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贵州省百所学校2023-2024学年高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知直线过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线的方程为()A. B.C.或 D.或2.若等差数列和的公差均为,则下列数列中不为等差数列的是()A.(为常数) B.C. D.3.已知分别为的三边长,且,则=()A. B. C. D.34.圆的圆心坐标和半径分别为()A. B. C. D.5.在中,若,,,则()A. B. C. D.6.在中,若,则()A. B. C. D.7.设向量,,若三点共线,则()A. B. C. D.28.已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.若,则下列不等式不成立的是()A. B. C. D.10.用区间表示不超过的最大整数,如,设,若方程有且只有3个实数根,则正实数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知数列的通项公式是,若将数列中的项从小到大按如下方式分组:第一组:,第二组:,第三组:,…,则2018位于第________组.12.在中,角的对边分别为,若,则_______.(仅用边表示)13.已知函数的部分图象如图所示,则的值为_________.14.已知向量,若向量与垂直,则等于_______.15.在中,角,,所对的边分别为,,,若,则角最大值为______.16.向边长为的正方形内随机投粒豆子,其中粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于的区域内(图中阴影区域),由此可估计的近似值为______.(保留四位有效数字)三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.己知函数.(1)若,,求;(2)当为何值时,取得最大值,并求出最大值.18.设等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.19.(1)证明:;(2)证明:对任何正整数n,存在多项式函数,使得对所有实数x均成立,其中均为整数,当n为奇数时,,当n为偶数时,;(3)利用(2)的结论判断是否为有理数?20.某算法框图如图所示.(1)求函数的解析式及的值;(2)若在区间内随机输入一个值,求输出的值小于0的概率.21.驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15~65岁的人群抽取了n人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?(3)在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
根据题意,分直线是否经过原点2种情况讨论,分别求出直线的方程,即可得答案.【详解】根据题意,直线分2种情况讨论:①当直线过原点时,又由直线经过点,所求直线方程为,整理为,②当直线不过原点时,设直线的方程为,代入点的坐标得,解得,此时直线的方程为,整理为.故直线的方程为或.故。篋.【点睛】本题考查直线的截距式方程,注意分析直线的截距是否为0,属于基础题.2、D【解析】
利用等差数列的定义对选项逐一进行判断,可得出正确的选项.【详解】数列和是公差均为的等差数列,则,,.对于A选项,,数列(为常数)是等差数列;对于B选项,,数列是等差数列;对于C选项,,所以,数列是等差数列;对于D选项,,不是常数,所以,数列不是等差数列.故。篋.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式,注意等差数列定义的应用,考查推理能力,属于中等题.3、B【解析】
由已知直接利用正弦定理求解.【详解】在中,由A=45°,C=60°,c=3,由正弦定理得.故选B.【点睛】本题考查三角形的解法,考查正弦定理的应用,属于基础题.4、B【解析】
根据圆的标准方程形式直接确定出圆心和半径.【详解】因为圆的方程为:,所以圆心为,半径,故。築.【点睛】本题考查给定圆的方程判断圆心和半径,难度较易.圆的标准方程为,其中圆心是,半径是.5、D【解析】
由正弦定理构造方程即可求得结果.【详解】由正弦定理得:本题正确选项:【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题,属于基础题.6、A【解析】
由已知利用余弦定理即可解得的值.【详解】解:,,,由余弦定理可得:,解得:,故。篈.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.7、A【解析】
利用向量共线的坐标表示可得,解方程即可.【详解】三点共线,,又,,,解得.故。篈【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,需掌握向量共线,坐标满足:,属于基础题.8、D【解析】
取的中点,连接,则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角,在中,利用余弦定理,即可求解.【详解】由题意,取的中点,连接,则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角,设正三棱柱的各棱长为,则,设直线与所成角为,在中,由余弦定理可得,即异面直线与所成角的余弦值为,故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、A【解析】
由题得a<b<0,再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【详解】由题得a<b<0,对于选项A,=,所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,,所以,所以选项C正确.对于选项D,,所以选项D正确.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是:作差→变形(配方、因式分解、通分等)→与零比→下结论;比商的一般步骤是:作商→变形(配方、因式分解、通分等)→与1比→下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.10、A【解析】
由方程的根与函数交点的个数问题,结合数形结合的数学思想方法,作图观察y={x}的图象与y=﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围,即可得解.【详解】方程{x}+kx﹣1=0有且只有3个实数根等价于y={x}的图象与y=﹣kx+1的图象有且只有3个交点,当0≤x<1时,{x}=x,当1≤x<2时,{x}=x﹣1,当2≤x<3时,{x}=x﹣2,当3≤x<4时,{x}=x﹣3,以此类推如上图所示,实数k的取值范围为:k,即实数k的取值范围为:(,],故选A.【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题,数形结合的数学思想方法,属中档题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解析】
根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数,从中寻找规律使问题得到解决.【详解】根据题意:第一组有2=1×2个数,最后一个数为4;第二组有4=2×2个数,最后一个数为12,即2×(2+4);第三组有6=2×3个数,最后一个数为24,即2×(2+4+6);…∴第n组有2n个数,其中最后一个数为2×(2+4+…+2n)=4(1+2+3+…+n)=2n(n+1).∴当n=31时,第31组的最后一个数为2×31×1=1984,∴当n=1时,第1组的最后一个数为2×1×33=2112,∴2018位于第1组.故答案为1.【点睛】本题考查观察与分析问题的能力,考查归纳法的应用,从有限项得到一般规律是解决问题的关键点,属于中档题.12、【解析】
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果.【详解】由正弦定理,结合可得,即,即,从而.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理余弦定理和三角形面积的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.13、【解析】
根据图像可得,根据0所在位置,处于函数的单调减区间,即可得解.【详解】由图可得:,或由于0在函数的单调减区间内,所以.故答案为:【点睛】此题考查根据三角函数的图象求参数的取值,常用代入法求解,判定初相的取值时,根据图象结合单调性取值.14、2【解析】
根据向量的数量积的运算公式,列出方程,即可求解.【详解】由题意,向量,因为向量与垂直,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,以及向量的垂直关系的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15、【解析】
根据余弦定理列式,再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题16、3.1【解析】
根据已知条件求出满足条件的正方形的面积,及到顶点的距离不大于1的区域(图中阴影区域)的面积比值等于频率即可求出答案.【详解】依题意得,正方形的面积,阴影部分的面积,故落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的概率,随机投10000粒豆子,其中1968粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的频率为:,即有:,解得:,故答案为3.1.【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”,最后根据求解.利用频率约等于概率,即可求解。三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(1),1.【解析】
(1)由题得,再求出x的值;(1)先化简得到,再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.【详解】(1)令,则,因为,所以.(1),当,即时,的最大值为1.【点睛】本题主要考查解简单的三角方程,考查三角函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.18、(1)或;(2).【解析】
(1)利用等差数列性质先求出的值,进而得到公差,最后写出数列的通项公式;(2)依照题意找出(1)中符合条件的数列,再用等差数列前项和公式求出数列的前项和.【详解】(1)因为等差数列,且,所以所以,又,所以,于是或设等差数列的公差为,则或,的通项公式为:或;(2)因为成等比数列,所以所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式,注意分类讨论思想的应用.19、(1)见解析;(2)见解析;(3)不是【解析】
(1),利用两角和的正弦和二倍角公式,进行证明;(2)对分奇偶,即和两种情况,结合两角和的余弦公式,积化和差公式,利用数学归纳法进行证明;(3)根据(2)的结论,将表示出来,然后判断其每一项都为无理数,从而得到答案.【详解】(1)所以原式得证.(2)为奇数时,时,,其中,成立时,,其中,成立时,,其中,成立,则当时,所以得到因为均为整数,所以也均为整数,故原式成立;为偶数时,时,,其中,时,,其中,成立,时,,其中,成立,则当时,所以得到其中,因为均为整数,所以也均为整数,故原式成立;综上可得:对任何正整数,存在多项式函数,使得对所有实数均成立,其中,均为整数,当为奇数时,,当为偶数时,;(3)由(2)可得其中均为有理数,因为为无理数,所以均为无理数,故为无理数,所以不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式,积化和差公式,数学归纳法证明,属于难题.20、(1);(2)【解析】
(1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式,从而计算得到的值;(2)此题为几何概型,分类讨论得到满足条件下的函数x值,从而求得结果.【详解】(1)由算法框图得:当时,,当时,,当时,,,(2)当时,,当时,由得故所求概率为【点睛】本题主要考查分段函数的应用,算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力.21、(1)0.9,0.36,270,90;(2)2人,3人,1人,1人;(3)1121【解析】
(1)先计算出总人数为1000人,再根据公式依次计算a,b,x,y的值.(2)根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人(3)排出所有可能和满足条件的情况,得到概率.【详解】(1)依题和图表:由0.010×10×n=500.5得:由0.020×10×n=180a得:由0.030×10×n=x0.9得:由0.025×10×n=90b得:由0.015×10×n=y0.6得:故所求a=0.9,b=0.36,x=270,y=90.(2)由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人用分层抽样抽取7人,则:从第二组回答正确的人中应该抽取:7×180从第三组回答正确的人中应该抽。7×270从第四组回答正确的人中应该抽取:7×90从第五组回答正确的人中应该抽取:7×90故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人;(3)设从第二组回答正确的人抽取的2人为:2a,2b,从第三组回答正确的人抽取的3人为:3a,3b,3c从第四组回答正确的人抽取的1人为:4a从第五组回答正确的人抽取的1人为:5a随机抽取2人,所有可能的结果有:(2a,2b),(2a,3a),(2a,3b),(2a,3c),(2a,4a),(2a,5a),(2b,3a),(2b,3b),(2b,3c),(2b,4a),(2b,5a),(3a,3b),(3a,3c),(3a,4a),(3a,5a),(3b,3c),(3b,4a),(3b,5a),(3c,4a),(3c,5a),(4a,5a),共21个基本事件,其中第二组至少有1人被抽中的有:(2a,2b),(2a,3a),(2a,3b),(2a,3c),(2a,4a),(2a,5a),(2b,3a),(2b,3b),(2b,3c),(2b,4a),(2b,5a)共这11个基本事件.故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为:1121【点睛】本题考查了频率直方图,分层抽样,概率的计算,意在考查学生的应用能力和计算能力.
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