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重庆綦江中学2024年高三压轴卷数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称2.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.3.已知,则p是q的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知,,,若,则正数可以为()A.4 B.23 C.8 D.175.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺6.已知复数z满足i?z=2+i,则z的共轭复数是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i7.定义在R上的函数满足,为的导函数,已知的图象如图所示,若两个正数满足,的取值范围是()A. B. C. D.8.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.9.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()A. B. C. D.10.已知定义在上的函数满足,且当时,.设在上的最大值为(),且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则________.14.已知数列满足对任意,若,则数列的通项公式________.15.点在双曲线的右支上,其左、右焦点分别为、,直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的渐近线的斜率为__________.16.已知实数,对任意,有,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,空间几何体中,是边长为2的等边三角形,,,,平面平面,且平面平面,为中点.(1)证明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.18.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围.19.(12分)设函数,,(Ⅰ)求曲线在点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.20.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.21.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求;(2)若,求.22.(10分)已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故。築【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.2、C【解析】

利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故。海镜憔Α勘咎饪疾楦词拇硎痉捌浼负我庖,考查复数相等的条件,是基础题.3、B【解析】

根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故。築【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.4、C【解析】

首先根据对数函数的性质求出的取值范围,再代入验证即可;【详解】解:∵,∴当时,满足,∴实数可以为8.故。篊【点睛】本题考查对数函数的性质的应用,属于基础题.5、A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:

沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,

则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.6、D【解析】

两边同乘-i,化简即可得出答案.【详解】i?z=2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i,选D.【点睛】的共轭复数为7、C【解析】

先从函数单调性判断的取值范围,再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【详解】由的图象知函数在区间单调递增,而,故由可知.故,又有,综上得的取值范围是.故。篊【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识,属于中档题.8、D【解析】

把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故。篋.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.9、B【解析】

设左焦点的坐标,由AB的弦长可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点,由题意可得,由,可得,所以双曲线的方程为:所以,所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r,所以三角形的面积,所以,解得,故。築【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法,内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用,属于中档题.10、C【解析】

由已知先求出,即,进一步可得,再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立,设,只需找到数列的最大值即可.【详解】当时,则,,所以,,显然当时,,故,,若对于任意正整数不等式恒成立,即对于任意正整数恒成立,即对于任意正整数恒成立,设,,令,解得,令,解得,考虑到,故有当时,单调递增,当时,有单调递减,故数列的最大值为,所以.故。篊.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识,是一道较为综合的数列题.11、D【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故。海镜憔Α勘咎饪疾槭械牡萃乒叵凳降挠τ、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.12、C【解析】

框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故。篊.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用正弦定理将边化角,即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知,,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化,属基础题.14、【解析】

由可得,利用等比数列的通项公式可得,再利用累加法求和与等比数列的求和公式,即可得出结论.【详解】由,得,数列是等比数列,首项为2,公比为2,,,,,满足上式,.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.15、【解析】如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即,两边平方并化简得,所以,因此.16、-1【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【详解】由,且,则,又,所以,令得:,所以,故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)分别。闹械,,连接,,,,,要证明平面,只需证明面∥面即可.(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系,分别计算面的法向量,面的法向量可。⑴卸隙面角为锐角,再利用计算即可.【详解】(1)证明:分别。闹械,,连接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立如图所示空间直角坐标系由面,所以面的法向量可。,点,点,,,设面的法向量,所以,。面角的平面角为,则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查学生的运算能力,在做此类题时,一定要准确写出点的坐标.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)要证明,只需证明即可;(2)有3个根,可转化为有3个根,即与有3个不同交点,利用导数作出的图象即可.【详解】(1)令,则,当时,,故在上单调递增,所以,即,所以.(2)由已知,,依题意,有3个零点,即有3个根,显然0不是其根,所以有3个根,令,则,当时,,当时,,当时,,故在单调递减,在,上单调递增,作出的图象,易得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.19、(1)(2)【解析】分析:(1)先断定在曲线上,从而需要求,令,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,从而求得函数在相应区间上的最值.详解:(Ⅰ)当,.,当,,所以切线方程为.(Ⅱ),,因为,所以.令,,则在单调递减,因为,所以在上增,在单调递增.,,因为,所以在区间上的值域为.点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,需要对公式的正确使用.20、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)依题意在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由参变分类可得,令,利用导数研究的单调性、极值,从而得到参数的取值范围;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:,即:,只需证:,设,即证:,再分别证明,即可;【详解】解:(Ⅰ)由题意可知,,在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由可得,,令,则,令,可得,当时,,所以在上单调递减,且当时,单调递增;当时,单调递减;所以是的极大值也是最大值,又当,当大于0趋向与0,要使在有两个根,则,所以的取值范围为;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:即:,只需证:设,即证:要证,只需证:令,则在上为增函数,即成立;要证,只需证明:令,则在上为减函数,,即成立成立,所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式,属于难题;21、(1)(2)【解析】

(1)根据正弦定理到,得到答案.(2)计算,再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)由,可得,因为,所以,所以.(2),又因为,所以.因为,所以,即.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理,意在考查学生的计算能力.22、(1)(2)4【解析】

(1)将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标,利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可;(2)设A、B点坐标以及直线AB的方程,代入抛物线方程,利用根与系数的关系,以及垂直关系,得出关系式,计算的值即可.【详解】(1)将点P横坐标代入中,求得,∴P(2,),,点P到准线的距离为,∴,∴,解得,∴,∴抛物线C的方程为:;(2)抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为,;设,直线AB的方程为,代入抛物线方程可得,∴,…①由,可得,又,,∴,∴,即,∴,…②把①代入②得,,则.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,以及抛物线与圆的方程应用问题,考查转化思想以及计算能力,是中档题.

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