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2022-2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测
高一数学
2023年1月
本试卷共4页,22小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,将条形码横
贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑;
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.如图,直线/的倾斜角为()
2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),满足)_L5,则x的值为()
14
A.2B.-2D.T
3.已知圆的一条直径的端点分别为片(2,5),巴(4,3),则此圆的标准方程是()
A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(x-3)2+(y-4)2=8
C.(x+3)2+(y+4)2=2D.(x-3)2+(^-4)2=2
4.己知向量4=(1,0,6),8=(1,2,0),则A在a上的投影向量是()
5.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球,〃个绿球,现采用不放回的方式从中依次随机取出2个
球.若取出的2个球都是红球的概率为1,则〃的值为()
3
A4B.5C.12D.15
6.已知直线4:工+2”-1=0与/2:(3。-1)1一砂一1=0平行,则实数。的值为()
A.-B.gC.0或二D.;或1
6/6/
22
7.过点M(2,l)作斜率为1的直线,交双曲线与—?=1(a>0*>0)于4,B两点,点M为AB的中点,
则该双曲线的离心率为()
A.理B.也C.—D.72
22
8.在两条异面直线“,匕上分别取点E和点A,凡使A&_La,且A&_L乩已知=2,AF=3,
EF=5,AA,=V6,则两条异面直线”,人所成的角为()
兀兀2兀5兀
A.-B.-C.—D.—
6336
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.
9.对于一个古典概型的样本空间Q和事件A,B,其中〃(。)=18,〃(A)=9,〃(B)=6,〃(Au3)=12
则()
A.事件A与事件B互斥B.=|
C.事件A与事件后相互独立D.
''6
X2y2
10.已知曲线C方程为^^+±二1,则C可能是()
25-k9+k
A.半径为J万的圆
B.焦点在i上椭圆,且长轴长为后二I
C.等轴双曲线
D.焦点在y上的双曲线,且焦总)为2、/2)一16
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点/到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线交于A、8两点,
若加(根,2)是线段AB的中点,则()
A.m=lB.〃=4C.直线/的方程为y=2x-4D.|AB|=5
12.如图,已知正方体ABCD-A耳GR棱长为2,点M为CG的中点,点P为底面A4G。上的动点,
A.满足MP//平面的点P的轨迹长度为3
满足BPLAM的点P的轨迹长度为立
B.
2
C.存在点尸满足Q4+PM=4
D.以点8为球心,立为半径的球面与面44C的交线长为平兀
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.从长度为4,6,8,10的4条线段中任取3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为.
,2、2,、|MN|r-
14.已知圆+(y一6)=广(厂>0),若圆。与y轴交于M,N两点,且画。广43,则r=
15.已知F是双曲线C:0一三=1(。>0)的右焦点,尸是C的左支上一动点,A(0,2V3),若,APF
周长的最小值为io,则c的渐近线方程为.
16.圆锥曲线具有丰富的光学性质,从椭圆的一个集点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另
一个焦点.如图,胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门(电影胶片通过
的地方)处获得最强的光线,灯丝入,与影片门片应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C:三+二=1,
43
椭圆的左右焦点分别为K,F2,一束光线从工发出,射向椭圆位于第一象限上的。点后反射光线经过点A,
4
且tanN4尸?=§,则ZFtPF2的角平分线所在直线方程为_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17._ABC的三个顶点分别为A(l,2),B(3,0),C(4,5),M是AB的中点.
(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程;
⑵求L3cM的面积.
18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话,但119台不仅仅是一部电
话,也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报,还可以通过卫星调集
防灾救援力量,向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识,防范安全风险,
特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动,每轮竞答活动由甲、乙
各答一题.在每轮竞答中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为乙
每轮答对的概率为P,且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为2.
12
⑴求P值:
(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.
19.已知椭圆C:m+/=i(a>b>o),四点片(一1,1),鸟(0,6),《[1,一[)中恰有三
点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)若斜率存在且不为0的直线/经过C的右焦点凡且与C交于A、B两点,设A关于x轴的对称点为。,
证明:直线过x轴上的定点.
20.在已知数列{%}中,q=2,%+|=2an-1.
(I)若数列{4-/}是等比数列,求常数r和数列{%}的通项公式;
⑵若bn=2(%—1)+(―1)”?〃,求数列也}的前2/7+1项的和s2n+i.
21.党的二十大kok电子竞技提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35(XX)座,总长
接近赤道长度的隧道(约37000千米).这些隧道样式多种多样,它们或傍山而过,上方构筑顶棚形成“明洞”
;或挂于峭壁,每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中,只露出窄窄的
出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发,为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式,如图所示,
路宽为16米,洞门最高处距路面4米.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧AB的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全,该同学进一步优化了设计方案,在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装
满货物后整体呈长方体状,宽2米,高3.6米,则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
22.已知过原点的动直线4与圆C:/+丁一8》+12=0相交于不同的两点A,B.
(1)求线段AB的中点M的轨迹「的方程;
(2)若直线4:丁=履上存在点尸,使得以点尸为圆心,2为半径圆与「有公共点,求上的取值范围.
2022-2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测
高一数学
2023年1月
本试卷共4页,22小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答
案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试
卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不
准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.如图,直线/的倾斜角为()
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角的定义分析运算.
IT37r
【详解】由题意可知:直线/的倾斜角为一的补角,即为一.
44
故。篊.
2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),满足“工人,则》的值为()
1414
A.2B.-2C.一D.---
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.
【详解】"_L〃,a=(4,-2,3),b=(l,5,x)
.,.4xl+(-2)x5+3x=0,
解得x=2
故选:A.
3.已知圆的一条直径的端点分别为片(2,5),4(4,3),则此圆的标准方程是()
A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(%-3)2+(y-4)2=8
C.(x+3)?+(y+4)2=2D.(x-3『+(y-4=2
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径,即可得出该圆的标准方程.
【详解】由题意可知,圆心为线段68的中点,则圆心为C(3,4),
圆半径为|C用=J(2—3y+(5—4)2=0,
故所求圆的方程为(x—3)2+(y—4/=2.
故。篋.
4.已知向量4=(1,0,6),8=(1,2,0),则6在a上的投影向量是()
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得:=1x1+0x2+73x0=1,a=^12+02+(^)2=2-
a-ba1rI1百'
故0在a上的投影向量为一[蓑=7。=14,°,彳.
故。篊.
5.一个袋子中装有形状大小完全相同6个红球,"个绿球,现采用不放回的方式从中依次
随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为。颉ǖ闹滴ǎ
3
A.4B,5C.12D.15
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程,能求出〃的值.
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球,其中有6个红球,〃个绿球,
从袋中不放回地依次随机取出2个球,取出的2个球都是红球的概率是,,
3
6x5_1
则(6+”)(5+〃)3,
解得〃=4(负值舍去).
故。篈.
6.已知直线4:x+2ay—l=O与/2:(3a—l)x-@一1=0平行,则实数。的值为()
1111,、
A.-B.—C.0或/D.孑或1
6/6/
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线平行可得出关于实数。的等式与不等式,解之即可.
2〃(3〃-1)=一。1
【详解】由已知可得〈I),解得。=0或一.
故。篊.
22
7.过点M(2,l)作斜率为1的直线,交双曲线二—二=1(。>0,。>。)于A,8两点,点
cTb
M为A8的中点,则该双曲线的离心率为()
A瓶B.73C.—D.V2
22
【答案】B
【解析】
【分析】设点4(%,凹),3(七,%),代入双曲线方程后做差,整理,可得关系,再利用
c2="+〃消去h即可求得离心率.
【详解】设点),8(占,%),
1_2
,两式做差后整理得万工?"&=与,
I%,—x2%]+x2b~
-----=1,再+无2=4,y+%=2,
司一工2
Q2
.?.士=二,又02=储+/,
4b2
1a2
2~c2-a2
得?=也
a
故。築
8.在两条异面直线上分别取点4,E和点A,凡使A4,,且A4,,/?.已知4七=2,
A尸=3,EF=5,A4,=46,则两条异面直线”,〃所成的角为()
7in2兀5兀
A.-B.-C.—D.—
6336
【答案】B
【解析】
【分析】设两条异面直线”,人所成的角为将等式所=马+44+4/两
边同时平方计算可得答案.
【详解】如图,设两条异面直线。,。所成的角为
AAtla,A4,lb,AE=2,AF=3,EF=5,例=#,
/.EF=EAi+AA+AF,
:端jo?2?2?2.?一????
则EF=(EAi+A,A+AFY=EAl+^A+AF+2%?44+2马.AF+2AA?AF
.-.52=22+(V6)2+32±2X2X3COS^,
得COSe='或cos0=--(舍去)
22
:.0=-
3
故。築
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.
9.对于一个古典概型的样本空间。和事件A,8,其中〃(。)=18,〃(A)=9,〃(3)=6,
〃(4°3)=12则()
A.事件A与事件B互斥B.=-
C.事件A与事件豆相互独立D.P(AB\=-
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.
【详解】由题意可得:"储)=霜=/「⑻;喘V,则p(力)=1—p(B)=g,
?.?〃(AuB)="(A)+"(B)—〃(砌,
〃(AB)=〃(A)+〃(5)—〃(AUJB)=3W0,即事件A与事件8不互斥,A错误;
可得:=〃(C)—〃(A)+〃(AB)=12,
故
「(砌=嚅=/(a8)=嗡叽.(碉=i("B)="网=1"(啊='
可知B正确,D错误;
又(戏)=P(A)P⑻,
???事件A与事件后相互独立,C正确;
故。築C.
io.已知曲线c的方程为——+工=1,则c可能是()
25—k9+k
A.半径为J厅的圆
B.焦点在x上的椭圆,且长轴长为后二I
C.等轴双曲线
D.焦点在y上的双曲线,且焦距为2J2&-16
【答案】AD
【解析】
【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围,再结合各曲线的几何性质逐项判断,可
得出合适的选项.
'25-k=9+k
【详解】对于A选项,若曲线。为圆,则,八,解得后=8,
25-%>0
此时,曲线。的方程为/+9=17,该圆的半径为J万,A对;
25-k>9+k
对于B选项,若曲线。表示焦点在X轴上的椭圆,则,八,解得—9<%<8,
9+^>0
此时,椭圆。的长轴长为2后二I,B错;
对于C选项,若曲线C为等轴双曲线,则25-左+9+z=0,无解,C错;
[9+k>0
对于D选项,若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,贝叫c,八,解得Z>25,
25-女<0
此时,双曲线C的焦距为2J9+1+9—25=242%—16,D对.
故。篈D.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点/到准线的距离为4,直线/过点厂且与抛物线交
于A、B两点,若M(根,2)是线段AB的中点,则()
A.m=\B.,=4C.直线/的方程为y=2x-4D.
|AB|=5
【答案】BC
【解析】
【分析】根据抛物线的儿何性质可判断B;利用点差法求解得直线斜率,从而可判断C;由
点”(根,2)在直线/上可求得胆,可判断A;利用弦长公式可判断D.
【详解】由题知,。=4,故抛物线方程为y2=8x.
设4(3,x),B(x2,y2),易知石H,则
y:=8王由点差法可得y.也-y一,=---?---
yl=8乙玉一々,+%
又〃(根,2)是线段48中点,所以x+%=4,所以直线/的斜率无资=2
因为直线/过焦点/(2,0),所以/的方程为丁一0=2。-2),即y=2x—4
对于A:将M(m,2)代入y=2x—4可得加=3,A错误;
对于B:B正确;
对于C:C正确;
对于D:将y=2x-4代入y2=8》得%2一61+4=0,所以斗+工2=6,所以
|AB|=x,+W+〃=6+4=10,故D错误.
故。築C
12.如图,已知正方体ABC。一A耳GR棱长为2,点M为CG的中点,点尸为底面
上的动点,贝M)
A.满足MP//平面BOA的点P的轨迹长度为血
B.满足BP,AM的点尸的轨迹长度为巫
2
C.存在点尸满足Q4+PM=4
D.以点B为球心,夜为半径的球面与面AB。的交线长为半兀
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A,利用面面平行的性质证明线面平面,进而求出轨迹长度;
对选项B,建立空间直角坐标系,利用向量垂直求出点P轨迹,进而求出轨迹长度;
对选项C,建立空间直角坐标系,利用距离公式求出点尸轨迹满足的方程,再结合二次方程
的判别式,进而判断不存在这样的点P;
对选项D,利用等体积法求出球心点8到面做C的距离,进而求出交线长度;
AZ
分别取G2,与G的中点为瓦F,连接EF,MF,ME.
可得:MFH'D,ME//A.B.
又有:MFME=M.
可得:平面/平面
故满足MPII平面BD4)的点P的轨迹长度为|?/|=72,故答案A正确;
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
可得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),°(0,0,2),A(2,0,2),(2,2,2),
G(0,2,2),A/(0,2,1).
设尸(x,y,2),可得:A力=(—2,2,1),B^=(x—2,y—2,2),力=(x—2,y,2),
MP=(x,y-2,iy
—>—>
由8P_LAM,可得:AM-8P=2(y—x+l)=0?
分别取AA,A片的中点为G,H,点p满足2(y-x+l)=0方程,说明点尸在平面
A4G2内的轨迹为一条线段G”,则满足6尸,A〃的点P的轨迹长度为|G〃|=J5,
故答案B错误.
要使E4+PM=4,只需:PM+PA=4.
可得:^x-2)2+y2+4+^x2+(y-2)2+l=4(0<%<2,0<y<2).
化简可得:48x2+32Ay-104x+48y2-152^+151=0(0<%<2,0<y<2).
则:△=—256(32y2—88y+71)<0,即当0<y<2时,△<().显然该方程无解,
故不存在这样的点P,故答案C错误.
V4B|C为正三角形,设点B到平面ABC的距离为“,点⑸平面ABC的距离为2.
由等体积法,可得:%一AfftC=V%一ABC?
可得:-X—x(2\/2)2x—d=-x—x23,4即d=
321,2323
故以点B为球心,、历为半径的球面与面A4c的交线长为:2xJ(&y_427t=半兀
故答案D正确.
故。篈D
【点睛】(1)与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图;
(2)用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算,要理解空
间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比;
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.从长度为4,6,8,10的4条线段中任取3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率
为.
3
【答案】一##0.75
4
【解析】
【分析】利用古典模型概率即可求解.
【详解】由题可得,取出的三条线段长度的可能性有:
(4,6,8),(4,6,10),(4,8,10),(6,8,10),其
中能构成三角形的有(4,6,8),(4,8/0),(6,8,10),
3
这三条线段能构成一个三角形的概率为二,
4
3
故答案为:-
4
14.已知圆C:(x—以+仆―域=/上>0),若圆c与y轴交于两点,且黑^=6,
则厂=
【答案】2
【解析】
【分析】首先通过图=6的关系,得|网=6r,然后根据圆的垂径定理构造关于「
的方程,解方程即可求出半径
【详解】由题意知C:(x—Ip+Q—与2=/&>0)的圆心。([⑼,半径为广,
圆心到y轴的距离为1,
|W|
因为圆C与y轴交于M,N两点,且5
|MC|=r(r>0),所以卜Gr,
由垂径定理得,产=『+
3
即产;干+一,,解得厂=2.
4
故答案为:2.
22
15.已知产是双曲线C:?一匕=1何>0)的右焦点,P是。的左支上一动点,
矿3
A(0,26),若AP尸周长的最小值为10,则C的渐近线方程为.
【答案】y=±y/3x
【解析】
【分析】设出厂'(一。,0),运用双曲线的定义可得归百一|尸产'|=2a,则_A/>尸的周长为
\PA\+\PF\+\AF\^\PA\+\PF'\+2a+^\2+c2>运用三点共线取得最小值,可得
〃力,。的关系,进而可得渐近线方程.
【详解】由题意可得A(0,26),尸(c,0),设F(-c,0),
由双曲线的定义可得|"|一归尸[=2a,
\PF\^2a+\PF'\,
则.APR的周长为
\PA\+\PF\+\AF\=\PA\+\PF'\+2a+V12+c2>|AF'\+2a+yj\2+c2,
当且仅当AP,9共线时,取得最小值,且为2a+2J12+C?,
由题意可得2。+2712+?=10-即2a+2J12+/+3=10
解得4=1,
则渐近线方程为y=±-x=土也x
a
故答案为:y—±V3x.
16.圆锥曲线具有丰富的光学性质,从椭圆的一个集点发出的光线,经过椭圆反射后,反射
光线过椭圆的另一个焦点.如图,胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭
圆.为了使影片门(电影胶片通过的地方)处获得最强的光线,灯丝吊,与影片门可应位于椭
22
圆的两个焦点处.已知椭圆C:二+上=1,椭圆的左右焦点分别为耳,工,一束光线从尸2
43
4
发出,射向椭圆位于第一象限上的P点后反射光线经过点耳,且tan/片桃=§,则/大尸K
【解析】
【分析】先利用同角三角函数基本关系求出cosN^PE,再在../我/居中利用余弦定理及
椭圆的定义求出夕耳,夕工,进而得到耳心「为直角三角形,利用,.耳心P中角的关系可求
出tan/PQK,再通过%=1求出2点坐标,则直线方程可求.
【详解】如图,设的角平分线与x轴交于点。,
SinZFPF22
tanZFtPF2='^=-,sinZf;PF,+cos/耳PF,=l,Nf;P尸e(0,兀),
cosZF]PF23
3
:.cosN/=;P工=j
设P片=加,Pg=〃,
,lclm2+n2-223m=-
,cosZF,PF、=---------------=一,,2
则,~2mn5,解得,
m+n-4n--
1I2
25
:.PF;=—=PF^+F2F^,即,/8P为直角三角形
,ZEPR3ZFP/S2,ZF.PF,1
?2
又cosZFlPF2=2COS-^-^--1=-,cos-=sin—\^-=—==
(四一鸟]=
COSZPQF2=cosNQPsinNQP6=;,cosZPQF2G(0,7i)
<2)y/5
2,/s—CLsinZ.PQF-,,
sinNPQF,=,tanZPQF2=-----?=2
上25cosZPQF2
当x=l时,;+g=l,得>=±5,;.
3
’2:y—万=2(无一1),BP4x-2y-l=0
故答案为:4x-2y-l=0
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.一ABC的三个顶点分别为A(l,2),3(3,0),C(4,5),M是AB的中点.
(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程;
⑵求二3cM的面积.
【答案】(l)2x_y_3=0
(2)3
【解析】
【分析】(1)根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解;
(2)根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可知:A8的中点M为(2,1),
则边A8上的中线CM所在直线的方程为二=二二2,即2x-y-3=0.
5-14-2
【小问2详解】
由⑴可得:1cMi='(4-2)2+(5-1)2=2行,且点B(3,0)到直线CM的距离
|6-0-3|3^5
-丁
故.BCA7的面积S=g|CA7|xd=;x2有*?=3.
18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话,但119台不
仅仅是一部电话,也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾
害情报,还可以通过卫星调集防灾救援力量,向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为
了加强学生的消防安全意识,防范安全风险,特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙
两人组队参加消防安全知识竞答活动,每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中,甲
和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为:,乙每轮答对的
概率为。,且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
12
(1)求P的值;
(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.
【答案】⑴巳3
4
31
⑵一
96
【解析】
【分析】(1)利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解;
(2)分甲有两题没有答对,乙有两题没有答对,甲乙各有一题没有答对三种情况,利用相互
独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.
【小问1详解】
设事件A="甲第一轮猜对",事件8="乙第一轮猜对“,事件C="甲第二轮猜对“,事件
。="乙第二轮猜对,
,甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
P(ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(C)P(方)
「1222-]5
=2—xpx—xn+—x(l-p)x—xn=——
_333'73J12
解得〃=一3或p=5=(舍去)
44
【小问2详解】
三轮竞答活动中甲乙一共答6题,甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题,即总共有2题没
有答对,
可能甲有两题没有答对,可能乙有两题没有答对,可能甲乙各有一题没有答对.
甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率
2
、3xC;x2x(\131
P21|+C;X2TX-xC?x’3丫X—=——
5+]97-3133,3-496
22.
19.已知椭圆C:0+今=1(。>0>0),四点片(一1,1),?(0,6),片
1’22丁
B中恰有三点在椭圆c上.
⑴求C的方程;
(2)若斜率存在且不为0的直线/经过C的右焦点凡且与C交于A、B两点,设4关于x轴
的对称点为。,证明:直线8。过x轴上的定点.
22
【答案】(1)土+二=1
43
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据对称性得到椭圆上的点,再将点代入椭圆方程求解即可.
(2)设直线/:x="+l,徐0,4(不乂),3(々,%),则。a,f),将直线方程和椭圆方
程联立,利用韦达定理计算直线80与x轴的焦点坐标即可.
【小问1详解】
根据椭圆对称性,点A4(1,一|)必在椭圆上,
则片(-1,1)不在椭圆上,以0,网在椭圆上,
L2=Ia=2
?>a24b2-,解得<
h=V3
b=g
2
所以。的方程为f二+±v=1
43
小问2详解】
由(1)得右焦点厂(1,0),
设直线/:x=<y+l,rwO,A(X),^),5(x,,y2),贝|」。(士,-%)
',2
土+匕=]
联立J43一,消去]得(3/+4)丁+6)-9=0,
x=ty+i
6t9
则rlI…=一仃川=一仃
又直线8。:y="^口一%)+%,
%一百
令y=0得x=+x,=一)'2(:一-)+(),2+X)?=)科+)代
%+乂2%+x%+x
“―一一)
又%。+XW=.V2(》+1)+X(T2+1)=25%+]=I3f2+4)+]=4
%+M%+X%+,6t
3『+4
即y=0日寸,x=4,
直线B。过x轴上的定点(4,0).
20.在已知数列{4}中,卬=2,an+l=2an-1.
(1)若数列{凡-/}是等比数列,求常数1和数列{q}的通项公式;
n
⑵若bn=2(a?-l)+(-l).n,求数列{2}的前2/1+1项的和S2n+1.
【答案】(1”=1,a,,=2,,-1+1
⑵S2N=22"2-〃一3
【解析】
【分析】⑴由4+1=2%-1,化简得到%—1=2(4-1),得出{。“一1}时首项为1,公比
为2的等比数列,求得f=1,进而求得数列的通项公式;
⑵由⑴得到a=2"+(-1)"-〃,结合等比数列的求和公式和并项求和法,即可求解.
【小问1详解】
由题意,数列{4}满足=24-1,所以。e一1=2(4-1),
又由4=2,可得4—1=1,
所以数列{4—1}时首项为1,公比为4=2的等比数列,
又因为数列{。“一/}是等比数列,所以,=1,
可得。“一1=1.2"T=2"T,
所以数列{a“}的通项公式为a“=2"T+1.
【小问2详解】
由⑴知:a“=2"T+l,可得d=2(4-1)+(-1)"-〃=2"+(-1)"〃
所以数列{勿}的前2〃项的和为:
2
S2n=(2+2++2?")—1+2-3+4+一(2〃-1)+2〃
24—22”)
-----^+(-1+2)+(-3+4)++[-(2n-l)+2n]
1—2
2-(1-22")一o“.
1-2
2n+12n+2n+2
所以52,川=S2n+瓦用=2+7?-2+2'-(2n+l)=2-n-3.
21.党的二十大kok电子竞技提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过
35(X)O座,总长接近赤道长度的隧道(约37(XX)千米).这些隧道样式多种多样,它们或傍山
而过,上方构筑顶棚形成“明洞”;或挂于峭壁,每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但
是更多时候它们都隐伏于山体之中,只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后
受此启发,为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式,如图所示,路宽为16米,洞门最
高处距路面4米.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧AB的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全,该同学进一步优化了设计方案,在路中间建立了2米宽
的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状,宽2米,高3.6米,则此货车能否通过该洞门?
并说明理由.
【答案】(l)x2+(y+6)2=100(0?y?4)
(2)不能,理由见解析
【解析】
【分析】(1)以点。为坐标原点,AB>OC所在直线分别为X、y轴建立平面直角坐标系,
分析可知圆心在y轴上,设圆心坐标为(0/),设圆的半径为小将点B、c的坐标代入圆
的方程,求出力、r的值,结合图形可得出圆弧A8的方程;
(2)求出货车右侧的最高点的坐标,代入圆弧A8的方程,可得出结论.
【小问1详解】
解:以点。为坐标原点,AB、。。所在直线分别为X、y轴建立如下图所示的平面直角坐
标系,
则点。(0,4)、B(8,0),由圆的对称性可知,圆心在y轴上,
设圆心坐标为(0/),设圆的半径为,则圆弧A3所在圆的方程为x?+(y—犷=/,
0+(4-M2=r2
因为点C、8在圆上,则4,解得。=-6,r=l()o
子+9一8)2=产
所以,圆弧AB所在圆的方程为x2+(y+6『=100,
因此,圆弧A8的方程为/+(^+6)2=100(0<丁〈4).
【小问2详解】
解:此火车不能通过该路口,
由题意可知,隔墙在)'轴右侧1米,车宽2米,车高3.6米,
所以货车右侧的最高点的坐标为(3,3.6),
因为32+(3.6+6)2>100,因此,该货车不能通过该路口.
22.已知过原点的动直线4与圆C:犬+丁-8x+12=O相交于不同的两点A,B.
(1)求线段A8的中点M的轨迹「的方程;
(2)若直线,2:y=履上存在点P,使得以点P为圆心,2为半径的圆与r有公共点,求人
的取值范围.
【答案】(l)f+y2-4x=0,(3<xW4)
,(3V3+4V236+4内
⑵叫一^
【解析】
【分析】(1)根据垂径定理确定A3LCM即,利用向量的数量积运算即可求出
轨迹方程;
(2)将问题转化为轨迹端点到直线丁=丘的距离小于等于2,利用点到直线的距离公式求解.
【小问1详解】
由题可知4的斜率存在,设直线4:y=/nr,
设M(x,y),圆c:V+y2-8x+]2=0即(x-4)2+y2=4,
则圆心C(4,0)/=2,
因为M为弦AB的中点,所以AB_LCM,
即OMJ_GW,所以OM?CM=(尤,y)?(尤一4,y)=0,
即x2+y2—4x=。,
由「2?一”'=°得E(3,G),F(3,—?为两圆的交点,
[X2+/-8X+12=0',')
所以轨迹「的方程为?+;/-4%=0,(3<%<4).
【小问2详解】
由(D知「为圆丁+/一48=0上不含瓦尸的劣弧〃,
因为直线6:丁="一2上存在点P,使得以点尸为圆心,2为半径的圆与「有公共点,
当左=0时,存在圆/+,2一4》=0满足题意;
当攵〉0时,只需点E@,6)到直线丁=丘的距离4=与二1<2,
&?徂八13g+4夜
解得0<女<----------;
5
当左<0时,只需点尸(3,一百)到直线^=丘的距离〃=%^<2,
臃俎+4>/2
解得-------------<%<0n;
5
,(373+47236+4拒)
ku-------------------
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