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2022-2023学年浙江省衢州市高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合4={%|22x-3>4},B={x\x<5},则anB=()

A.{x||<%<5]B,{x||<x<5}C.{x\x<|}D.{x\x<5}

2.设z=^(其中i为虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直线n和平面a,氏则使平面a1平面?成立的充分条件是()

A.ml)?,m//aB.m///?,n//a

C.aPI/?=m,mln,nc/?D.m1m1a

4.已知sin《+》=?，贝bina=()

2.43

A-B-c-5D-I

5.函数丫=/。90.5氏2-％-2|的单调递增区间为()

A.(-00,-1)B.(2,4-00)

C.(-8,—1)和(：,2)D.(—1[)和(2,+8)

6.已知等差数列{即}的前项和为Sn，且品1>S1O>S12，若勾=2023以，数列{b}的前n项

积为〃，则使〃>1的最大整数《为()

A.20B.21C.22D.23

7.已知函数f(x)定义域为R,对Vx,y6R,恒有/(x+y)+fQ-y)=2f(x)f(y),则下列

说法错误的有()

A./(0)=1B./(2x+l)=/(-2x-l)

C./(x)+/(0)>0D.若f(l)=p则周期为6

8.衣柜里有5副不同颜色的手套，从中随机选4只，在取出两只是同一副的条件下，取出另

外两只不是同一副的概率为()

6124

----

A.7137

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.给出下列命题，其中正确的命题为()

A.若样本数据无1，%2,…，Xio的期望为3、方差为6,则数据2%-1,2X2-1,…,2%T的

期望为5、方差为11

B.假设经验回归方程为y=o.6—O.25x，则当x=4时，y的预测值为一0.4

C.随机变量X服从正态分布N(2,d),若p(x>4)=a,则P(X<0)=a

D.甲同学所在的某校高三共有5000人，按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样

本.则甲被抽到的概率为与

10.已知椭圆C：4+4=0)的左，右焦点分别为Fl，F2,长轴长为4,点P(/21)

在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则()

A.椭圆C的离心率的取值范围是(?,1)

B.当椭圆C的离心率为?时，IQFJ的取值范围是[2-门,2+C]

C.存在点Q使得评1?强=0

D-高彳+鬲的最小值为2

(4—\4x—8|,1<%<3

11.已知函数=，则下列说法正确的是()

A.若函数y=/(x)-kx+k有四个零点，则实数k的取值范围是点|)

B.关于x的方程/(久)一;=0有8个不同的解

C.对于实数xe[2,+oo),不等式xf(x)—10<0恒成立

D.当xe[3,9]时，函数f(x)的图象与工轴围成图形的面积为6

12.如图，在四棱锥P-4BCC中，AB//CD,AD=CD=1,NBA。=120。，乙4cB=90。,

PA1AC,平面P4C1平面PBC,点E在棱PC上且PE=3EC,点尸是4P4D所在平面内的动点，

点G是APBC所在平面内的动点，且点G到直线BC的距离与到点E的距离相等，则()

A.PA，平面ABC。

B.若二面角。-PC-4的余弦值为一，则点4到平面PBC的距离为?

C.若EF=F，则动点F的轨迹长度为早兀

44

D.若P4=1,则4G的最小值为?

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在（2x—》5的展开式中，各项系数的和是

14.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音火左起第49个键）

的频率为440Hz,钢琴上最低音的频率为27.5Hz,则左起第61个键的音的频率为Hz.

15.设抛物线必=4x的焦点为F,准线为，，过抛物线上一点P作，的垂线，垂足为Q.若M（3,0）,

N（-l,0）,P尸与MQ相交于点T,且前+汴=而，则APTN的面积为.

16.原有一块棱长为3a的正四面体石材，在搬运的过程有所

损伤，剩下了一块所有棱长均为a的八面体石材（如图），现将

此八面体石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面

积与该八面体石材外接球的表面积之比为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查

了4、B两地区的200名观众，得到如下所示的2x2列联表.

生常喜欢喜欢合计

A6030

BXy

合计

若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从B区且喜爱程度为“非常

喜欢”的观众中抽取8名.

(1)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(2)若以抽样调查的频率为概率，从4地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观

众的人数为X,求X的数学期望.

2

附._n(ad-bc)___其__中几=a+b+c+d.

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.050.0100.001

ko3.8416.63510.828

18.(本小题12.0分)

册-2+九71是偶数，

已知数列｛a｝满足：％=%=1，对任意九＞3且几eN*时，Q九=n是奇数其中四

n2%

表示不超过x的最大整数.

(1)求Cl2n；

1

(2)设%=:TF+。3人求数列｛%｝的前n项％,

a2n十人

19.(本小题12.0分)

在AABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知tcmA=sinB+sinC

cosB+cosC

(1)求4

(2)若c=2,b-；c=y/~6cosC,求sinC.

20.(本小题12.0分)

如图，在正三棱台ABC-4当G中，4当=1,AB=3,过棱的截面a与棱AB,BC分

别交于E、F.

⑴记几何体EBF-ABiG和正三棱台ABC—4B1G的体积分别为匕，V2,若引=看求EF的

长度；

(2)若8当=2。求直线BBi与平面ACG为所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=a

(1)若过点(0,6)作函数/(x)的切线有且仅有两条，求m的值；

(2)若对于任意k6(-8,0),直线y=kx+b与曲线y=/(x)(x6(0,+8))都有唯一交点，求

实数b的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知双曲线C：/_4=i，过点P(2急作直线咬双曲线C的两支分别于A,B两点，

(1)若点P恰为4B的中点，求直线，的斜率；

(2)记双曲线C的右焦点为凡直线尸4FB分别交双曲线C于D,E两点，求科理的取值范围?

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：解不等式22"3>4,即22A3>22,

A2x—3>2,

.,?%>I，

故4={x|22x-3>4}={x\x>|),

故AClB={x||<xW5}.

故。築.

解指数不等式求得集合4根据集合的交集运算可得答案.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为z=若==1+3，3:=竽=2+i,

14-1(14-0(1-1)二2-2

所以z在复平面内对应点坐标为(2,1)位于第一象限.

故。篈.

根据复数的除法运算化简复数z,再由复数的几何意义判断即可得答案.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：4选项中，根据??,ml。，m//a,可得存在“〃m，nua

,所以"，夕，nua,所以平面al■平面夕，A正确;

B选项中，mJ",n//a,aPlS=m',m//m',n//m',不一定得到a10,如下图，所以B错误:

C选项中，aC\P=m,mln,nc/?,不一定得到al夕，如下图，所以C错误;

。选项中，根据mlS，mla,所以a〃B，所以。错误.

故。篈.

4选项，由条件可得到Til夕，九ua得到充分性；B选项，不一定得到a，夕，作图说明；C选项,

不一定得到a1。，作图说明；D选项，根据条件得到面面平行可以判断.

本题考查线面关系以及充分必要条件的定义，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：由二倍角公式可得cos(a+今=1-2s讥2(升》=1_2x哼/=-1,

又cos(a+J)=—sina,：.sina=

故。篋.

根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.

本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于函数y=logoji-x-2|,令解得%H-1且％力2,

所以函数的定义域为(一8,-l)U(-l,2)U(2,+8),

__._U2-X-2,xe(-00,-1)u(2,4-00)

又函数y=|x2X[-x2+x+2,x&(-1,2)

所以、=区2一万一2|在(2,+8),(-1,勺上单调递增，在(-8,-1),2)上单调递减,

又函数y=logo.5%在定义域(。,+8)上单调递减,

2

根据复合函数的单调性，可知y=log0,5\x-x-2|的单调递增区间为(一8,-1)和6,2).

故。篊.

首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.

本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解:设等差数列｛_｝的公差为d,则念=20235—=2023%

故｛%｝为各项为正数的等比数列.

因为S】i>Si。>S]2‘故a]】>0,a11+a】2<0，故a[2<0，

a+a

故瓦1=2023ali>1,瓦2=2023%2<1,=2023?i^<1,

故瓦>b2>>瓦1>1,1>b12>瓦3>…，

所以720=瓦x。2X""X620=瓦X(b2b20)x?1?X(瓦0瓦2)X瓦1=瓦叫:>1>

7^21=b]X1)2X,,，X?>21=X(^2^20)X***X(匕10612)Xb[]—b：；>1.,

7,22=b[XZ?2X1,,XZ?22=(。1。22)X(b2b21)X,?,X(瓦1612)=(^11^12)^^<1,

所以723=T22b23<1.

故。築.

先判断出an>0,au+a12<0,a12<0,从而得到bu>1,b12<1,bxlbl2<1>故可判断T20,

721，722，723与1的大小关系?

本题主要考查等比数列的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由/(x+y)+/(x-y)=2f(x)f(y),

令x=0,y=0,有r(0)+〃0)=2/W(0),

可得f(0)=0或1，4错；

当f(0)=0时，令y=0,

则/。)+fM=2f(x)f(0)=0,f(x)=0,

函数f(x)既是奇函数又是偶函数，f(2x+1)=/(-2x-1),

当f(O)=1时，令x=0,

则fO)+=2f(0)〃y),则f(y)=/(一y),

函数/(x)是偶函数，f(2x+1)=/(-2x-1),

综上，B正确；

令刀=丫，则/'(2x)+/(0)=2产(乂)，

故/(2x)+f(0)20,

由于xeR,令t=2x,teR,即/■?+/■(())20,

即有/(x)+f(0)20，C正确；

若〃1)=摄令y=l,

则/(x+1)+/(X-1)=2/(X)f(l)=f(%),

所以f(x+l)=f(x)-f(x—l),

则f(x)=f(x—l)—/(x-2),

f(x+1)=[fix-1)-f(x-2)]-fix-1)=-/(x-2),

所以f(%)=-f{x-3)=f(x-6),

则f(x)周期为6,很正确.

故。篈.

利用赋值法求f(0)判断4赋值法结合函数奇偶性的定义判断8；赋值法结合换元法判断C；利用

赋值法求得/(x+1)=/(%)-/(x-1),化简得/(x)=-f(x-3)=/(x-6),即可判断D.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：设4为“从中随机选4只，取出两只是同一副”，

B为“从中随机选4只，有两只不是同一副”，

或+Cg,x2x2,而p(AB)=*,2x2,

则P(4)=

C10

__120_12

故P(B|4)=另+可或X2X2=130=13'

故。築.

设4为“从中随机选4只，取出两只是同一副”，8为“从中随机选4只，有两只不是同一副”，再

根据古典概型的概率公式可求PQ4)、尸(48)后可得条件概率.

本题考查条件概率相关知识，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4若。(X)=6,则O(2X-1)=2?O(X)=24,故A错误；

对于B,回归方程为y=0.6-0.25型当x=4时，y的预测值为-0.4,故2正确;

对于C,随机变量X服从正态分布N(2?2),

则P(X>2+2)=P(X<2-2),

即P(X>4)=P(X<0),故C正确；

对于D,根据简单随机抽样概率均等可知，甲被抽到的概率为^=去，故。正确.

DUUU

故。築CD.

人根据期望和方差的性质即可判断；B.把x代入回归方程即可判断；C.根据正态分布性质即可求解;

D.根据简单随机抽样概率均等即可求解.

本题主要考查方差的性质，回归方程，正态分布的性质，概率的求法，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：由题意得a=2,又点P(C,1)在椭圆C外，

71____

则工+7>1,解得bV/2，

所以椭圆C的离心率0=?=J亘>c，即椭圆C的离心率的取值范围是(早,1),故A正确；

当e=时，c=V-3，b=Va2—c2=1>

所以IQ&I的取值范围是[a-c,a+c],即[2-，谷,2+C],故B正确；

设椭圆的上顶点为4(0,b),尸式-c,0),F2(C,0),

由于丽-AF^=b2-c2=2b2-a2<0,

所以存在点Q使得Q耳-QF；=0,故C正确;(IQ&I++|Q^i)=2+^^|+粽||22+

2=4,

当且仅当IQ&I=IQF2I=2时，等号成立，

又IQF/+IQF2I=4,

所以急1+南‘1’故。不正确.

故。篈BC.

根据点P(，21)在椭圆C外，即可求出b的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断4

根据离心率求出c,则|Q&|[a—c,a+c],即可判断B；

设上顶点4得到福?丽<0,即可判断C；

根据IQFil+\QF2\=4利用基本不等式判断D.

本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解:因为函数f(x)=

沿y轴方向缩短为原来的一半，

所以=23-n[l-(3】-nx-2)],xG[3"T,3n)(neN*),

所以f(x)在[3"T,2?3"T](neN*)上单调递增，

在(2-3nt,3n)(nGN*)上单调递减，

所以f(x)在pn-i4n/neN*)上的最大值为f(2-3"T)=/，

最小值为/'(3吁1)=0,

即/(x)在[351,3力何GN*)上的值域为[0,舟](nGN*).

对于4令f(%)-kx+k=0,即f(久)=kx—k,则y=f(%)与y=kx—/c有四个交点,

作出n=l,2,3时/(x)的图象，如图1所示：(6,2),(18,1)分别与(1,0)连线的斜率为|,今

结合图象可得：实数k的取值范围是(今,|),选项A正确;

对于B,令f(x)_；=O,

所以方程根的个数即为y=/Q)与y=(交点的个数，

因为y=/(x)的最大值为/(2)=4,/Q)在［3n-i,3n)(n6N*)上的值域为［0,声］(九eN*).

所以?1=5时=；，y=/(%)与y=［的图象有且仅有一个交点，

所以关于x的方程/(x)-/=0有2x4+1=9个不同的解，选项8错误；

对于C,因为图象过点(6,2),令x=6,则6/(6)-10=6X2-10=2>0,所以选项C错误;

对于D,x6［3,9］时，函数/(x)的图象与x轴围成图形是底边长为9-3=6,高为2的三角形，

三角形的面积为S=gx6x2=6,选项。正确.

故。篈D.

画出函数/Xx)的部分图象，结合图象求出f(x)在［3时1,3与上的值域，利用数形结合法判断选项中

的命题是否正确即可.

本题考查了函数的零点、转化思想性、数形结合思想，画出函数的图象是解题的关键，是难题.

12.【答案】ACD

【解析】解：过点4作4M1PC,由于平面P4C_L平面PBC,

且交线为PC，AMu平面P4C,

所以AM1平面PBC,由于8cu平面PBC,故AM_LBC,

又AC1CB,AMflAC=A,AM,ACu平面PAC,

所以BCJ■平面PAC,P4u平面PAC,所以BCJ.P4由

PA1AC,ACnBC=C,AC,BCu平面ABC。，因此P41

平面4BCD,故A正确;

对于C,设P4=x,设点E到平面PAO的距离为"，则/=匕_PAE得〃=S^AEPDO=:4CP。。

S^ADPS^ADP

由于EF=?,故点F形成的轨迹为圆，设半径为=VEF^-h'^=J(4翳/一(手下=号1

所以轨迹长度为2”=正兀，故C正确；

4

?:AB”CD,AD=CD=1,乙BAD=120°,

.?.△4CD是等边三角形，AC=1,取AC中点为。，贝ijDO_LAC,

由PA_L平面4BCD,PAu平面PAC,故平面PAC_L平面4BC0,且交线为4C,。。u平面4BCD,

所以。。1平面PAC,PCu平面P4C,所以OOJ.PC,过。作ONJ.PC,ONCOD=0,ON,ODc

平面OND,

因此PCI平面ONO,DNu平面。ND,故PC1ON,

因此二面角。一「。一4的平面角为乙。可。，；.cos乙DNO=R，

设PA=x,由P4_L平面ABC。，An=4C可得PC=P。=^/1+二,

则SAPAC=^PA-AC=^=^PC-h=>h=^=,其中九为三角形PAC边PC边上的高,

乙//V14-xz

ONOD=孕，故cos/DNO=?今tan/DN。=2，

zZ5

又t,a，八WArcNOUD/7rS=FV3=2nx=/F3,

J7+X2

由于ON1PC,ONu平面P4C,平面P4C_L平面PBC,其交线为PC,

所以。N_L平面PBC,???点4到平面PBC的距离为/i=7上法=?，故B错误；

7i+x22

对于D,取PC中点为M,CE中点为Q,由题意可知点G的轨迹为以Q为焦点，以BC为准线的抛物线，

由于PA=AC=1,所以AM1PC,由面面垂直的性质可知AMJ■平面PBC,

过Q作AM的平行线作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

PC=V-2.CE=}PC=CM=?，所以焦点为Q(0,0,0)，M(O,O,崎)，

44Zo

故抛物线方程为y2=辱,

由于x轴〃AM,且4M=4PC=?，初=?(1,0,0)，二4(?,0,手)，

2LL2.o

设抛物线上任意一点G(0,y,z),

71rt21i2i、21?2i23A/-218?V-250

AG=-+y+(---z)2=,+y2+z2_z+_=z2__z+_)

由二次函数的性质可知：AG2最小值为遛z受一3,故4G的最小值为华，故?＞正确.

4-42

故。篈CD.

由面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可由线面垂直的判断判断4由二面角的

几何法由角大小求解长度，即可判断B；根据圆和抛物线的几何性质可判断估计，即可结合几何

运算求解DC.

本题考查面面垂直、线面垂直性质4,二面角的几何法由角大小求法，以及圆锥曲线的相关性质,

属于中档题.

13.【答案】1

【解析】解：由题意，令x=l,即可得到二项展开式的各项系数的和为(2x1-1户=1.

故答案为：1.

令x=1,即可得到二项展开式的各项系数的和.

本题考查二项式系数的性质，利用赋值法令x=1进行求解是解决本题的关键，是基础题.

14.【答案】880

【解析】解;设等比数列的公比为q(q>l),

则440=27.5q48,所以k2=2,

则左起第61个键的音的频率为27.5-q60=27.5?(q12)5=880(Wz).

故答案为:880.

设等比数列的公比为q(q>l),根据已知求出q,再利用等比数列的通项即得解.

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

15.【答案】亨

【解析】解：由图可知，前+而=而得前+前=>'率

又因为尸(1,0)为M(3,0),N(-l,0)的中点,

所以丽+而=2乔，所以2方=一汴,

所以7为PF的三等分点，且TP=2TF,\

MpTp1x.

又因为PQ〃MF,所以4TMF?Z7QP,且而=汴=才

所以QP=2MF=4,

不妨设P(x0,yo)，且在第一象限，

QP=殉+§=+1=4,所以Xo-3,

因为点P(x0,y。)在抛物线上，

所以y()=2，？，

所以根据相似关系可得，yT=1y0=亨，

所以=|xMFxyT=

故答案为：浮.

根据向量的线性关系确定2J7MF?47QP,并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.

本题考查抛物线的性质，属于中档题.

16.【答案】3：11

M

【解析】解：如图，补全正四面体，则正四面体的棱长

为3a,

由正四面体的对称性知，

正四面体的内切球、外接球球心与八面体内切球、外接

球球心重合，

记为0,。在底面的投影为。「则MO11平面QPN,

N

正四面体内切球半径R=。0「外接球半径r=0M=

0P,

正四面体M-QPN底面上的高九=MO1，

由相似性易得正四面体M-ABC底面上的高为《无，

由正三角形的性质，易得AQPN的高hi=J(3a)2_(|a)2=手0

则POi=薮九1=y/~3a,

则在Rt△MPOi中，h=MO】=JMP2_P0工,

即—R)2=/?2+(7"3Q)2,

解得R=Ta，

4

平面4BC到平面QPN的距离为h_；九=亨如

所以。到平面A8C的距离号a—R=若〉R,

故截面八面体的内切球半径亦为R,

则截面八面体的内切球的表面积为a=4兀/?2=^a2,

乂0。1=R=——u>0[H=i

4CL

则截面八面体外接球半径为OH=J。。：+。坦2,

所以截面八面体外接球表面积为S2=4双手a)2=

故加工后球的最大表面积与该八面体石材外接球的表面积之比为3：11.

故答案为：3：11.

补全正四面体，由正四面体的对称性，正四面体的内切球、外接球球心与八面体内切球、外接球

球心重合，记为。，由几何法分别求出正四面体的内切球半径以及。到平面4BC的距离，则较小者

为截面八面体的内切球半径，再由勾股定理求出外接球的半径，最后由球的表面积公式即可求解.

本题考查了球的表面积公式，属中档题.

17.【答案】解：(1)依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为缥x8=80,

表格补充完整如下:

非常喜欢合计

A603090

88030110

合计14060200

所以八2。湍霭X*0,87<3.841

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(2)从4地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率器=|,

从4地区随机抽取3人，则X?B(3,|),

X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=(占3=p(x=1)=?(|)1(》2=l，

P(X=2)=竭)2(*=l，P(X=3)=(|)3=捺,

所以X的分布列为：

X0123

1248

P

279927

所以E(X)=0x^-+lx^+2xJ+3x^-=2.

【解析】(1)补全列联表，根据公式计算K2结合临界表值进行判断即可；

(2)由题意分析计算观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为|,随机变量X?8(3,|)然后结合二项

分布的概率公式得分布列与数学期望.

本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题.

18.【答案】解：(1)当n是偶数时，叼=。?-2+加

即an-an_2=n,

则@271=。2+(“4—。2)++(。6—。4)+…+(^2n—@2n-2)=1+4+6+…+2几=2+4+6+

n

…+2n—1=(2+；九)—1=n(n+1)—1.

(2)当n是奇数时，喃=2,

即六=2,即83“｝是公比为2的等比数列，首项为。3=2,则a3n=2X2"1=2%

3n一】

则匕九二一匚+a3n=/+2n=----j—+2n,

71。2八+1'n(n+l)nn+l

则数列｛%｝的前n项％=1-；+2+＞打22+...+白系+2九=(1-磊)+爷/=1-

_l_+2n+1_2=2n+1_1__l_

【解析】(1)利用累加法进行求解即可.

(2)求出数列｛b｝的通项公式，利用裂项相消以及等比数列的求和公式进行计算即可.

本题主要考查数列通项公式和求和的计算，根据数列递推关系，利用累加法和裂项法求和是解决

本题的关键，是中档题.

19.【答案】解：(1)因为tan4=吗=s警:s",

''cosAcosB+cosC

所以sizMcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

所以sin24cos8—cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,则sin(A-8)=sin(C—4),

所以4-8=C-4或4-B+C-A=180。(舍)，又因为4+8+C=180°,即4=60°,

⑵由b-gc=y/~6cosCR.c=2可得匕—-cosC，

由正弦定理可得：sinB—|sinC=^-sinC-cosC，又A+8+C=180°,

所以sinB=sin(180°—A—C)=sin(A+C)=sin(60°+0,

故sin(60°+C)—1sinC=?sinC?cosC，所以芋cosC=?sinC-cosC,

由于C+B=120。，所以0VCV120。，贝iJcosC=0或sinC=。

当cosC=0时，C=90°,则sinC=。

综合，sinC=1或sinC=芋.

【解析】(1)根据商数关系式得tazM=吗=嘤吗，结合正弦两角和与差公式及角度范围即

COS^lCOSD-iCOSLj

可求得4

(2)由b—,c=/石cosC及c=2可得b—4c=qc-cosC，结合正弦定理边化角、诱导公式、两

角和差的正弦公式化简求值即可得sMC的值.

本题考查了正弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式，属于中档题.

20.【答案】解：⑴???三棱台ABC—是正三棱台，???&G〃平面4BC,

??,AiGu平面a,平面an平面ABC=EF,:.AJ/EF,

若BE=：4B,则BE=&Bi，几何体EBF-是三棱柱，

记SAA[BIG=S',SABEF=Si，SMBC=S?=9S',

/_3S'_37

此时弓=可高7?=行运’不满足题意’舍去；

因此设E&与BBi交于点0,E&与FQ交于点。「

则第=警，端=等，因为&Bi=&Ci，BE=FE,

二弟=笑1，。=。1，即E&,FC,SB1交于同一点,

二几何体EBF-&BiG是三棱台,

/s，+jSS+S17

S]=4S',EF=2A=2；

13

“2s'+js's2+s2

(2)如图，延长44i，BBi，CG交于点G,作AC中点H,连接HB,HG,

vACLHB,AC1HG,HGCiHB=H,HG,HBu平面HBG,

AC1平面HBG,过B作BMJ.HG交HG于M,则4clBM,

vHGdAC=H,HG,ACu平面4"出，BM1平面ZCG4,

???NHGB为直线BB]与平面4CC1&所成的角，

「Dor-onIT「J.3V11

VGB=3V3,BH=U一，GH=——

.?.在△GHB中，由余弦定理可得,

?HG2+BG2-BH2(守)2+(3/3)2-(亨a5E

COSZ.HrGRB=----…----=----------z-?--------=f-，

2HGB1G3r2X^^X31533

???直线BBI与平面4CC14所成角的正弦值为要.

【解析】(1)根据题意，先由条件证得EBF-&B1G是三棱台，再结合棱台的体积计算公式即可得

到结果；

(2)根据题意，延长441，CCi交于点G,作AC中点H,连接HG,可得/HGB即直与

平面4CC1&所成的角，再结合余弦定理即可得到结果.

本题考查线面所成的角，考查几何体的体积，棱台的定义，属于中档题.

21.【答案】解：(1)设过点(0,m)作函数f(x)切线的切点为(a,劫，

因为/'(x)=M，所以切线方程为y-S=M(x-a)，即丫=?4+5，

又因为切线过点(0,m),所以巾=包.

ea

令g。)=徐则do)=

所以工(-8,0),g\x)<0,g(%)递减；

xe(0,2),g'(%)>0,g(x)递增；

x6(2,+oo),g'(x)<0,g(x)递减.

当x=0时，g(%)取极小值g(0)=0；当％=2时，g(%)取极小值g(2)=白,

g(0)=0,%<0时g(x)>0；x>0时g(x)>0,

根据以上信息作出g(x)的大致图象，

由题意，直线y=m与gQ)的图象有且仅有两个交点,

4

所以m=g(2)

(2)由题可得丘+b=福有唯一解，即Z=*-5,久>0有唯一解.

令九(%)AY，%>仇

若b40,则三—2>0与题设k?(―80),矛盾，故b>0.

exx

又因为％T0,九(%)T-8;%T+8,九。)T0,

结合题意可得九(切=2—5在(0,+8)上单调递增，

即"(X)=>0,所以6>(^)max(x>。)，

结合⑴可得(第max=去所以b2

即实数b的取值范围为6,+8).

【解析】(1)设过点(0,6)作函数/(X)切线的切点为(a,*)，利用导数的几何意义求出切线方程，又

因为切线过点(0,m),所以m=《，令g(x)=热作出g(x)的大致图象，由题意，直线y=m与g(x)

的图象有且仅有两个交点，数形结合即可得出答案；

(2)由题可得k=f,x>0有唯一解，令h(x)=2'/>0,结合题意可得/i(x)=三，在

exexex

(0,+8)上单调递增，即"⑴=r!”20,结合(1)可得解.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能

力，属于难题.

22.【答案】解：(1)由题意可得，设4(%,yi)，B(x2ly2),

城

2

X-

1-3

由

成两式相减可得后一底=](*一y分，

2

%-

2-3

嚅%驾=3

月+及i

y「y2k_F——力+乃

其中AAB=f“°P一空一勺+外'

xi-x2

QA

所以k&B,k()p=3,又k°p——,故=2*

(2)设AF：x=my4-2,D(x3,y3),E(x4,y4),

22

由m；+23一0=(3m—l)y4-12my4-9=0,

得%〃3=而1r又加=岁，故％.为=3.(4],_年=盗五=含，

从而丫3=盘'同理有丫4=含,

另一方面，鬻=霖=玲第1=1-般|马|25-20%+-+1631,

34

(5-4z1)(5-4x1)

Q

设4B；y-|=k(x-2),

X--JLQO

由3得(3-k2)-x2+(4/c2-9k)-X-4k2+18k-手=0,

y=fc(x-2)+-

(,一4必+9々

与+勺=-^2-

故，

-4k2+18k-

冷=3-必

代入上式有寒4区+吟普+金笆0g中泮=|-2.昌,

由直线AB交双曲线于两支可知k6(-<3,0)-令3-/c=te(3-，'3+，号),

故鬻=11+意"25+2/%，当且仅当t=?时，即t=，％时，取等号，

即沁Se[5+2，7,+8).

'△FDE

【解析】(1)根据题意,设做/41)，B(x2,y2),再由点差法即可得到结果;

(2)根据题意，设4F：x=my+2,D(x3,y3),E(x^,y^,然后联立直线与双曲线方程，结合韦达

定理，代入计算，即可得到结果.

本题主要考查了直线与双曲线相交问题，难度较难，解答本题的关键在于将直线2F的方程设为x=

my+2,以及将三角形的面积比通过韦达定理转化，计算量较大.