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新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师中学2024届高考数学押题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.2.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B3.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.4.已知函数是奇函数,则的值为()A.-10 B.-9 C.-7 D.15.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.6.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()A. B. C. D.7.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A. B.C.2 D.8.函数()的图像可以是()A. B.C. D.9.如图,四边形为正方形,延长至,使得,点在线段上运动.设,则的取值范围是()A. B. C. D.10.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同12.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.578二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,已知圆及点,设点是圆上的动点,在中,若的角平分线与相交于点,则的取值范围是_______.14.已知盒中有2个红球,2个黄球,且每种颜色的两个球均按,编号,现从中摸出2个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好同时包含字母,的概率为________.15.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.16.某部队在训练之余,由同一场地训练的甲?乙?丙三队各出三人,组成小方阵开展游戏,则来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,直线与椭圆相交于两点;当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时,的周长为,且与椭圆的另一个交点的横坐标为(1)求椭圆的方程;(2)点为内一点,为坐标原点,满足,若点恰好在圆上,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.19.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.20.(12分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.21.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;(2)证明:数列是等比数列;(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.22.(10分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.2、C【解析】试题分析:集合考点:集合间的关系3、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故。築.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.4、B【解析】
根据分段函数表达式,先求得的值,然后结合的奇偶性,求得的值.【详解】因为函数是奇函数,所以,.故。築【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.5、A【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点F1,0,准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥抛物线的准线,从而PF⊥x轴,所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.6、B【解析】
连接、,即可得到,,再根据平面向量的数量积及运算律计算可得;【详解】解:连接、,,是半圆弧的两个三等分点,,且,所以四边形为棱形,.故。築【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用,属于基础题.7、A【解析】
准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,为圆心.,又点在圆上,,即.,故选A.【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.8、B【解析】
根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故。築【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.9、C【解析】
以为坐标原点,以分别为x轴,y轴建立直角坐标系,利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形的边长为1,则,,设,则,所以,且,故.故。篊.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围,考查学生的基本计算能力,本题的关键是建立适当的直角坐标系,是一道基础题.10、A【解析】试题分析:由题意得有两个不相等的实数根,所以必有解,则,且,∴.考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)=0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.11、A【解析】
设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故。篈.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.12、D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由角平分线成比例定理推理可得,进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标,代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程,再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离,所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形,因为AQ是的角平分线,由角平分线成比例定理可知,所以.设点,点,即,则,所以.又因为点是圆上的动点,则,故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆,又即为该圆上的点与原点间的距离,因为,所以故答案为:【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题,常常转化到圆心的距离加减半径,还考查了求动点的轨迹方程,属于中档题.14、【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数,让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率.【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况,其中有种情况是两个球颜色不相同;故其概率是故答案为:.【点睛】本题主要考查了求事件概率,解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15、【解析】
不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,求得,再用余弦定理求得:,从而求得,再根据顶点A到面EDF的距离为,得到,然后利用等体积法求解,【详解】不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,,顶点D到面ABC的距离为所以,由余弦定理得:,所以,所以,又顶点A到面EDF的距离为,所以,因为,所以,解得,故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力,属于难题,16、【解析】
分两步进行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,对每一行选人;最后,利用计算出概率即可.【详解】首先,第一行队伍的排法有种;第二行队伍的排法有2种;第三行队伍的排法有1种;然后,第一行的每个位置的人员安排有种;第二行的每个位置的人员安排有种;第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案为:.【点睛】本题考查了分步计数原理,排列与组合知识,考查了转化能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或【解析】
(1)由椭圆的定义可知,焦点三角形的周长为,从而求出.写出直线的方程,与椭圆方程联立,根据交点横坐标为,求出和,从而写出椭圆的方程;(2)设出P、Q两点坐标,由可知点为的重心,根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上,知点M的坐标满足圆O的方程,得式.为直线l与椭圆的两个交点,用韦达定理表示,将其代入方程,再利用求得的范围,最终求出实数的取值范围.【详解】解:(1)由题意知.,直线的方程为∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为解得或(舍去),∴椭圆的方程为(2)设.∴点为的重心,∵点在圆上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长,标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系,其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力,属于较难的题.18、(1)答案见解析(2)【解析】
(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.19、(1)见解析;(2).【解析】
(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最。耸,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.20、(1);(2)10【解析】
(1)消去参数,可得曲线C的普通方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式,代入即可求得曲线C的极坐标方程;(2)将代入曲线C的极坐标方程,利用根与系数的关系,求得,进而得到=,结合三角函数的性质,即可求解.【详解】(1)由题意,曲线C的参数方程为,消去参数,可得曲线C的普通方程为,即,又由,代入可得曲线C的极坐标方程为.(2)将代入,得,即,所以=,其中,当时,取最大值,最大值为10.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及曲线的极坐标方程的应用,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.21、见解析【解析】
(1)由题可得的所有可能取值为,,,,且,,,,所以的分布列为所以的数学期望.(2)由题可得,所以,又,,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可得.22、(1)(2)(i)(ii)分布列见解析,【解析】
(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率,利用事件的独立性即得解;(2)(i)分别计算每个事件的概率,再利用事件的独立性即得解;(ii),利用事件的独立性,分别计算对应的概率,列出分布列,计算数学期望即得解.【详解】(1)甲从五所高校中任选2所,共有共10种情况,甲、乙、丙同学都选高校,共有四种情况,甲同学选高校的概率为,因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为.(2)(i)甲同学必选校且选高校的概率为,乙未选高校的概率为,丙未选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为.(ii),因此,.即的分布列为0123因此数学期望为.【点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望,考查了学生综合分析,概念理解,实际应用,数学运算的能力,属于中档题.
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