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函数应用

。方程

§1

1.1利用函数性质判断方程解的存在

?贩丽课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本PU5?116,思考并完成以下问题

1.函数的零点的定义是什么？

2.判断函数_/U)在区间(a,加内有零点的方法是什么？

1.函数的零点

(1)函数的零点：函数v=/U)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

(2)函数y=_/(x)的零点，就是方程於曰的解.

2.零点存在性定理

若函数y=*x)在闭区间［a,切上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反,

即/a”(b)<0,则在(a,加内，函数v=Ax)至少有一个零点,即相应的方程A*)=0在(。，协

内至少有一个实数解.

［点睛］

(1)方程人x)=()有实数解今函数y=_")的图像与x轴有交点台函数y=/(x)有零点.

(2)f(a)-f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)

和图⑵.

分别有4个零点和1个零点.

［小孩才多］

1.判断下列说法是否正确，正确的打“J”，错误的打“x”.(1)函数7=式用的零点是

一个点.()

(2)函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的解.()

(3)若函数y=/(x)的图像是连续不断的，且爪。)叭。)V0,则函数y=/(x)在区间仅，。)内

有且只有一个零点.()

(4)若函数y=/(x)在区间(a,。)内有零点，则/(")：励)<0.()

答案：⑴X(2)V(3)X(4)X

2.函数y=4x—2的零点是()

A.2B.(-2,0)

C.Q,o)D.|

答案：D

3.下列函数没有零点的是()

A.J(x)=0B.於)=2

C.f(x)-=x2-lD.f(x)=x-j

答案：B

4.函数_Ax)=log2X—1的零点所在的区间为()

A.(0,|)B.&1)

C.(1,2)D,(2,3)

解析：选C?.??)=log2T—2=—3<0,

/ll)=log2l—1=-1<0,/(2}=log22-1=1>0,

二函数零点所在区间为(1,2).

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一v求函数的零点

［典例1求下列函数的零点.

(l)j=—X2—x+20；

(2购=/-1.

I解］(l)j=-x2-x+20=-(x2+x-20)

=?(x+5)(x—4),

方程一/一七+20=0的两根为一5,4.

故函数的零点是一5,4.

(2)由于八七)=/一1=(*2+1)(*+1)。-1),

方程x4—1=0的实数根是一1,1.

故函数的零点是一1,1.

函数零点的求法

求函数八丫)的零点时，通常转化为解方程式工)=0,若方程式x)=o有实数根，则函数/U)

存在零点，该方程的根就是函数大用的零点；否则，函数/U)不存在零点.

［活学活用］

求下列函数的零点.

(16x)=2,—1；(26x)=lg(*2—1)+8；

(3如)=门_4.

解：(1)由2*—1=0,得x=0,故函数的零点为0.

(2)由IgCr2—1)+8=。，得x=±d10F+1,故函数的零点为士N10F+1.

(3)由e*r-4=0,得x=l+ln4,故函数的零点为1+ln4.

题型二"判断函数零点所在的区间

［典例］函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的一个区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

［解析］因为_/U)=lnl+2Xl-6=14V0,/(2)=ln2+2X2-6<lne2-2=0,f(3)=

ln3+2X3-6=ln3>0,/(4)=ln4+2X4-6=21n2+2>0,f(5)=\n5+2X5-6=ln5+4

>0,所以<2)近3)V0,又函数八x)的图像是连续不断的一条曲线，故函数八刈的零点所在

的一个区间是(2,3).

［答案］B

解决零点所在区间的判断问题，只需计算选项中所有的区间端点对应的函数值并判断

正负即可.

~"［活学活用］

函数八x)=lnx—1的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.Q,1)和(3,4)D.(e,+~)

解析：选B??VU)=-2V0,12)=ln2—IVO,

又在(0,+8)上是单调增函数，

.?.在(1,2)内於)无零点.

又???八3)=1113—；>0,

.??Ax)在(2,3)内有一个零点.故选B.

题型三'

判断函数零点的个数

I典例I函数八x)=2'+lg(x+l)—2的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

［解析］法一：(判定定理法)；/(0)=l+0—2=—1<0,

/(l)=2+lg2-2=lg2>0,

.?JU)在(0,1)上必定存在零点.

又显然人r)=2*+lg(x+l)—2在(-1,+8)上为增函数，

故/(X)有且只有一个零点.

法二：(图像法)如图，在同一坐标系中作出入(*)=2—2*和8(*)=旭(*+1)的图像.

由图知，g(x)=lg(x+l)和h(x)=2~2x的图像有且只有一个交点，

即｛x)=2*+lg(x+l)-2有且只有一个零点.

［答案］B

~~判断函数零点的个数的主要方法

(1)利用判定定理法判断：对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性

定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.

(2)利用图像法判断：由/(x)=g(x)—Mx)=O,得g(x)=A(x),在同一坐标系中作出山=

g(x)和72=%(x)的图像，利用图像判断方程根的个数.

［活学活用］

函数｛x)=x§一映的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B函数式x)=x3-Q>的零点个数，即方程*3—《>=()的根的个数，即

函数y=x)的图像与函数图像的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个

数为1.

-3-2-id-i23ix

题型四

［典例］已知a是实数，函数4x)=2a|x|+2x—a,若函数y=/U)有且仅有两个零点,

则实数a的取值范围是.

［解析］易知a#=0,令/U)=o,即2a|x|+2x—a=o,变形得|x|一一］，

分别作出函数yi=|x|—m=一的图像，如图所示.

/U

由图易知：当0<一!<1或

—K—^<0,即“V—1或”>1时，力和力的图像有两个不同的交点，

...当“V—1或时，函数y=/(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(一8,

-1)U(1,+8).

［答案］(-8,-1)U(1,+8)

一寝博函薮零点不薮泰参薮标赛一

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后

数形结合求解.

［活学活用］

已知关于x的方程好一2。*+4=0,在下列条件下，求实数a的取值范围.

(1)一个根大于1,一个根小于1;

(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内.

解：(1)方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,设贝丫)=炉-2ax+4,结

合二次函数的图像与性质及零点的存在性定理得_/U)=5-2aV0,解得a>|.

故实数a的取值范围为G，+°°)

(2)方程必一2仆+4=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图像与

7(0)=4>0,

Al)=5-2?<0,1017

性质及零点的存在性定理得\解得TVaV7.

/(6)=40-12a<0,34

J(8)=68-16a>0,

故实数a的取值范围为管，?).

后整t锦网唳摩理由课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.函数式X)=*2—X—1的零点有()

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

解析：选CJ=(-l)2-4XlX(-l)=5>0

方程/一工一1=0有两个不相等的实根，

故函数=X—1有2个零点.

2.方程停>一*=0的解有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选B设g(x)=G)。h(x)=x,在同一坐标系中，画出函|>

数g(x)和人(x)的图像，如图所示.则g(x)和Mx)图像仅有一个交点，

则方程啰一x=0仅有一个解.ZJ°

3.函数yu)=igx+x有零点的区间是()

A.(1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(1,3)

解析：选B:端)=扁+点=-1+忘<0,/(D=lg1+1=1>0,.,.函数段)在

4，1)内有零点，经验证选项A、C、D均不满足，故选B.

4.若a<b<c,则函数/(x)=(x—a>(x—b)+(x—6>(x—c)+(x—c>(x—a)的两个零点分

别位于区间()

A.(a,8)和(Z>,c)内B.(—°°,a)和(a,Z>)内

C.(b,c)和(c,+8)内D.(—8,a)和(c,+8)内

解析：选A由已知易得八°)>0,f(b)<0,f(c)>0,故函数_/U)的两个零点分别位于区

间(a,b)和(b,c)内.

5.已知函数人x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()

A.0B.1

C.-1D.不能确定

解析：选A?奇函数的图像关于原点对称，.?.若Ax)有三个零点，则其和必为0.

6.根据表格中的数据，可以判定方程e，一x—2=0的一个根所在的最小区间为

解析：令Ax)=e，-x-2,则八1)=-3=一<0,{2)=—4=>0,⑵V0....函数

Ax)在(1,2)内有零点，即方程e*-x—2=()的根在(1,2)内.

答案：(1,2)

7.若函数人*)=/-x+a有两个零点，则a的取值范围是.

解析：,.?/=(—1)2—4X1Xa=l—4a.而/(x)=x2—x+a有两个零点，即方程好一*+“

有两个不相等的实数根.即aV；.

答案：(~8,

8.若函数/(x)=-y,则g(x)=y(4x)—x的零点是

x-14x-1

解析：..VUL?，.\A4x)=-^-

4x-14x—1

则g(x)=4x-X,令g(x)=0,有4xr=0,

解得x=；.

答案：I

9.判断函数/U)=x—3+lnx的零点的个数.

解：法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y=lnx,y=—x+3

的图像，如图所示.卜(一/3

由图可知函数y=lnx,寸

OA2J\X

y=-r+3的图像只有一个交点，|/

即函数4x)=x-3+lnx只有一个零点.

2

法二：因为八3)=ln3>0,1A2)=-1+ln2=ln-<0,所以人3)哄2)<0,说明函数/U)

=x-3+lnx在区间Q,3)内有零点.

又_/(x)=x—3+lnx在(0,+8)上是增函数，

所以原函数只有一个零点.

10.试判断方程好=2、在区间［1,2］内是否有实数根？

解：因为函数4%)=好-2,的图像在区间［1,2］上是连续曲线，

并且11)=1-2=-1<0,12)=8—4=4>0,

所以犬1)叭2)V0,

所以函数八X)=好一2*在区间［1,2］内至少有一个零点，即方程?*=2*在区间［1,2］内至少

有一个实数根.

层级二应试能力达标

1.已知/U)是定义域为R的奇函数，且在(0,+8)内的零点有1003个，则/(x)的零

点的个数为()

A.1003B.1004

C.2006D.2007

解析：选D'Vlx)为奇函数，且在(0,+8)内有1003个零点，.?.在(一8,0)上也有

1003个零点，又；/10)=0,二共有2006+1=2007个.

2.方程好一上一1=0在［1,1.5］内实数解有()

A.3个B.2个

C.至少1个D.0个

解析：选C令人》)=好一万一1,则丈1)=一1V0,

41.5)=3——i=3->o.

所以方程x3—x-l=0在［1,1.5］内实数解至少有1个.

3.设函数_/U)=e*+x—2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足｛a)=0,gS)=0,贝！|()

A.g⑷VOV加)B.加)VOVg(<

C.0<g(a)<fib)D.fib)<g(a)<0

解析：选A因为函数八x)=e』+x-2在R上单调递增，且#0)=1—2V0,_/U)=e-l

>0,所以/(a)=0时，aG(O,l).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+8)上单调递增，且g(i)=-

2<0,所以g(a)VO.由g(2)=ln2+l>0,g(<=0得附1,2),又且|x)=e*+x-

2在R上单调递增，所以八。)>0.综上可知，g(a)VOV_A，).

4.已知人x)是定义在R上的奇函数，当时，/(JOUX2—3x.则函数g(x)=_/tx)—x+

3的零点的集合为()

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3)

C.{2—巾，1,3}D.{-2一巾，1,3}

解析：选D当x20时，函数g(x)的零点即方程_/U)=x-3的根，由好-3%=丫-3,

解得x=l或3;

当xVO时，由八x)是奇函数得一/U)=/(-*)=/-3(一*),即,*工)=一*2—3*,

由,/(x)=x—3得x=-2一木(正根舍去).

x1-!,xWO,

5.函数,*x)=的零点个数是

2x—6+lnx,x>0

解析：当xWO时，令2=0,解得x=-也；当x>0时，/(x)=2x—6+lnx,显然

函数凡r)=2x-6+lnx在(0,+8)上单调递增，因为/U)=2-6+ln1=—4<(),八3)=ln3

>0,所以函数/(x)=2x—6+lnx在(0,+8)上有且只有一个零点.综上，函数式x)的零点

个数为2.

答案：2

6.已知函数八x)=logax+x—夙a>0,且aWl).当2VaV3V》V4时，函数4x)的零

点XoG(",〃+1),“GN",则”=.

解析：函数段)的零点即方程log?x=&-X的根，

令yi=log“x,yi=b?x,

函数/U)的零点即这两个函数图像交点的横坐标.

当2V.V3V8V4时，作出这两个函数的图像,

如图所示.

由图像知函数_/U)只有一个零点,

且"只能是1或2或3,

而<1)=1一。VO,/(2)=logfl2+2-Z><14-2-3=0,犬3)=log"3+3-)>l+3—4=0,

根据零点的存在性定理，

可得函数｛x)的零点在区间Q,3)内，故“=2.

答案：2

7.关于x的方程机xZ+zQ.+su+Z/n+MnO有两实根，且一个大于4,一个小于4,

求实数”，的取值范围.

解：原方程可化为：—+如，*x+非+2=0,

令式x)=/+迎#2+?+2,则大4)V0,

即?16+,七8(m+L3)+,记14+,2V。，-即1记9VT3,

19/19>

解得一记V，"V0.故实数，〃的取值范围是(一百，0).

选做题

8.函数/U)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1,[2]=2,已知OWx

<4.

(1)求函数八x)的表达式；

(2)记函数g(x)=x-/U),在平面直角坐标系中作出函数g(x)的图像；

(3)若方程g(x)—log“(x-§=0(a>0,且aHl)有且仅有一个实根，求a的取值范围.

"0,00<1,

1,1?2,

解：

2,20V3,

、3,30V4.

x9OWxVl,

1?2,

(2)g(x)=x-/U)=q'图像如图所示.

x—2,2?3,

、x—3,3Wx<4,

⑶方程g(x)—log“G—T)=0仅有一根等价于g(x)与/j(x)=k>gaG—§的图像仅有一个交

点.由图可知：

『A(x)=loga(x--i-),a>l

IJ(x~^a>i

o(1\yl\^3~4~~*

://、\^^)=log*+)，OVQVl

当OV〃V1时，力(l)=k)g\，l=logm,解得

3

当。>1时，A(2)=lo啊>1=1。曲a或

(5

/<3)=logT<l,..

fl，357

<_解得1V〃V不或7V〃W不

7LLL

/i(4)=log?2^1,

1357

综上，Q的取值范围是3，1U1,TUT,T.

1.2利用二分法求方程的近似解

■施受诋加而加隹，课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本PU7?119,思考并完成以下问题

1.二分法的定义是什么？

2,若X。是满足精度?的近似解，则xo应满足什么条件？

［新加初赛］

1.二分法

对于在区间［a,一上连续不断且血)叭6)<0的函数v=*x),通过不断地把函数式x)的零

点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

作二分法.

2.满足精度?的近似解

设？是方程式x）=o的一个解，给定正数&若X。满足|xo|＜?,就称X0是满足精度?

的近似解.

［点睛］为了得到满足精度?的近似解，只需找到方程的一个有解区间［a,b］,使得区

间长度?一aWe,那么区间（a,b）内任意一个数都是满足精度?的近似解.

［小微才子］

1.判断下列说法是否正确，正确的打“J”，错误的打“X”.

（1）所有函数都能用二分法判断零点所在区间.（）

（2）如果一个函数在区间［a,句内有零点，那么用二分法能找出这个函数在该区间内的所

有零点.（）

（3）精度为，即精确到小数点后一位.（）

答案：（1）X（2）X（3）X

2.下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）

答案：A

3.下列函数不能用二分法求零点的是（）

A.贝x）=3x—1B.

C.Ax）=\x\D.f（x）=\nx

答案：C

4.用二分法求函数式x）=3*—x—4的一个零点，其参考数据如下:

八1.6000)=”.5875户/(1.5750产

加.5625)一川.55625)七一川.5500产一

根据上述数据，可得人工）=3*—上一4的一个零点的近似值（精度0.01）为.

解析：由参考数据知，A1.5625）弋＞0,41.55625）右一＜0,即41.5625）叭1.55625）＜

0,且1.5625-1.55625=0.00625V,.7危0=3,一工一4的一个零点的近似值可取为1.5625.

答案：1.5625

字於目相■课堂讲练设计，举一能通类题

题型一v方程近似解的求法

［典例］利用计算器，求方程lgx=2—x的近似解.（精度为0.1）

［解］作出y=lgx,y=2-x的图像，可以发现，方程lgx=2—X有唯一解，记为Xo,

并且解在区间［1,2］内.

设"x)=lgx+x-2,用计算器计算得

/(2)>0=>xe［l,2］;

f(1.5)<0,42)>0=xW［1.5,2］;

/(1.75)<0,,A2)>0^xG［1.75,2］;

川.75)<0,/(1.875)>0=>xG［1,75,1.875］;

AL75)VO,八1.8125)>0=>xG［1.75,1.8125］.

V1.8125-=0.0625<,

区间［1.75,1.8125］内任意一个值都可以是方程lgx=2-x的近似解.

方程lgx=2-x的精度为的一个近似解可取1.8125.

「用二分法求方程的近似薜面首先要选好计霓的初始区间，这个区间坪面包含所求的根,

又要使其长度尽量。浯我谰莞ǖ木，及时检验所得区间端点的近似值是否达到

要求(达到给定的精度)，以决定是停止计算还是继续计算.

［活学活用］

用二分法研究函数/(*)=*3+3*—1的零点时，第一次经计算人0)<0,_A0.5)>0,可得

其中一个零点,第二次应计算,以上横线上应填的内容为()

A.(0,0.5),1Ao.25)B.(0,1)，削.25)

C.(0.5,1),八0.75)D.(0,0.5),大0.125)

解析：选A由大0)叭0.5)<0,故其中一个零点(0,0.5),第二次计算时取区间(0,0.5)

的中点，故第二次计算大0.25).

题型二求函数的一个近似零点

［典例］用二分法求函数7=好一3的一个正零点(精度为0.01).

［解］由于犬1)=一2<0,42)=5>0,因此可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分

法逐次计算，见表如下：

次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值

第1次1-225

第2次1-2

第3次-1.0469

第4次-0.4004

第5次1.4375-0.0295

第6次1.4375-0.02951.468750.1684

第7次1.4375-0.02951.4531250.06838

第8次1.4375-0.02951.44531250.0192

第9次1.44140625-0.00531.44531250.0192

第10次1.44140625-0.00531.4433593750.006931

因为1.443359375-1.44140625=0.001953125<,又区间[1.44140625,1.443359375]

内的所有值，若精确到都是，所以就是所求函数一个精度为的正零点的近似值.

二分法求解步骤：

(1)确定区间［a,b］.验证八a)叭初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次

数；

(2)求区间［a,切的中点c；

(3)计算司c):

①若八c)=0,则c就是函数的零点.

②若/(a)4c)<0,则令b=c(此时零点c］).

③若人c)叭b)<0,则令a=c(此时零点xoC［c,b］).

(4)判断a,b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复Q)?(4)步.特

别注意要运算彻底.

［活学活用］

为求函数八x)=lnx+2x-6在(2,3)内的零点的近似值(精度为0.1),已得到数据如下表:

次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值

第1次2-1.306931.0986

第2次-0.08370926831.0986

第3次一0.0837092680.511600912

第4次一0.0837092680.215080896

第5次-0.0837092682.56250.065983344

第6次2.53125-0.0087867481272.56250.065983344

第7次2.53125-0.0087867481272.5468750.028617117

根据以上数据确定大幻取(2,3)内的近似零点.

解：由表中数据可知区间［2.53125,2.546875］内的所有值.若精确到，都是，所以是函

数|x)=lnx+2x-6精度为的零点近似值.

窿'国唳圣理由课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.下列函数不宜用二分法求零点的是(

A.八X)=9-1B./(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+2y[2x+2D./(x)=—x2+4x—1

解析：选C因为八x)=/+2啦x+2=(x+g)220,不存在小于0的函数值，所以不

能用二分法求零点.

2.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是()

解析：选C对于选项A,图像与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B,图

像与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C,函数

零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D,零点两边的函数值同号，故选C.

3.下列关于函数人x),xS[a,切的命题中，正确的是()

A.若XoG[a,6]且满足_/Uo)=O,则xo是/(x)的一个零点

B.若X。是人幻在[a,加上的零点，则可以用二分法求孙的近似值

C.函数八x)的零点是方程式x)=0的根，但{x)=0的根不一定是函数J(x)的零点

D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

解析：选A使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；1Ax)=0的

根也一定是函数A*)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，

D不正确，只有A正确.

4.用二分法求函数八x)=/+5的零点可以取的初始区间是()

A.[-2,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[1,2]

解析：选AV/(-2)=-3<0,{1)=6>0,八一2)41)〈(),故可以取区间[-2,1]作为

计算的初始区间，用二分法逐次计算.故选A.

5.用二分法求函数y=/(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证人2)负4)<0,取

2+4

区间(2,4)的中点刈=丁=3,计算得犬2)负?)<0,则此时零点xo所在的区间是()

A.(2,4)B.(2,3)

C.(3,4)D.无法确定

解析：选B?.?八2)负4)<0,八2)叭3)<0,

二八3)哄4)>0,.\x0e(2,3).

6.已知二次函数_Ax)=x2—1一6在区间［1,4］上的图像是一条连续的曲线，且犬1)=-6

<0,/(4)=6>0.由零点存在性定理可知函数在［1,4］内有零点.用二分法求解时，取(1,4)的

中点。，则式")=.

解析：［1,4］的中点为2.5.

f(2.5)=2-----6=—2.25.

答案：一

7.函数八*)=炉+"+/,有零点，但不能用二分法求出，则a,b的关系是.

解析：?.,函数1*)=/+奴+〃有零点，但不能用二分法，.,.函数Ax)=x2+ar+Z>图像

与x轴相切..,.A=a2—4b=0..*.a2=4h.

答案：a2=4b

8.在用二分法求方程V—2x—1=0的一个近似解时，已知一个根在区间(1⑵内，贝U下

一步可断定该根所在的区间为.

解析：计算函数八%)=3-2x—1在x=l,x=T,x=2处的函数值，根据函数的零点存

在性定理进行判断yu)vo,A2)>0,娘=第一3-1V0,局叭2)V(),故下一步可断定该

根在区间2)内.

答案：住2)

9.求方程*2=2X+1的一个近似解(精度为0.1).

解：设人幻=炉一2丫-1,—{3)=2>0,

.?.在区间(2,3)内，方程/-2%—1=0有一解，记为xo.

取2与3的平均数，V/(2.5)=>0,

.,.2<xo<;再取2与的平均数，

,.?42.25)=-0.4375<0,:.<x0<;

如此继续下去，有

/(2.375)<0,1A2.5)>0=>x()e(2.375,2.5);

12.375)V0,12.4375)>O=?xoe(2.375,2.4375).

V-2.4375|=0.0625<,

二方程/=2x+l的一个精度为的近似解可取为2.4375.

10.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品

的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的

手机，手机价格在500?1000元之间.选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接

着报价90()元，高了；700元，低了；800元，低了；88()元，高了；850元，低了；851元,

恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现

了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？

解:取价格区间［500,1()()0］的中点750,如果主持人说低了，就再。750,10()0］的中点

875;否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数.照这样的方案，游戏过程

猜测价如下：750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.

层级二应试能力达标

1.设#x)=3，+3x-8,用二分法求方程3*+3*—8=0在x?(l,2)内近似解的过程中得

犬1)<0,式1.5)>0,式1.25)<0,则方程的根落在区间()

A.(1,1.25)内B.(1.25,1.5)内

C.(1.5,2)内D.不能确定

解析:选B由题意知人》)在(1,2)内连续且八1.25)<0,川.5)>0,所以方程的根在(1.25,1.5)

内.

2.已知函数/U)在区间(0,°)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中，

依次确定了零点所在的区间为(0,乡，(0,麻0,f)，则下列说法中正确的是()

A.函数/(x)在区间(0,自内一定有零点

B.函数人x)在区间(0,看)或悠，D内有零点，或零点是六

C.函数八x)在恁，a)内无零点

D.函数人x)在区间(0,%)或恁，内有零点

解析：选B根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因

此，零点应在(0,给或(看，g中或?/(看)=。?

3.已知图像连续不断的函数yfx)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求

这个零点(精度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为()

A.3B.4

C.5D.6

解析：选B由,2〃)V,得2〃>10,???〃的最小值为4.故选B.

4.已知/U)的一个零点xo6(2,3),用二分法求精确度为的xo近似值时，判断各区间中

点的函数值的符号最多需要的次数为()

A.6B.7

C.8D.9

解析：选B函数人幻的零点所在区间的长度是1,用二分法经过7次分割后区间的长

度变为/VO.01.

3

5.用二分法求方程Inx-2+x=0在区间［1,2］上零点的近似值，先取区间中点c=］,

则下一个含根的区间是.

解析：令人》)=加x-2+x,??VU)=-1V(),1A2)=ln2>0,局=ln...下

一个含根的区间是2)

答案:g，2)

6.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表:

X-1一0???

y=2x0.32980.37890.43520.57430.65970.75780.87051???

J=X210…

若方程乃=/有一个根位于区向(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a

的值为.

解析：令4*)=21一/,由表中的数据可得八一1)<0,

八一0.6)>0;八-0.8)<0,大一0.4)>0,

.?.根在区间(-1,—0.6)与(一，一0.4)内，

.*.a=—1或a=—0.8.

答案：一1或一

7.证明方程6—3*=2,在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精度0.1).

解：设函数Ax)=2*+3x—6.

V.Al)=-l<0,式2)=4>0,

又；Ax)是增函数，所以函数Ax)=2'+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点，

则方程6-3x=2》在区间(1,2)内有唯---个实数解.

设该解为xo,则xoG(l,2),

取刈=,贝1.5)%>0,

.?.川)叭1.5)V0,AxoG(1,1.5).

取M=,/U.25)七>0,

川)哄L25)V0,-,.x0G(1,1.25).

取H=,/11.125)?-<0,

/(1.125)7(1.25)<O./.xoe(1.125,1.25).

取*4=1.1875,-1.1875)=-V0,

加.1875)7ll.25)<0,AxoS(1.1875,1.25).

V-1.18751=0.0625<,二可取x()=,

则方程的一个实数解近似可取xo=1.2.

选做题

8.如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个

边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.

(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数

的定义域；

(2)如果要做成一个容积是150cn?的无盖盒子,那么截去的小正方形

1:■)

的边长x是多少？(精确到0.1cm)

解：(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y=(15—2x)2%,其定义域为

{x|0<x<7.5}.

(2)如果要做成一个容积是150cnP的无盖盒子，那么有方程(15

—2x)2x=150.

令f(x)=(15—2x)2*—150,函数图像如图所示.由图像可以看到，

函数，人用分别在区间［0,1］和［4,5］内各有一个零点，即方程(15—2x)2*=150分别在区间［0,1］

和［4,5］内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.

取区间[0,1]的中点?=,

用计算器可算得式0.5)=-52.

因为八0.5)叭1)<0,所以人?[0.5,1].

再取[0.5,1]的中点以=,

用计算器可算得大0.75)4—13.31.

因为"0.75)由1)<0,所以xoG[0.75,1].

同理可得x0G[0.75,0.875];x0G[0.8125,0.875];

Xoe[0.84375,0.875];x0e[0.84375,0.859375];

xoe［0.84375,0.8515625］;x0G［0.84375,0.84765625］,

因为区间［0.84375,0.84765625］内的所有值，

若精确到都是，

所以就是所求函数的近似解.

同理可得方程在区间(4,5)内精确到的近似解为4.7.

答：如果要做成一个容积是150cnr5的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是().8cm或

4.7cm.