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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(每题4分,共48分)1.如图,小江同学把三角尺含有角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有角)的孔洞中,已知孔洞的最长边为,则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为()A. B. C. D.2.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2)3.如图4,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是A.7 B.8 C.9 D.104.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=1时,函数y有最大值,设(x1,y1),(x2,y2)是这个函数图象上的两点,且1<x1<x2,那么()A.a>0,y1>y2B.a>0,y1<y2C.a<0,y1>y2D.a<0,y1<y25.中,,,,的值为()A. B. C. D.26.在Rt△ABC中,∠C=90°,、、所对的边分别为a、b、c,如果a=3b,那么∠A的余切值为()A. B.3 C. D.7.如图,已知抛物线的对称轴过点且平行于y轴,若点在抛物线上,则下列4个结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.从一组数据1,2,2,3中任意取走一个数,剩下三个数不变的是()A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差9.下列运算中,正确的是()A.x3+x=x4 B.(x2)3=x6 C.3x﹣2x=1 D.(a﹣b)2=a2﹣b210.已知扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为()A. B.π C. D.11.如图,二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,1)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc<0;②9a+3b+c>0;③若点M(,y1),点N(,y1)是函数图象上的两点,则y1<y1;④﹣<a<﹣;⑤c-3a>0其中正确结论有()A.1个 B.3个 C.4个 D.5个12.反比例函数,下列说法不正确的是()A.图象经过点(1,-3) B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称 D.y随x的增大而增大二、填空题(每题4分,共24分)13.圆弧形蔬菜大棚的剖面如图,已知AB=16m,半径OA=10m,OC⊥AB,则中柱CD的高度为_________m.14.从一个不透明的口袋中随机摸出一球,再放回袋中,不断重复上述过程,一共摸了150次,其中有50次摸到黑球,已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个,这些球除颜色外,其他都一样,由此估计口袋中有___个白球.15.如图,在小孔成像问题中,小孔O到物体AB的距离是60cm,小孔O到像CD的距离是30cm,若物体AB的长为16cm,则像CD的长是_____cm.16.二次函数的最小值是.17.随着信息化时代的到来,微信支付、支付宝支付、QQ红包支付、银行卡支付等各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分,某学校某宿舍的5名同学,有3人使用微信支付,2人使用支付宝支付,问从这5人中随机抽出两人,使用同一种支付方式的概率是_____.18.已知抛物线与x轴只有一个公共点,则m=___________.三、解答题(共78分)19.(8分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE、BC的延长线相交于点F,且EF·DF=BF·CF.(1)求证:AD·AB=AE·AC;(2)当AB=12,AC=9,AE=8时,求BD的长与的值.20.(8分)一个不透明的布袋里装有3个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意摸出1个球,是白球的概率.(1)布袋里红球有多少个?(2)先从布袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球,求出两次都摸到白球的概率.21.(8分)如图,在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB,在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上;同一时刻,在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上.(1)求轮船M到海岸线l的距离;(结果精确到0.01米)(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行,那么该轮船能否行至码头AB靠岸?请说明理由.(参考数据:sin22°≈0.375,cos22°≈0.927,tan22°≈0.404,≈1.1.)22.(10分)如图,直线和反比例函数的图象都经过点,点在反比例函数的图象上,连接.(1)求直线和反比例函数的解析式;(2)直线经过点吗?请说明理由;(3)当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时,请直接写出的值.23.(10分)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为16元,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如下表格所示:销售单价x(元)…25303540…每月销售量y(万件)…50403020…(1)求每月的利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月获得的总利润为480万元?(3)如果厂商每月的制造成本不超过480万元,那么当销售单价为多少元时,厂商每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?24.(10分)阅读下面材料,完成(1),(2)两题数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,在中,,,点为上一点,且满足,为上一点,,延长交于,求的值.同学们经过思考后,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量,发现与相等.”小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,就可以求出的值.”……老师:“把原题条件中的‘’,改为‘’其他条件不变(如图2),也可以求出的值.(1)在图1中,①求证:;②求出的值;(2)如图2,若,直接写出的值(用含的代数式表示).25.(12分)瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目.某公司生产了一种纪念花灯,每件纪念花灯制造成本为18元.设销售单价x(元),每日销售量y(件)每日的利润w(元).在试销过程中,每日销售量y(件)、每日的利润w(元)与销售单价x(元)之间存在一定的关系,其几组对应量如下表所示:(元)19202130(件)62605840(1)根据表中数据的规律,分别写出毎日销售量y(件),每日的利润w(元)关于销售单价x(元)之间的函数表达式.(利润=(销售单价﹣成本单价)×销售件数).(2)当销售单价为多少元时,公司每日能够获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据物价局规定,这种纪念品的销售单价不得高于32元,如果公司要获得每日不低于350元的利润,那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元?26.在等腰直角三角形中,,,点在斜边上(),作,且,连接,如图(1).(1)求证:;(2)延长至点,使得,与交于点.如图(2).①求证:;②求证:.

参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、B【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时,面积最大,故可求解.【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时,面积最大,∵孔洞的最长边为∴S==故选B.【点睛】此题主要考查等边三角形的面积求解,解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.2、A【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,∴=,∵BG=6,∴AD=BC=2,∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴=,∴=,解得:OA=1,∴OB=3,∴C点坐标为:(3,2),故选A.3、B【解析】解:∵个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,∴它的一半是60°,它的邻补角也是60°,∴上面的小三角形是等边三角形,∴上面的(阴影部分)外轮廓线的两小段和为1,同理可知下面的(阴影部分)外轮廓线的两小段和为1,故这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是1.故选B.4、C【解析】由当x=2时,函数y有最大值,根据抛物线的性质得a<0,抛物线的对称轴为直线x=2,当x>2时,y随x的增大而减。杂2<x2<x2得到y2>y2.【详解】∵当x=2时,函数y有最大值,∴a<0,抛物线的对称轴为直线x=2.∵2<x2<x2,∴y2>y2.故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上的点满足其解析式.也考查了二次函数的性质.5、C【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值,在利用余弦的定义直接计算即可.【详解】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=1,BC=2,∴AB=,∴==,故。篊.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义,解决此类题时,要注意前提条件是在直角三角形中,此外还有熟记三角函数是定义.6、A【分析】根据锐角三角函数的定义,直接得出cotA=,即可得出答案.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3b,∴;故选择:A.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义,熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键.7、B【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断,即可求出答案.【详解】解:∵抛物线的对称轴过点,∴抛物线的对称轴为,即,可得由图象可知,,则,∴,①正确;∵图象与x轴有两个交点,∴,即,②错误;∵抛物线的顶点在x轴的下方,∴当x=1时,,③错误;∵点在抛物线上,即是抛物线与x轴的交点,由对称轴可得,抛物线与x轴的另一个交点为,故当x=?2时,,④正确;综上所述:①④正确,故。築.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点,解题的关键是逐一分析每条结论是否正确.解决该题型题目时,熟练掌握二次函数的图象与性质是关键.8、C【分析】根据中位数的定义求解可得.【详解】原来这组数据的中位数为=2,无论去掉哪个数据,剩余三个数的中位数仍然是2,故。篊.【点睛】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法,掌握正确的计算方法才能解答.9、B【解析】试题分析:A、根据合并同类法则,可知x3+x无法计算,故此选项错误;B、根据幂的乘方的性质,可知(x2)3=x6,故正确;C、根据合并同类项法则,可知3x-2x=x,故此选项错误;D、根据完全平方公式可知:(a-b)2=a2-2ab+b2,故此选项错误;故选B.考点:1、合并同类项,2、幂的乘方运算,3、完全平方公式10、D【解析】试题分析:根据弧长公式知:扇形的弧长为.故选D.考点:弧长公式.11、D【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案.【详解】①∵图像开口向下,,∵与y轴的交点B在(0,1)与(0,3)之间,,∵对称轴为x=1,,∴b=-4a,∴b>0,∴abc<0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,∴图像与x轴的另一个交点为(5,0),∴根据图像可以看出,当x=3时,函数值y=9a+3b+c>0,故②正确;③∵点,∴点M到对称轴的距离为,点N到对称轴的距离为,∴点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离,∴,故③正确;④根据图像与x轴的交点坐标可以设函数的关系式为:y=a(x-5)(x+1),把x=0代入得y=-5a,∵图像与y轴的交点B在(0,1)与(0,3)之间,,解不等式组得,故④正确;⑤∵对称轴为x=1,∴b=-4a,当x=1时,y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确;综上分析可知,正确的结论有5个,故D选项正确.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的图象,当a>0,开口向上,函数有最小值,a<0,开口向下,函数有最大值;对称轴为直线x=,a与b同号,对称轴在y轴的左侧,a与b异号,对称轴在y轴的右侧;当c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方.12、D【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征,可对A选项做出判断;通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断,得出答案.【详解】解:由点的坐标满足反比例函数,故A是正确的;由,双曲线位于二、四象限,故B也是正确的;由反比例函数的对称性,可知反比例函数关于对称是正确的,故C也是正确的,由反比例函数的性质,,在每个象限内,随的增大而增大,不在同一象限,不具有此性质,故D是不正确的,故。篋.【点睛】考查反比例函数的性质,当时,在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象,和是它的对称轴,同时也是中心对称图形;熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、4【分析】根据垂径定理可得AD=AB,然后由勾股定理可得OD的长,继而可得CD的高求解.【详解】解:∵CD垂直平分AB,∴AD=1.∴OD==6m,∴CD=OC?OD=10?6=4(m).故答案是:4【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的实际应用,掌握这些知识点是解题关键.14、1【分析】先由“频率=频数÷数据总数”计算出频率,再由简单事件的概率公式列出方程求解即可.【详解】解:摸了150次,其中有50次摸到黑球,则摸到黑球的频率是,设口袋中大约有x个白球,则,解得.故答案为:1.【点睛】考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是得到关于黑球的概率的等量关系.15、8【解析】根据相似三角形的性质即可解题.【详解】解:由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,由相似三角形的性质可知:对应高比=相似比=对应边的比,∴30:60=CD:16,解得:CD=8cm.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.16、﹣1.【解析】试题分析:∵=,∵a=1>0,∴x=﹣2时,y有最小值=﹣1.故答案为﹣1.考点:二次函数的最值.17、【详解】解:画树状图为:(用W表示使用微信支付,Z表示使用支付宝支付)共有20种等可能的结果,其中使用同一种支付方式的结果数为8,所以使用同一种支付方式的概率为=.故答案为:.【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率,解答关键是根据题意正确画出树状图或正确列表,从而解答问题.18、【解析】试题分析:根据抛物线解析式可知其对称轴为x=,根据其与x轴只有一个交点,可知其顶点在x轴上,因此可知x=时,y=0,代入可求得m=.点睛:此题主要考查了二次函数的图像与性质,解题关键是明确与x轴只有一个交点的位置是抛物线的顶点在x轴上,因此可求出对称轴代入即可.三、解答题(共78分)19、(1)答案见解析;(2)BD=6,【分析】(1)根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD,得出∠CEF=∠B,进而证明△CAB∽△DAE,再利用相似三角形的性质证明即可;(2)根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比,进而解答即可.【详解】证明:(1)∵EF?DF=BF?CF,

∵∠EFC=∠BFD,∴△EFC∽△BFD∴∠CEF=∠B,∴∠B=∠AED∵∠CAB=∠DAE,∴△CAB∽△DAE∴∴AD·AB=AE·AC.(2)由(1)知AD·AB=AE·AC∴AD=6,BD=6,EC=1∵,∴∵∴∴.点睛:本题考查相似三角形的判定和性质知识,解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答.20、(1)红球的个数为2个;(2).【分析】(1)设红球的个数为x,根据白球的概率可得关于x的方程,解方程即可;

(2)画出树形图,即可求出两次摸到的球都是白球的概率.【详解】解:(1)设红球的个数为,由题意可得:,解得:,经检验是方程的根,即红球的个数为2个;(2)画树状图如下:两次都摸到白球的概率:.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.21、(1)167.79;(2)能.理由见解析.【分析】(1)过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x.由三角函数表示出CD和AD的长,然后列出方程,解方程即可;(2)作∠DMF=30°,交l于点F.利用解直角三角形求出DF的长度,然后得到AF的长度,与AB进行比较,即可得到答案.【详解】解:(1)过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x.∵在Rt△CDM中,CD=DM·tan∠CMD=x·tan22°,又∵在Rt△ADM中,∠MAC=45°,∴AD=DM=x,∵AD=AC+CD=100+x·tan22°,∴100+x·tan22°=x.∴(米).答:轮船M到海岸线l的距离约为167.79米.(2)作∠DMF=30°,交l于点F.在Rt△DMF中,有:DF=DM·tan∠FMD=DM·tan30°=DM≈≈96.87米.∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<2.∴该轮船能行至码头靠岸.【点睛】本题考查了方向角问题.注意准确构造直角三角形是解此题的关键.22、(1);(2)直线经过点,理由见解析;(1)的值为或.【分析】(1)依据直线l1:y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P(2,1),可得b=5,m=2,进而得出直线l1和反比例函数的表达式;

(2)先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为,依据当时,y=-2×+5=4,可得直线l1经过点Q;

(1)根据OM将分成的两个三角形面积之比为,分以下两种情况:①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2,此时有QM:PM=1:2;②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1,此时有QM:PM=2:1,再过M,Q分别作x轴,y轴的垂线,设点M的坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标,从而求出k的值.【详解】解:(1)∵直线和反比例函数的图象都经过点,.∴直线l1的解析式为y=-2x+5,反比例函数大家解析式为;(2)直线经过点,理由如下.点在反比例函数的图象上,.点的坐标为.当时,.直线经过点;(1)的值为或.理由如下:OM将分成的两个三角形面积之比为,分以下两种情况:①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2,此时有QM:PM=1:2,如图,过点M作ME⊥x轴交PC于点E,MF⊥y轴于点F;过点Q作QA⊥x轴交PC于点A,作QB⊥y轴于点B,交FM于点G,设点M的坐标为(a,b),图①∵点P的坐标为(2,1),点Q的坐标为(,4),∴AE=a-,PE=2-a,∵ME∥BC,QM:PM=1:2,∴AE:PE=1:2,∴2-a=2(a-),解得a=1,同理根据FM∥AP,根据QG:AG=QM:PM=1:2,可得(4-b):(b-1)=1:2,解得b=1.所以点M的坐标为(1,1),代入y=kx可得k=1;②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1,此时有QM:PM=2:1,如图②,图②同理可得点M的坐标为(,2),代入y=kx可得k=.故k的值为1或.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式.解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征,同时需要注意分类讨论思想的应用.23、(1);(2)26元或40元;(3)当销售单价为35元时,厂商每月获得的利润最大,最大利润为570万元.【分析】(1)先根据表格求出y与x之间的函数关系式,再根据“利润(单价单件成本)销售量”即可得;(2)令代入(1)的结论求出x的值即可得;(3)先根据“制造成本不超过480万元”求出y的取值范围,从而可得x的取值范围,再利用二次函数的性质求解即可得.【详解】(1)由表格可知,y与x之间的函数关系是一次函数,设y与x之间的函数关系式为,将和代入得:,解得,则y与x之间的函数关系式为,因此,,即;(2)由题意得:,整理得:,解得或,答:当销售单价为26元或40元时,厂商每月获得的总利润为480万元;(3)由题意得:,则,解得,将二次函数化成顶点式为,由二次函数的性质可知,在范围内,随x的增大而减。虻笔,取得最大值,最大值为(万元),答:当销售单价为35元时,厂商每月获得的利润最大,最大利润为570万元.【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点,较难的是题(3),熟练掌握二次函数的性质是解题关键.24、(1)①证明见解析;②;(2)【分析】(1)①根据三角形内角和定理可得,然后根据三角形外角的性质可得,从而证出结论;②过点作交的延长线于点,过点作于点,过点作交于点,利用ASA证出,可得,再利用AAS证出,可得,利用平行线分线段成比例定理即可证出结论;(2)根据三角形内角和定理可得,然后根据三角形外角的性质可得,过点作交的延长线于点,过点作于点,过点作交于点,利用ASA证出,可得,再利用相似三角形的判定证出,可得,利用平行线分线段成比例定理即可证出结论;【详解】证明:(1)①∵,∴∵,∴,∴②如图,过点作交的延长线于点,过点作于点,过点作交于点,∵,,∴,∴,∵∴,∴∵点是中点,∴∵,∴,∴∵∴,∴∵∴(2)∵,∴∵,∴,∴过点作交的延长线于点,过点作于点,过点作交于点,∵,,∴,∴,∵∴,∴∵,∴∵,∴,∴∴∵∴,∴∵∴【点睛】此题考查的是相似三角形与全等三角形的综合大题,掌握构造全等三角形、相似三角形的方法、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键.25、(1)y=﹣2x+100,w=﹣2x2+136x﹣1800;(2)当销售单价为34元时,每日能获得最大利润,最大利润是1元;(3)制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元.【解析】(1)观察表中数据,发现y与x之间存在一次函数关系,设y=kx+b.列方程组得到y关于x的函数表达式y=﹣2x+100,根据题意得到w=﹣2x2+136x﹣1800;(2)把w=﹣2x2+136x﹣1800配方得到w=﹣2(x﹣34)2+1.根据二次函数的性质即可得到结论;(3)根据题意列方程即可得到即可.【详解】解:(1)观察表中数据,发现y与x之间存在一次函数关系,设y=kx+b.则,解得,∴y=﹣2x+100,∴y关于x的函数表达式y=﹣2x+100,∴w=(x﹣18)?y=(x﹣18)(﹣2x+100)∴w=﹣2x2+136x﹣1800;(2)∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2(x﹣34)2+1.∴当销售单价为34元时,∴每日能获得最大利润1元;(3)当w=350时,350=﹣2x2+136x﹣1800,解得x=25或43,由题意可得25≤x≤32,则当x=32时,18(﹣2x+100)=648,∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知得出函数关系式.26、(1)见解析;(1)①见解析;②见解析【分析】(1)依据AC=BC,可得∠CAB=∠B=45°,依据AQ⊥AB,可得∠QAC=∠CAB=45°=∠B,即可得到△ACQ≌△BCP;(1)①依据△ACQ≌△BCP,则∠QCA=∠PCB,依据∠RCP=45°,即可得出∠QCR=45°=∠QAC,根据∠Q为公共角,可得△CQR∽△AQC,即可得到CQ1=QA?QR;②判定△QCH≌△PCH(SAS),即可得到HQ=HP,在Rt△QAH中,QA1+AH1=HQ1,依据QA=PB,即可得到AH1+PB1=HP1.【详解】(1)∵AC=BC,∴∠CAB=∠B=45°,又∵AQ⊥AB,∴∠QAC=∠CAB=45°=∠B,在△ACQ和△BCP中,,∴△ACQ≌△BCP

(SAS);(1)①由(1)知△ACQ≌△BCP,则∠QCA=∠PCB,∵∠RCP=45°,∴∠ACR+∠PCB=45°,∴∠ACR+∠QCA=45°,即∠QCR=45°=∠QAC,又∠Q为公共角,∴△CQR∽△AQC,∴,∴CQ1=QA?QR

;②如图,连接QH,由(1)(1)题知:∠QCH=∠PCH=45°,CQ=CP.又∵CH

是△QCH和△PCH的公共边,∴△QCH≌△PCH(SAS).∴HQ=HP,∵在Rt△QAH中,QA1+AH1=HQ1,又由(1)知:QA=PB,∴.【点睛】本题属于相似形综合题,主要考查了等腰三角形、全等三角形、直角三角形、勾股定理以及相似三角形的综合运用.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,利用全等三角形对应边相等以及相似三角形的对应边成比例得出结论.

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