x与y,代入2x+3y=6中计算即可得到k的值.【详解】解:,①②得:,即,将代入①得:,即,将,代入得:,解得:.故。海镜憔Α看颂饪疾榱硕元一次方程组的解,以及二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值.5、A【解析】
先将抛物线解析式化为顶点式,左加右减的原则即可.【详解】y=x当向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得y=x-故选A.【点睛】本题考查二次函数的平移;掌握平移的法则“左加右减”,二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行;6、C【解析】试题解析:设2015年与2016年这两年的平均增长率为x,由题意得:1.2(1+x)2=2.5,故选C.7、D【解析】分析:根据平行线的性质求得∠BEC的度数,再由角平分线的性质即可求得∠CFE的度数.详解:又∵EF平分∠BEC,.故选D.点睛:本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义,熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.8、D【解析】圆锥的侧面积=×80π×90=3600π(cm2).故选D.9、C【解析】
解:根据表格中的数据,可知70出现的次数最多,可知其众数为70分;把数据按从小到大排列,可知其中间的两个的平均数为80分,故中位数为80分.故选C.【点睛】本题考查数据分析.10、C【解析】
科学记数法的表示形式为a×10的形式,其中1≤a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】0.00000004=4×10,故选C【点睛】此题考查科学记数法,难度不大二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、B【解析】
过P点作PE⊥BP,垂足为P,交BC于E,根据AP垂直∠B的平分线BP于P,即可求出△ABP≌△BEP,又知△APC和△CPE等底同高,可以证明两三角形面积相等,即可证明三角形PBC的面积.【详解】解:过P点作PE⊥BP,垂足为P,交BC于E,∵AP垂直∠B的平分线BP于P,∠ABP=∠EBP,又知BP=BP,∠APB=∠BPE=90°,∴△ABP≌△BEP,∴AP=PE,∵△APC和△CPE等底同高,∴S△APC=S△PCE,∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm1,选项中只有B的长方形面积为cm1,故选B.12、1,2,1.【解析】
去分母,移项,合并同类项,系数化成1即可求出不等式的解集,根据不等式的解集即可求出答案.【详解】,
∴1-x≥-2,
∴-x≥-1,
∴x≤1,
∴不等式的正整数解是1,2,1,
故答案为:1,2,1.【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解,关键是求出不等式的解集.13、【解析】试题解析:∵四边形ABCD是矩形,∵AE⊥BD,∴△ABE∽△ADB,∵E是BC的中点,过F作FG⊥BC于G,故答案为14、【解析】试题分析:因为OC=OA,所以∠ACO=,所以∠AOC=45°,又直径垂直于弦,,所以CE=,所以CD=2CE=.考点:1.解直角三角形、2.垂径定理.15、-6【解析】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(-x,),点B的坐标为(0,),因此AC=-2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:,解得16、50°【解析】
先根据平行线的性质得出∠DEF的度数,再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数,根据平角的定义即可得出结论.【详解】∵AD∥BC,∠EFB=65°,
∴∠DEF=65°,
又∵∠DEF=∠D′EF,
∴∠D′EF=65°,
∴∠AED′=50°.【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)和平行线的性质,解题的关键是掌握翻折变换(折叠问题)和平行线的性质.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)(1,0),(3,0),(0,);(2)在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使S△ACP=4,见解析;(3)见解析【解析】
(1)根据坐标轴上点的特点建立方程求解,即可得出结论;(2)在直线AC下方轴x上一点,使S△ACH=4,求出点H坐标,再求出直线AC的解析式,进而得出点H坐标,最后用过点H平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解,即可得出结论;(3)联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立,得出,进而得出,,再由得出,进而求出,同理可得,再根据,即可得出结论.【详解】(1)针对于抛物线,令x=0,则,∴,令y=0,则,解得,x=1或x=3,∴,综上所述:,,;(2)由(1)知,,,∵BM=FM,∴,∵,∴直线AC的解析式为:,联立抛物线解析式得:,解得:或,∴,如图1,设H是直线AC下方轴x上一点,AH=a且S△ACH=4,∴,解得:,∴,过H作l∥AC,∴直线l的解析式为,联立抛物线解析式,解得,∴,即:在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使;(3)如图2,过D,E分别作x轴的垂线,垂足分别为G,H,设,,直线DE的解析式为,联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立,得,∴,,∵DG⊥x轴,∴DG∥OM,∴,∴,即,∴,同理可得∴,∴,即,∴,∴直线DE的解析式为,∴直线DE必经过一定点.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用,交点的求法,待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键.18、(1)∠BAD=15°;(2)∠BAC=45°或∠BAD=60°;(3)CE=.【解析】
(1)如图1中,当点E在BC上时.只要证明△BAD≌△CAE,即可推出∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°;(2)分两种情形求解①如图2中,当BD=DC时,易知AD=CD=DE,此时△DEC是等腰三角形.②如图3中,当CD=CE时,△DEC是等腰三角形;(3)如图4中,当E在BC上时,E记为E′,D记为D′,连接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N⊥AC于N,DE交AE′于O.首先确定点E的运动轨迹是直线EE′(过点E与BC成60°角的直线上),可得EC的最小值即为线段CM的长(垂线段最短).【详解】解:(1)如图1中,当点E在BC上时.
∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠ADB=∠AEC=120°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,在△ABD和△ACE中,∠B=∠C,∠ADB=∠AEC,AB=AC,∴△BAD≌△CAE,∴∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°.(2)①如图2中,当BD=DC时,易知AD=CD=DE,此时△DEC是等腰三角形,∠BAD=∠BAC=45°.
②如图3中,当CD=CE时,△DEC是等腰三角形.∵AD=AE,∴AC垂直平分线段DE,∴∠ACD=∠ACE=45°,∴∠DCE=90°,∴∠EDC=∠CED=45°,∵∠B=45°,∴∠EDC=∠B,∴DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE=60°.
(3)如图4中,当E在BC上时,E记为E′,D记为D′,连接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N⊥AC于N,DE交AE′于O.
∵∠AOE=∠DOE′,∠AE′D=∠AEO,∴△AOE∽△DOE′,∴AO:OD=EO:OE',∴AO:EO=OD:OE',∵∠AOD=∠EOE′,∴△AOD∽△EOE′,∴∠EE′O=∠ADO=60°,∴点E的运动轨迹是直线EE′(过点E与BC成60°角的直线上),∴EC的最小值即为线段CM的长(垂线段最短),设E′N=CN=a,则AN=4-a,在Rt△ANE′中,tan75°=AN:NE',∴2+=,∴a=2-,∴CE′=CN=2-.在Rt△CE′M中,CM=CE′?cos30°=,∴CE的最小值为.【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用垂线段最短解决最值问题,属于中考压轴题.19、(1)60;(2)20,20;(3)38000【解析】
(1)利用从左到右各长方形高度之比为3:4:5:10:8,可设捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为3x、4x、5x、10x、8x,则根据题意得8x=1,解得x=2,然后计算3x+4x+5x++10x+8x即可;(2)先确定各组的人数,然后根据中位数和众数的定义求解;(3)先计算出样本的加权平均数,然后利用样本平均数估计总体,用2000乘以样本平均数即可.【详解】(1)设捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为3x、4x、5x、10x、8x,则8x=1,解得:x=2,∴3x+4x+5x+10x+8x=30x=30×2=60(人);(2)捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为6,8,10,20,1.∵20出现次数最多,∴众数为20元;∵共有60个数据,第30个和第31个数据落在第四组内,∴中位数为20元;(3)2000=38000(元),∴估算全校学生共捐款38000元.【点睛】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.也考查了样本估计总体、中位数与众数.20、(1)10;(2)的长为【解析】
(1)利用勾股定理求解;(2)过点作于,利用角平分线的性质得到CD=DE,然后根据HL定理证明,设,根据勾股定理列方程求解.【详解】解:(1)在中,;(2)过点作于,平分,在和中,.设,则在中,解得即的长为【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,难点在于(2)多次利用勾股定理.21、(1)直线的解析式为:.(2)平移的时间为5秒.【解析】
(1)求直线的解析式,可以先求出A、C两点的坐标,就可以根据待定系数法求出函数的解析式.(2)设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P,⊙O3与x轴相切于D1点,连接O1O3,O3D1.在直角△O1O3D1中,根据勾股定理,就可以求出O1D1,进而求出D1D的长,得到平移的时间.【详解】(1)由题意得,∴点坐标为.∵在中,,,∴点的坐标为.设直线的解析式为,由过、两点,得,解得,∴直线的解析式为:.(2)如图,设平移秒后到处与第一次外切于点,与轴相切于点,连接,.则,∵轴,∴,在中,.∵,∴,∴(秒),∴平移的时间为5秒.【点睛】本题综合了待定系数法求函数解析式,以及圆的位置关系,其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的.22、(1)见解析;(2)⊙O直径的长是4.【解析】
(1)先判断出BD是圆O的直径,再判断出BD⊥DE,即可得出结论;
(2)先判断出AC⊥BD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BDC∽△BED,求出BD,即可得出结论.【详解】证明:(1)连接BD,交AC于F,∵DC⊥BE,∴∠BCD=∠DCE=90°,∴BD是⊙O的直径,∴∠DEC+∠CDE=90°,∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°,∵弧BC=弧BC,∴∠BAC=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,∴BD⊥DE,∴DE是⊙O切线;解:(2)∵AC∥DE,BD⊥DE,∴BD⊥AC.∵BD是⊙O直径,∴AF=CF,∴AB=BC=8,∵BD⊥DE,DC⊥BE,∴∠BCD=∠BDE=90°,∠DBC=∠EBD,∴△BDC∽△BED,∴=,∴BD2=BC?BE=8×10=80,∴BD=4.即⊙O直径的长是4.【点睛】此题主要考查圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,切线的判定和性质,第二问中求出BC=8是解本题的关键.23、(1)结果见解析;(2)不公平,理由见解析.【解析】判断游戏是否公平,即是看双方取胜的概率是否相同,若相同,则公平,不相同则不公平.24、(1)40、126(2)240人(3)【解析】
(1)用2部的人数10除以2部人数所占的百分比25%即可求出本次调查的学生数,根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°,即可得到“1部”所在扇形的圆心角;(2)用1600乘以4部所占的百分比即可;(3)根据树状图所得的结果,判断他们选中同一名著的概率.【详解】(1)调查的总人数为:10÷25%=40,∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14,则扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为:×360°=126°;故答案为40、126;(2)预估其中4部都读完了的学生有1600×=240人;(3)将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A,B,C,D,画树状图可得:共有16种等可能的结果,其中选中同一名著的有4种,故P(两人选中同一名著)==.【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合,用样本估计总体,列表法或树状图法求概率.解答此类题目,要善于发现二者之间的关联点,即两个统计图都知道了哪个量的数据,从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比,求出样本容量,进而求解其它未知的量.
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