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第二章函数与基本初等函数第9节函数模型及其应用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调______单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.×××√∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.C所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.根据该折线图，下列结论正确的是(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更。浠冉掀轿3.(多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.BCD解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全部正确.解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(

) A.3.75元/瓶

B.7.5元/瓶 C.12元/瓶 D.6元/瓶D所以x＝6时，y取得最大值.则对x，y最适合的拟合函数是(

)A.y＝2x

B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00解析当x＝0.99时，y＝0.01，可排除A，当x＝2.01时，y＝0.98，可排除B、C，故选D.CKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2根据折线图，下列结论正确的是(

)A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更。浠冉掀轿1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折线图.D解析由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D.①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).2.水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.②解析由散点图的走势，知模型①不合适.例1

我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)(

) A.14.30亿 B.15.20亿

C.14.62亿 D.15.72亿A所以我国2020年年末的全国总人口数约为A.0.3

B.0.5 C.0.7

D.0.8训练1

我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表：B小数记录x0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分记录y4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3解析由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合；所以选择模型y＝5＋lgx更合适，此时令y＝4.7，则lgx＝－0.3，所以x＝10－0.3≈0.5.角度1构造二次函数模型A整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].解析设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则22x≥100，解得x≥4.所以至少需要的年数是4.角度2构造指数、对数函数模型C解析设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，B因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.角度3构建分段函数模型解

每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元.当0<x<8时，当x≥8时，当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解

当0<x<8时，综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.解析当nA＝1时，PA＝0，故A错误；又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，∴nA≤1010，∴PA≤lg1010＝10，故B正确；训练2(1)(多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是(

) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)BD若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误；设B菌的个数为nB＝5×104，则PA＝lg(nA)＝5＋lg2.又lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正确.CFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析依题意，令pH1＝－lg[1×10－7.45]＝7.45，pH2＝－lg[1×10－7.35]＝7.35，因此，正常人体血液的pH值的范围是[7.35，7.45].1.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝

－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(

) A.[7.25，7.55] B.[7.25，7.45] C.[7.25，7.35] D.[7.35，7.45]D解析由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)Bx1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快3.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(

)BD解析在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元4.(多选)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的是(

)ABC解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；5.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(

)B解析设AD长为x，则CD长为16－x.又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.则矩形ABCD的面积为x(16－x).当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64.当8＜a＜12时，u＝a(16－a)，分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.6.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王族预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.7＝－0.357，ln0.93＝

－0.073)(

) A.4

B.5 C.6 D.7C解析设石片第n次“打水漂”时的速率为Vn，则Vn＝11.2×0.93n－1.由11.2×0.93n－1＜7.84，得0.93n－1＜0.7，则(n－1)ln0.93＜ln0.7，则n＞5.89，故至少需要“打水漂”的次数为6.∵t∈N.∴t＝12或13时，ymax＝506.7.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.506设经过x天后，蝗虫数量会达到4000亿只，则有1×(1＋a)x＝4000，9.据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物：ψ畲.沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能力很强.已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4000亿只.(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)54故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只.解某次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lgE＝4.8＋1.5M，10.尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M. (1)已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.解设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.由题意知，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.解

由题意得当0＜x≤4时，v＝2；当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解

设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.12.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：D6876∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间.解

当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，因此，此时公司的总收益为88万元.(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解

由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，当80≤x<120，即120<240－x≤160时，当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.