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备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解(重
庆专用)专题11三角函数与相似
历年中考真题
1.(2021?重庆)如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲
在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平
距离CB为30以;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为
50m,测得山坡OF的坡度i=l:1.25.若ND=8OE,点C,B,E,尸在同一水平线上,
8
则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:1.41,1.73)()
A.9.0mB.128"C.13.1/HD.22.1m
【分析】根据正切的定义求出MB,根据坡度的概念求出DE,进而求出ND,结合图形
计算,得到答案.
【解析】解:在中,ZMCB=60°,CB=30m,tan
CB
,MB=CB.tanNMCB=30X百七51.9Cm),
:山坡OF的坡度i=l:1.25,EF=50"?,
:.DE=40(,”),
":ND=^-DE,
8
:.ND=25(加,
.??两个通信基站顶端M与顶端N的高度差=40+25-51.9=13.1(M,
故。篊.
2.(2021?重庆)如图,在建筑物A3左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜
坡CO的坡度(或坡比)为i=l:2.4,坡顶。到BC的垂直距离OE=50米(点A,B,
C,D,E在同一平面内),在点。处测得建筑物顶点A的仰角为50°,则建筑物A8的
高度约为()
(参考数据:sin50°"0.77;cos50°七0.64;tan50°g1.19)
A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米
【分析】利用斜坡CO的坡度(或坡比)为i=l:2.4,求出CE的长,从而得出BE,再
利用tan50°即可求出AB的长.
【解析】解:;斜坡C。的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
:.DE:CE=5:12,
;OE=50米,
.,.CE=120米,
;8C=150米,
.,.???=150-120=30(米),
.*.A8=lan50°X30+50
比85.7(米).
故。篋.
3.(2020?重庆)如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处,
某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到。点(点A,B,C在同一直线上),
再沿斜坡OE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测
得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)
/=1:2.4,则信号塔48的高度约为()
(参考数据:sin43°^0.68,cos43°80.73,tan43°g0.93)
A.23米B.24米C.24.5米D.25米
【分析】过点E作EFA.DC交DC的延长线于点F,过点E作EMVAC于点M,根据斜
坡力E的坡度(或坡比)/=1:2.4可设EF=x,则DF=2Ax,利用勾股定理求出x的值,
进而可得出EF与。尸的长,故可得HICF的长.由矩形的判定定理得出四边形EFCM是
矩形,故可得出CM=EF,再由锐角三角函数的定义求出AM的长,进而可得
出答案.
【解析】解:过点E作EF_L?>C交DC的延长线于点F,过点E作4c于点M,
二?斜坡DE的坡度(或坡比)i=l:2.4,OE=CD=78米,
/.&EF=x,贝iJOF=2.4x.
在RtZ\OEF中,
,:EF2+DF2^DEi,即x2+(2.4A)2=782,
解得,x=30,
.?.EF=30米,OF=72米,
:.CF=DF+DC=12+78=150米.
\'EM±AC,ACLCD,EFLCD,
;?四边形EFCM是矩形,
,后用=(7尸=150米,。知=?:尸=3()米.
在Rt/XAEM中,
VZAEA/=43°,
,AA/=tan43°-150X0.93=139.5米,
:.AC=AM+CM^139.5+30=169.5米.
,A8=AC-8G169.5-144.5=25米.
故。篋.
4.(2020?重庆)如图,在距某居民楼A8楼底B点左侧水平距离60机的C点处有一个山坡,
山坡C?>的坡度(或坡比)i=l:0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离C?>=45m,在
坡顶。点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平
面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin28°^0.47,cos28°七0.88,tan28°以
0.53)()
CB
A.76.9"?B.82.1/TIC.94.8mD.112.6/H
【分析】构造直角三角形,利用坡比的意义和直角三角形的边角关系,分别计算出DE.
EC、BE、DF、AF,进而求出A8.
【解析】解:如图,过点。作。尺LAB,垂足为凡作。E_L8C交BC的延长线于点E,
由题意得,ZAQF=28°,CD=45m,BC=60m,
在RtADEC中,
?山坡CD的坡度i=l:0.75,
.DE_1_4
"EC0.75京,
设DE=4x,则EC=3x,由勾股定理可得CD=5x,
又CD=45,即5x=45,
.*.JC=9,
:.EC=3x=21(〃?),?>?=4x=36(w)=FB,
;.8E=8C+EC=60+27=87Cm)=DF,
在RtZiA。尸中,
AF=tan28°X?>F^0.53X87^46.11(〃?),
A8=AF+FB=46.11+36382.1(m),
故。築.
(2019?重庆)如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量的高度,小红从建筑物底
端8点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,
DC=BC.在点。处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶
端A点的仰角NAE尸为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CO的坡度(或
坡比)i=l:2.4,那么建筑物A3的高度约为()
(参考数据sin27°七0.45,cos27°弋0.89,tan27°=?0.51)
A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米
【分析】过点E作与点M,根据斜坡CD的坡度(或坡比)i=l:2.4可设C。
=x,则CG=2.4x,利用勾股定理求出x的值,进而可得出CG与DG的长,故可得出
EG的长.由矩形的判定定理得出四边形EG8M是矩形,故可得出EM=BG,BM=EG,
再由锐角三角函数的定义求出4M的长,进而可得出结论.
【解析】解:过点E作于点M,延长EQ交BC于G,
?斜坡CD的坡度(或坡比)i=I:2,4,8c=8=52米,
.,.设QG=x,贝IJCG=2.4x.
在RtACDG中,
':DG2+CG2=DC2,即/+(2.4%)2=522,解得x=20,
.?.OG=20米,CG=48米,
;.EG=20+0.8=20.8米,8G=52+48=100米.
':EM±AB,ABLBG,EGLBG,
四边形EG3M是矩形,
:.EM=BG=\00米,BM=EG=20.8米.
在RtAAEM中,
:.AM=EM'tan21°g100X0.51=51米,
.?.AB=AM+8M=51+20.8=71.8米.
故。築.
6.(2019?重庆)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找
古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=l:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测
得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测
得古树顶端。的仰角NAED=48°(古树CD与山坡A8的剖面、点E在同一平面上,
古树C。与直线AE垂直),则古树CO的高度约为()
(参考数据:sin480-0.73,cos48°?0.67,tan48°
A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米
【分析】如图,根据已知条件得到受=1:2.4=巨,设CF=5k,AF=l2k,根据勾股
AF12
定理得到47=在环薪5=13%=26,求得AF=24,CF=10,得到EF=6+24=30,
根据三角函数的定义即可得到结论.
【解析】解:如图,设CO与EA交于F,
,f=1:24=今
.设CF=5A,AF=\2k,
??=加「2+女尸2=13%=26,
.k—1,
.A尸=24,CF=10,
'AE=C>,
??F=6+24=30,
-ZDEF=48°,
而48。=器=器=】",
.。尸=33.3,
?C?)=33.3-10=23.3(米),
答:古树CD的高度约为23.3米,
7.(2018?重庆)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂
直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角ZAEO=58°,升旗台底部到教学楼底部
的距离QE=7米,升旗台坡面CQ的坡度i=l:0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡
面的水平距离BC=1米,则旗杆4B的高度约为()(参考数据:sin58°心0.85,
cos58°g0.53,tan58°31.6)
A
教
学
楼
DE
A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米
【分析】如图延长A8交ED的延长线于仞,作C/_LOM于J.则四边形8位/C是矩形.在
RtZ\CD/中求出C/、DJ,再根据,tan/AEM=@[构建方程即可解决问题;
EM
【解析】解:如图延长AB交ED的延长线于M,作CJ1DM于则四边形BMJC是矩
形.
A
教
学
楼
MjDE
在RtZXCJO中,CL=-1—=匹,设C/=4k,DJ=3k,
D.T0.753
则有9乒+16乒=4,
:.k=—,
5
:.BM=CJ=宜,BC=MJ=1,川=旦,EM=MJ+DJ+DE=2
555
在RtaAEM中,tan/A?M=@L
EM
AB哈
5
解得A8-13.1(米),
故。築.
8.(2018?重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先
沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=l:0.75、坡长为
10米的斜坡CO到达点。,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E
均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物A3的高度约为(参
考数据:sin24°=0.41,cos24°七0.91,tan24°=0.45)()
A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米
[分析]作BM上ED交ED的延长线于M,CNLDM于N.首先解直角三角形Rl/XCDN,
求出CMDN,再根据tan24°=幽,构建方程即可解决问题:
EM
【解析】解:作交的延长线于M,CNLDM于N.
在RtZ\C?W中,:型==—=三,设CN=4k,DN=3k,
DN0.753
.,.CD=10,
(3k)2+(4k)2=100,
:?k=2,
:,CN=8,DN=6,
???四边形8MNC是矩形,
:?BM=CN=8,BC=MN=23EM=MN+DN+DE=66,
在RtZXAEM中,tan240=幽,
EM
;.AB=21.7(米),
故。篈.
9.(2017?重庆)如图,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平
面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CZ)行走195米至坡顶。处,斜坡CQ的
坡度(或坡比)i=l:2.4,在。处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的
高度约为(精确至IJ0.1米,参考数据:sin20°七0.342,cos20°^0.940,tan20°心0.364)
()
A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米
【分析】根据坡度,勾股定理,可得DE的长,再根据平行线的性质,可得N1,根据同
角三角函数关系,可得N1的坡度,根据坡度,可得的长,根据线段的和差,可得答
案.
设OE=A7",CE=2Axm,由勾股定理,得
?+(2.4%)2=1952,
解得产q5加,
DE=75m,CE=2.4x=180〃?,
(方法二:由i=l:2.4=5:12,设。E=5x〃?,CE=\2xm,
由勾股定理,得C?>=13x,
13x=195,
;.x=15,:.DE=15m,CE=180/n)
EB=BC-C?=306-180=1267n.
'.'AF//DG,
N1=/AOG=20°,
sin2Q
tanZl^tanZADG^o=0.364.
cos20
AF=EB=\2()m,
DF
tanZl=—=0.364,
AF
/)尸=0.3644/=0.364义126=45.9,
AB=FE=DE-DF=15-45.9^29.1/n,
故。篈.
10.(2017?重庆)如图,小王在长江边某瞭望台。处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,
若QE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡3C的坡度i=l:0.75,坡长8C=
10米,则此时AB的长约为()(参考数据:sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°
=0.84).
A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米
【分析】延长QE交A8延长线于点P,作CQLAP,可得CE=PQ=2、CQ=PE,由i
=?2=_L_=_l可设CQ=4x、BQ=3x,根据8Q2+C°2=BC2求得x的值,即可知OP
BQ0.753
=11,由AP=—吗一=—三一结合AB=AP-BQ-PQ可得答案.
tanZAtan40
【解析】解:如图,延长OE交48延长线于点P,作CQLAP于点Q,
VCE//AP,
J.DPLAP,
四边形CEPQ为矩形,
:.CE=PQ=2,CQ=PE,
..._CQ_1_4
?BQ0.753"
.?.设CQ=4x、BQ=3x,
EtlB^+C(^—BC2nJ(4x)2+(3x)2=102,
解得:x=2或x=-2(舍),
则CQ=PE=8,BQ=6,
:.DP=DE+PE=\\,
在RtZXAZ)「中,':AP=―叫一=——^^-^13.1,
tanZ.Atan40
:.AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1,
故。篈.
11.(2019?重庆)如图,XABOsXCDO,若30=6,00=3,CD=2,则A5的长是()
BD
C
A.2B.3C.4D.5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案.
【解析】解:
?.?‘BO■-_—A—B—■,
DODC
,:BO=6,00=3,8=2,
?.?-6--_A--B-,
32
解得:AB—4.
故。篊.
12.(2018?重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,
6c772和I9c?b另一个三角形的最短边长为2.5C、《7,则它的最长边为()
A.3cmB.4cmC.4.5c/nD.5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.
【解析】解:设另一个三角形的最长边长为X。”,
根据题意,得:工=9,
2.5x
解得:x=4.5,
即另一个三角形的最长边长为4.5cm,
故。篊.
13.(2017?重庆)已知△ASCSAOEF,且相似比为1:2,则△A8C与△。所的面积比为
()
A.1:4B.4:1C.1:2D.2:1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.
【解析】解::△A8CsZ\?)Ef,且相似比为1:2,
.,.△ABC与△?)?;厂的面积比为1:4,
故。篈.
14.(2017?重庆)若AABCSADEF,相似比为3:2,则对应高的比为()
A.3:2B.3:5C.9:4D.4:9
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案.
【解析】解:?.?△ABCSAOEF,相似比为3:2,
...对应高的比为:3:2.
故。篈.
15.(2011?江津区)已知如图:(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上
标注,图(2)中AB、C。交于。点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的
是()
A.都相似B.都不相似
C.只有(1)相似D.只有(2)相似
【分析】图(1)根据三角形的内角和定理,即可求得8c的第三角,由有两角对应相
等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似;
图(2)根据图形中的已知条件,即可证得她,G,又由对顶角相等,即可根据对应边
0D0B
成比例且夹角相等的三角形相似证得相似.
【解析】解:如图(1);/A=35°,NB=75°,
AZC=1800-ZA-ZB=70°,
;NE=75°,/F=70°,
:.ZB=ZE,ZC=ZF,
如图(2):O4=4,00=3,OC=8,08=6,
?.?OAOC,
ODOB
???ZAOC=ZDOB,
/./\AOC^/\DOB.
故。篈.
16.(2010?江津区)如图,在RtZXABC中,AB=AC,。、E是斜边BC上两点,且/ZME
=45°,将△AOC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AfB,连接EF,下列结论中正确
的个数有()
①/EAF=45°;
②△ABEs/XACO;
③AE平分NCAF;
④B修+Dd=DE2.
C.3个D.4个
【分析】①根据旋转的性质知NCA?)=N8AF,因为N84C=90°,ZDAE=45°,所以
ZCAD+ZBAE^45°,可得NEAF=45°;
②因为/CAO与NBAE不一定相等,所以△ABE与△ACQ不一定相似:
③根据&4S可证△/!?)?:丝△AFE,得/AE?>=/AEEDE=EF;
④BF=CD,EF=DE,NFBE=90°,根据勾股定理判断.
【解析】解:①根据旋转的性质知NC4D=/5A立
VZBAC=90°,ZDAE=45°,
:.ZCAD+ZBAE=45°.
.../必尸=45°,故①正确;
②因为NCAO与/BAE不一定相等,所以△A8E与△ACO不一定相似,故②错误;
@":AF=AD,ZFAE^ZDAE=45a,AE=AE,
:.^ADE^/\AFE,^ZAED=ZAEF,
即AE平分/D4F,故③错误;
?':ZFBE=45°+45°=90°,
:.BE1+BF2=EF2(勾股定理),
:△AOC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,:.^AFB^/\ADC,;.BF=CD,
又,:EF=DE,
:.BE1+CD2=DE1(等量代换).故④正确.
故选:B.
17.(2013?重庆)如图,在平行四边形A8CQ中,点E在AO上,连接CE并延长与34的
延长线交于点F,若AE=2ED,CD=3cm,则4尸的长为()
A.5cmB.6cmC.1cmD.Scm
【分析】由边形ABC。是平行四边形,可得AB〃CD,即可证得△AFEs^OEC,然后
由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
【解析】解:I?四边形A8CD是平行四边形,
J.AB//CD,
...△AFEs/XOEC,
:.AE-.DE=AF:CD,
;AE=2ED,CD=3cm,
:.AF=2CD=6cm.
故。築.
18.(2016?重庆)ZSABC与△DEF的相似比为1:4,则△4BC与△Off'的周长比为()
A.1:2B.1:3C.I:4D.1:16
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.
【解析】解:'.,△ABC与△OEF的相似比为1:4,
.?.△ABC与△OEF的周长比为1:4;
故。篊.
二.填空题(共1小题)
19.(2015?重庆)已知ZVIBC与△?>?尸的相似比为4:1,则△48。与4
OEF对应边上的高之比为4:1.
【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.
【解析】解:,:△ABCs/XDEF、ZVIBC与△?)?:/的相似比为4:1,
.'.△ABC与对应边上的高之比是4:1,
故答案为:4:1.
三.解答题(共2小题)
20.(2022?重庆)湖中小岛上码头C处一名游客突发疾。枰仍.位于湖面B点处的
快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接
该游客,再沿C4方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的
北偏东30°方向上,B在A的北偏东60°方向上,且在C的正南方向900米处.
(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米,参考数据:巡仁1.732);
(2)救援船的平均速度为150米/分,快艇的平均速度为400米/分,在接到通知后,快
艇能否在5分钟内将该游客送上救援船?请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计)
【分析】(1)延长C8到D,则CDLAD于点D,根据题意可得NNAC=/CA8=30°,
8c=900米,BC//AN,所以/C=/M4c=30°然后根据含30度角的直角三
角形即可解决问题;
(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船,根据救援船的平均速度为150米/分,快艇
的平均速度为400米/分,列出方程150x+(400X-900)=1559,进而可以解决问题.
【解析】解:(1)如图,延长CB到Z),则CZ)_LAZ)于点
根据题意可知:/NAC=NC4B=30°,BC=900米,BC//AN,
:.ZC=ZNAC=30Q=NBAD,
:.AB=BC=900米,
VZBAD=30°,
,80=450米,
:.AD=MBD=45QM(米),
,AC=2AQ=900愿七1559(米)
答:湖岸A与码头C的距离约为1559米;
(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船,
:救援船的平均速度为150米/分,快艇的平均速度为400米/分,
150x+(400x-900)=1559,
.?.X24.5,
答:快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.
21.(2022?重庆)如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步
道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200米.点E在点A的正北方向.点B,D
在点C的正北方向,80=100米.点8在点A的北偏东30°,点。在点E的北偏东45°.
(1)求步道。E的长度(精确到个位):
(2)点。处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点8到达点也
可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近?
(参考数据:&七1.414,向比1.732)
【分析】(1)过。作。eLAE于尸,由己知可得四边形ACQF是矩形,贝IDF=AC=200
米,根据点。在点?的北偏东45°,即得。E=&。尸=200283(米);
(2)由△DEF是等腰直角三角形,?>E=283米,可得EF=CF=200米,而NA8C=30°,
即得A8=2AC=400米,8C={AB2_AC2=20()V^米,又8力=100米,即可得经过点
8到达点。路程为AB+B?>=500米,CD=BC+BD=(200我+100)米,从而可得经过
点E到达点D路程为AE+DE=20043-100+200加p529米,即可得答案.
【解析】解:(1)过。作。FLAE于F,如图:
由已知可得四边形ACDF是矩形,
.^.。尸=AC=200米,
?.?点。在点E的北偏东45°,即/。EF=45°,
...△DE尸是等腰直角三角形,
ADE=42DF=200V2^283(米);
(2)由(1)知是等腰直角三角形,?)E=283米,
;.EF=。尸=200米,
?.?点B在点A的北偏东30°,即NE4B=30°,
AZABC=3QQ,
:AC=200米,
,A8=2AC=400米,BC=QAB2-AC2=200毒米,
?.,80=100米,
经过点B到达点D路程为AB+BD=400+l()0=5(X)米,
CD=BC+BD=(200V3+100)米,
:.AF=CD=(200V3+100)米,
;.AE=AF-EF=(2OOV3+1OO)-200=(200愿-100)米,
...经过点E到达点。路程为4E+?>E=2()0愿-100+20()72^529米,
V529>500,
经过点B到达点D较近.
一年模拟新题
一.选择题(共17小题)
1.(2022?兴义市模拟)如图,某中学九kok电子竞技数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树
BC的高度,他们在斜坡上。处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米
到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=l:M,则
大树8c的高度为()
(结果保留一位小数,参考数据:sin48°g0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,盗取
1.73)
B
EAV=========7C
A.12.5米B.12.3米C.12.2米D.11.8米
【分析】首先过点D作DM±BC于点M,DNLAC于点N,由次的坡比/=I:北,
DA=6,可求得AN与。N的长,然后设大树的高度为x,又由在斜坡上A处测得大树顶
端8的仰角是48°,nJ^AC=—^—,又由在△氏?/中,典"2,可得x-3=(3j§
1.11DM3
?近,继而求得答案.
1.113
【解析】解:过点〃作。仞,BC于点M,DNLAC于点、N,
则四边形。MCN是矩形,
;?)A=6,斜坡阴的坡比i=l:V3,
:.DN=^AD=3,AN=AD-cos30Q=6X返=3料,
22
设大树的高度为x,
V在斜坡上4处测得大树顶端B的仰角是48°,
;.tan48°=星旬」1,
AC
DM=CN=AN+AC=3yf3+——,
1.11
:在△8DM中,
DM3
BM=J^DM,
3
;.x-3=(3愿+^—)?叵,
1.113
解得:x-12.5.
...树高8C约12.5米.
2.(2022?柳城县一模)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么cosa的
值是()
y
【分析】作轴于8,先利用勾股定理计算出04=5,然后在Rt^AOB中利用余弦
的定义求解即可.
【解析】解:作AB_Lx轴于8,如图,
?.?点A的坐标为(3,4),
:.0B=3,AB=4,
OA—J§2+42=5,
在RtA40B中,cosa=e^-=2.
OA5
故。篊.
yA
3.(2022?永川区模拟)国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电
“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75
的山坡CD的平台8c上(如图),测得/AEC=52°,8C=5米,CC=35米,DE=19
米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52°^0.79,tan520*=1.28)()
C.36.6米D.57.6米
【分析】延长A8交??于G,过C作CF_LZ)E于F,得到GF=8C=5,设OF=3k,CF
=4k,解宜角三角形得到结论.
【解析】解:延长A8交EO于G,过C作CF_LOE于凡
:.GF=BC=5,
?.?山坡CD的坡度为1:0.75,
.?.设/)尸=3鼠CF=4k,
:.CD=5k=35,
:.k=7,
:.DF=2\,BG=CF=2S,
:.EG=GF+DF+DE=5+21+19=45,
VZA?D=52°,
."G=EG”an52°=45X1.28=57.6,
;.AB=29.6米,
答:铁塔A3的高度约为29.6米.
4.(2022?商河县一模)如图,为测量学校旗杆42的高度,小明从旗杆正前方3米处的点C
出发,沿坡度为i=l:?的斜坡C。前进蓊米到达点。,在点力处放置测角仪,测
得旗杆顶部A的仰角为37°,量得测角仪。E的高为1.5米,A、B、C,D、E在同一平
面内,且旗杆和测角仪都与地面垂直.则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin37°
A.6.8米B.7.5米C.7.7米D.8.5米
(分析】延长ED交射线BC于点H,过点E作EF1AB于凡则四边形BHEF是矩形,
想办法求出AF,8F即可解决问题;
【解析】解:延长ED交射线8c于点H,过点E作EF1AB于F.
由题意得。8c.
在RtZ^CQH中,NOHC=9(r,ian/OCH=i=l:焉
:.ZDCH=30Q.
:.CD=2DH.
V00=273)
:.DH=M,CH=3.
':EF±AB,AB1BC,ED1BC,
:.NBFE=NB=NBHE=90°.
,四边形为矩形.
:.EF=BH=BC+CH=6.
FB=EH=ED+DH=1.5+^3.
在RtZ\AEF中,ZAF?=90°,AF=EFtanNAEF=6X0.75=4.5.
:.AB=A尸+尸8=6+愿=6+1.73~7.7.
旗杆AB的高度约为7.7米.
故。篊.
5.(2022?西青区二模)tan60°的值等于()
A.—B.近C.近
D.M
232
【分析】求得60°的对边与邻边之比即可.
【解析】解:在直角三角形中,若设30°对的直角边为1,则60。对的直角边为北,
tan60°
故。篋.
6.(2022?河西区模拟)2sin60°的值等于()
A.1B.V2c.aD-H
【分析】根据sin60。=退■解答即可.
2
【解析】解:2sin600=2X近=心
2
故。篊.
7.(2022?大足区模拟)若且相似比为1:4,则△ABC与的面积比
为()
A.1:4B.4:1C.1:16D.16:1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.
【解析】解:;且相似比为1:4,
.,.△ABC与△?>?■尸的面积比为1:16,
故。篊.
8.(2022?大渡口区模拟)如图,点A(1,7),B(1,1),C(4,1),D(6,1),若△CQE
与△A8C相似,那么在下列选项中,点E的坐标不可能是()
【分析】根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断.
【解析】解:△48C中,NABC=90°,4B=6,3c=3,AB:BC=2.
A.当点E的坐标为(6,2)时,ZECD=90°,CD=2,DE=\,则AB:BC=CD-.
DE,ACDEs^ABC,故本选项不符合题意;
B.当点E的坐标为(6,3)时,ZCD?=90°,CO=2,OE=2,则AB:BCWCD:
DE,△(7?>?与AABC不相似,故本选项符合题意;
C.当点E的坐标为(6,5)时,ZCDE=90",CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,
△EDCsXNBC'故本选项不符合题意;
D.当点E的坐标为(4,2)时,ZCDE=90Q,CO=2,CE=1,则AB:BCWCD:
CE,△?>CES/\A8C,故本选项不符合题意.
故。築.
9.(2021?南明区模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边。C上,DE:EC=3:1,
连接AE交BQ于点F,则△QEF的面积与△D4F的面积之比为()
A.9:16B.3:4C.9:4D.3:2
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CZ),AB//CD,则。E:A8=3:4,再证明
/\DEF^/\BAF,利用相似比得到空=3,然后根据三角形面积公式求的面积与
AF4
△D4尸的面积之比.
【解析】解:;四边形48co为平行四边形,
.".AB=CD,AB//CD,
,:DE:EC=3:I,
:.DE:AB=DE:DC=3:4,
?:DEaAB,
:.△DEFs^BAF,
.EF=DE=3_
"AFAB了
...△DEF的面积与△D4F的面积之比=EF:AF=3:4.
故。築.
10.(2021?安庆模拟)如图,在大小为4X4的正方形网格中,是相似三角形的是()
A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理,三边对应成比例的两个三角形相似,
即可完成题目.
【解析】解:①和③相似,
???由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、&、A/10;
由勾股定理求出③的各边长分别为2&、2、2遥,
.2=近
vTo_V2
2V5工
即,_=返_=叵,
2V222V5
...两三角形的三边对应成比例,
,①③相似.
故。篊.
11.(2020?岳麓区模拟)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)
与aABC相似的是()
A.m
【分析】由图可得NACB=135°,AC=近,BC=2,然后分别求得A,B,C,。中各
三角形的最大角,继而求得答案.
【解析】解:如图:NACB=135°,AC=近,BC=2,
4、最大角=135°,对应两边分别为:1,加,
VA/2:1=2:V2.
此图与8c相似;
8、??,最大角<135°,
:.与AABC不相似;
C、:最大角<135°,
.?.与△ABC不相似;
。、?.?最大角<135°,
...与△ABC不相似.
故。篈.
12.(2017?合川区校级模拟)下列说法:①所有等腰三角形都相似;②有一个底角相等的两
个等腰三角形相似;③有一个角相等的等腰三角形相似;④有一个角为60°的两个直角
三角形相似,其中正确的说法是()
A.②④B.①③C.①②④D.②③④
【分析】考查相似三角形的判定问题,对应角相等即为相似三角形.
【解析】解:①中等腰三角形角不确定,所以①错;
②中有一个底角相等即所有角都对应相等,②对;
③中可能是以底角和一顶角相等,所以③错;
④中两个角对应相等,所以相似,④对
故。篈.
13.(2022?两江新区模拟)如图,在矩形ABC。中,点E是对角线上一点,连接AE并延长
交CD于点F,过点E作EGA-AE交BC于点G,若AB=8,AD=6,BG=2,则AE=
A4后BC7AD8g
'5'5'5'5
【分析】过点E作ENLBC,垂足为N,延长NE交AD于点M,根据矩形的性质可得
AD=BC—6,ZDAB—ZABC-90',,从而可得四边形AWNB是矩形,进而可得
=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN//AB,然后设则EN=MN-EM=8-x,
再证明A字模型相似三角形△CMESAZMS,并利用相似三角形的性质求出DM,从而
求出AM,GN的长,最后证明一线三等角模型相似三角形△AMEs^ENG,利用相似三
角形的性质列出关于x的方程,进行计算即可求出ME,AM的长,从而在RtZiA/E中,
利用勾股定理进行计算即可解答.
【解析】解:过点E作ENL8C,垂足为M延长NE交AD于点M,
A
M\*...........IN
DF--------------1c
:.NENB=90°,
?.?四边形48co是矩形,
:.AD=BC=6,/D4B=NABC=90°,
二四边形4MNB是矩形,
AZAMN=90a,AB=MN=S,AM=BN,MN//AB,
:.ZDME^ZDAB=90a,NDEM=NDBA,
:.△DMEs^DAB,
?DM=DA
"MEAB"
设ME=x,则EN=MN-EM=8-x,
?.?-DM—_―6,
x8
.?.。加=当,
4
:.BN=AM=AD-DM=6-2x,
4
?:BG=2,
,GN=BN-BG=4-当,
4
,:EGLAE,
:.ZAEG=W,,
:.NAEM+NGEN=90°,
,.,NAEM+NM4E=90°,
:.NMAE=NGEN,
■:NAME=NENG=90°,
:.AAMEsdENG,
?AM=EN
"MENG"
A3
.6^7X8-X
JC2=8.
25
经检验:xih至,X2=8都是原方程的根,也=8(舍去),
25
...M.E.c=-=-4=8~,A4.M,—f,)-—3x—102,
25425
?"E=〃M2+ME2=J(||)2+嘴)2=_|行,
故。築.
14.(2022?两江新区模拟)如图,在△ABC中,DE//BC,坦=5,记△%?)?;的面积为si,
AB7
四边形QBCE的面积为封,则包的值是()
A
BC
A5R25r24n25
7492524
【分析】根据平行线的性质可得乙4/)E=NB,ZAED=ZC,从而证明
然后利用相似三角形的性质即可解答.
【解析】IS:':DE//BC,
:.ZADE=ZB,NAED=NC,
.SAADE(§)2_25
,△ABC749
.$1=25
F241
故。篋.
15.(2021?大渡口区模拟)如图,已知,M,N分别为锐角/AO8的边。4,08上的点,
ON=6,把△OMN沿MN折叠,点O落在点C处,MC与OB交于点P,若MN=MP=
5,则PN=()
A.2B.3C.—D.卫
33
【分析】依据NCPN=NCNM,ZC=ZC,即可得到△CPNs/\CNM,再根据相似三角
形的性质,即可得到C尸=4,进而得出PN的长.
【解析】解:,:MN=MP,
:.NMNP=NMPN,
:./CPN=/ONM,
由折叠可得,ZONM=ZCNM,CN=ON=6,
:.NCPN=/CNM,
又;NC=NC,
:.丛CPNs丛CNM,
—,B|JCN2^CPXCM,
CNCM
:.62=CPX(CP+5),
解得CP=4,
V..PN=CP
.而CN'
.PN_4
??-----
56
.?.呐=独
3
故。篋.
B
16.(2019?南岸区校级模拟)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股””章中
有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面
见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长
度单位)的正方形小城,东门〃位于G。的中点,南门K位于ED的中点,出东门15
步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点O在直线AC上)?
请你计算KC的长为()步.
FG
HA
牛霜
C
A.200°B,170°C
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