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陕西汉中市汉台区县2025年高三三模数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个2.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.3.复数的模为().A. B.1 C.2 D.4.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}5.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.6.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.7.复数满足,则复数等于()A. B. C.2 D.-28.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.49.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.10.已知数列为等差数列,且,则的值为()A. B. C. D.11.已知复数,则的虚部为()A. B. C. D.112.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.233二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________.14.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则_____.15.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____16.若关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,点、分别为,的中点,且平面平面.(1)求证:平面.(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.19.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和,求和的分布列;(2)若以数学期望为决策依据,希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备?请说明理由.20.(12分)如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中点.证明:;设,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.21.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的内角的对边分别为,且,求的面积.22.(10分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数.(1)写出与的直角坐标方程;(2)在什么范围内取值时,与有交点.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2.B【解析】
根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【详解】.故选B本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.3.D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:,复数的模为.故。篋.本题主要考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题.4.D【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合,故。篋.本题考查集合的交集运算,属于基础题.5.C【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故。篊.本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.6.B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故。.本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.7.B【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.【详解】复数满足,∴,故选B.本题主要考查复数的基本运算,复数模长的概念,属于基础题.8.C【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故。篊本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.9.A【解析】
依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故。罕咎饪疾橄蛄康氖炕,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.10.B【解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.【详解】解:由等差数列的性质可得,解得,,故。築.本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.11.C【解析】
先将,化简转化为,再得到下结论.【详解】已知复数,所以,所以的虚部为-1.故。篊本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.12.C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故。篊.本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.60【解析】分析:首先将选定第一个钉,总共有6种方法,假设选定1号,之后分析第二步,第三步等,按照分类加法计数原理,可以求得共有10种方法,利用分步乘法计数原理,求得总共有种方法.详解:根据题意,第一个可以从6个钉里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相等的,若第一个选1号钉的时候,第二个可以选3,4,5号钉,依次选下去,可以得到共有10种方法,所以总共有种方法,故答案是60.点睛:该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理,在解题的过程中,需要逐个的将对应的过程写出来,所以利用列举法将对应的结果列出,而对于第一个选哪个是机会均等的,从而用乘法运算得到结果.14.【解析】
根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数,所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.15.【解析】
由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.,满足上式,.∴2().∴数列{}前2020项和为2(1)=2(1).故答案为:.本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【解析】
利用对数函数的单调性,将不等式去掉对数符号,再依据分离参数法,转化成求构造函数最值问题,进而求得的取值范围。【详解】由得,两边同除以,得到,,,设,,由函数在上递减,所以,故实数的取值范围是。本题主要考查对数函数的单调性,以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)【解析】
(1)首先可得,再面面垂直的性质可得平面,即可得到,再由,即可得到线面垂直;(2)过点做平面的垂线,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角;【详解】解:(1)∵,点为的中点,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分别为,的中点,∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)过点做平面的垂线,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,∵,∴,,,,∴,,,设平面的法向量为,由,得,令,得,∴,∴直线与平面所成角的正弦值为.本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质定理的应用,利用空间向量法求线面角,属于中档题.18.(1);(2).【解析】
(1)分类讨论,,,即可得出结果;(2)先由题意,将问题转化为即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出结果.【详解】(1)由得,若,则,显然不成立;若,则,,即;若,则,即,显然成立,综上所述,的取值范围是.(2)由题意知,要使得不等式恒成立,只需,当时,,所以;因为,所以,解得,结合,所以的取值范围是.本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及由不等式恒成立求参数的问题,熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可,属于常考题型.19.(1)分布列见解析,分布列见解析;(2)甲设备,理由见解析【解析】
(1)的可能取值为10000,11000,12000,的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;(2)计算期望,得到,设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,,计算分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(1)的可能取值为10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列为如下9000100001100012000(2)设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,的可能取值为2,3,4,5,,,则的分布列为2345的可能取值为3,4,5,6,,,则的分布列为3456由于,,因此需购买甲设备本题考查了数学期望和分布列,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.(1)见解析;(2)【解析】
(1)由平面平面的性质定理得平面,.在中,由勾股定理得,平面,即可得;(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,由空间向量法和异面直线与所成角的余弦值为,得点M的坐标,从而求出二面角的余弦值.【详解】(1)平面平面,平面平面=,,所以.由面面垂直的性质定理得平面,,在中,,,由正弦定理可得:,,即,平面,.(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设,则,,得,,而,设平面的法向量为,由可得:,令,则,取平面的法向量,则,故二面角的余弦值为.本题考查了线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用,属于中档题.21.(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得,利用正弦函数的周期性即可求解;(2)由(1)可求,结合范围,可求的值,由余弦定理可求的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或当时,由余弦定理得即,解得.此时.当时,由余弦定理得.即,解得.此时.本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性,考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和分类讨论思想,属于基础题.22.(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消参可得直角坐标方程.(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,与有交点,可得,解不等式即可求解.【详解】(1)(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得:与有交点,即本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断,属于基础题.
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