三角函数与相似(真题21模拟24)-2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解(重庆专用)【解析kok电子竞技】-中考数学备考复习重点资料归纳_第1页
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备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解(重

庆专用)专题11三角函数与相似

历年中考真题

1.(2021?重庆)如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲

在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平

距离CB为30以;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为

50m,测得山坡OF的坡度i=l:1.25.若ND=8OE,点C,B,E,尸在同一水平线上,

8

则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:1.41,1.73)()

A.9.0mB.128"C.13.1/HD.22.1m

【分析】根据正切的定义求出MB,根据坡度的概念求出DE,进而求出ND,结合图形

计算,得到答案.

【解析】解:在中,ZMCB=60°,CB=30m,tan

CB

,MB=CB.tanNMCB=30X百七51.9Cm),

:山坡OF的坡度i=l:1.25,EF=50"?,

:.DE=40(,”),

":ND=^-DE,

8

:.ND=25(加,

.??两个通信基站顶端M与顶端N的高度差=40+25-51.9=13.1(M,

故。篊.

2.(2021?重庆)如图,在建筑物A3左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜

坡CO的坡度(或坡比)为i=l:2.4,坡顶。到BC的垂直距离OE=50米(点A,B,

C,D,E在同一平面内),在点。处测得建筑物顶点A的仰角为50°,则建筑物A8的

高度约为()

(参考数据:sin50°"0.77;cos50°七0.64;tan50°g1.19)

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【分析】利用斜坡CO的坡度(或坡比)为i=l:2.4,求出CE的长,从而得出BE,再

利用tan50°即可求出AB的长.

【解析】解:;斜坡C。的坡度(或坡比)为i=1:2.4,

:.DE:CE=5:12,

;OE=50米,

.,.CE=120米,

;8C=150米,

.,.???=150-120=30(米),

.*.A8=lan50°X30+50

比85.7(米).

故。篋.

3.(2020?重庆)如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处,

某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到。点(点A,B,C在同一直线上),

再沿斜坡OE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测

得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)

/=1:2.4,则信号塔48的高度约为()

(参考数据:sin43°^0.68,cos43°80.73,tan43°g0.93)

A.23米B.24米C.24.5米D.25米

【分析】过点E作EFA.DC交DC的延长线于点F,过点E作EMVAC于点M,根据斜

坡力E的坡度(或坡比)/=1:2.4可设EF=x,则DF=2Ax,利用勾股定理求出x的值,

进而可得出EF与。尸的长,故可得HICF的长.由矩形的判定定理得出四边形EFCM是

矩形,故可得出CM=EF,再由锐角三角函数的定义求出AM的长,进而可得

出答案.

【解析】解:过点E作EF_L?>C交DC的延长线于点F,过点E作4c于点M,

二?斜坡DE的坡度(或坡比)i=l:2.4,OE=CD=78米,

/.&EF=x,贝iJOF=2.4x.

在RtZ\OEF中,

,:EF2+DF2^DEi,即x2+(2.4A)2=782,

解得,x=30,

.?.EF=30米,OF=72米,

:.CF=DF+DC=12+78=150米.

\'EM±AC,ACLCD,EFLCD,

;?四边形EFCM是矩形,

,后用=(7尸=150米,。知=?:尸=3()米.

在Rt/XAEM中,

VZAEA/=43°,

,AA/=tan43°-150X0.93=139.5米,

:.AC=AM+CM^139.5+30=169.5米.

,A8=AC-8G169.5-144.5=25米.

故。篋.

4.(2020?重庆)如图,在距某居民楼A8楼底B点左侧水平距离60机的C点处有一个山坡,

山坡C?>的坡度(或坡比)i=l:0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离C?>=45m,在

坡顶。点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平

面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin28°^0.47,cos28°七0.88,tan28°以

0.53)()

CB

A.76.9"?B.82.1/TIC.94.8mD.112.6/H

【分析】构造直角三角形,利用坡比的意义和直角三角形的边角关系,分别计算出DE.

EC、BE、DF、AF,进而求出A8.

【解析】解:如图,过点。作。尺LAB,垂足为凡作。E_L8C交BC的延长线于点E,

由题意得,ZAQF=28°,CD=45m,BC=60m,

在RtADEC中,

?山坡CD的坡度i=l:0.75,

.DE_1_4

"EC0.75京,

设DE=4x,则EC=3x,由勾股定理可得CD=5x,

又CD=45,即5x=45,

.*.JC=9,

:.EC=3x=21(〃?),?>?=4x=36(w)=FB,

;.8E=8C+EC=60+27=87Cm)=DF,

在RtZiA。尸中,

AF=tan28°X?>F^0.53X87^46.11(〃?),

A8=AF+FB=46.11+36382.1(m),

故。築.

(2019?重庆)如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量的高度,小红从建筑物底

端8点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,

DC=BC.在点。处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶

端A点的仰角NAE尸为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CO的坡度(或

坡比)i=l:2.4,那么建筑物A3的高度约为()

(参考数据sin27°七0.45,cos27°弋0.89,tan27°=?0.51)

A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米

【分析】过点E作与点M,根据斜坡CD的坡度(或坡比)i=l:2.4可设C。

=x,则CG=2.4x,利用勾股定理求出x的值,进而可得出CG与DG的长,故可得出

EG的长.由矩形的判定定理得出四边形EG8M是矩形,故可得出EM=BG,BM=EG,

再由锐角三角函数的定义求出4M的长,进而可得出结论.

【解析】解:过点E作于点M,延长EQ交BC于G,

?斜坡CD的坡度(或坡比)i=I:2,4,8c=8=52米,

.,.设QG=x,贝IJCG=2.4x.

在RtACDG中,

':DG2+CG2=DC2,即/+(2.4%)2=522,解得x=20,

.?.OG=20米,CG=48米,

;.EG=20+0.8=20.8米,8G=52+48=100米.

':EM±AB,ABLBG,EGLBG,

四边形EG3M是矩形,

:.EM=BG=\00米,BM=EG=20.8米.

在RtAAEM中,

:.AM=EM'tan21°g100X0.51=51米,

.?.AB=AM+8M=51+20.8=71.8米.

故。築.

6.(2019?重庆)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找

古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=l:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测

得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测

得古树顶端。的仰角NAED=48°(古树CD与山坡A8的剖面、点E在同一平面上,

古树C。与直线AE垂直),则古树CO的高度约为()

(参考数据:sin480-0.73,cos48°?0.67,tan48°

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

【分析】如图,根据已知条件得到受=1:2.4=巨,设CF=5k,AF=l2k,根据勾股

AF12

定理得到47=在环薪5=13%=26,求得AF=24,CF=10,得到EF=6+24=30,

根据三角函数的定义即可得到结论.

【解析】解:如图,设CO与EA交于F,

,f=1:24=今

.设CF=5A,AF=\2k,

??=加「2+女尸2=13%=26,

.k—1,

.A尸=24,CF=10,

'AE=C>,

??F=6+24=30,

-ZDEF=48°,

而48。=器=器=】",

.。尸=33.3,

?C?)=33.3-10=23.3(米),

答:古树CD的高度约为23.3米,

7.(2018?重庆)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂

直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角ZAEO=58°,升旗台底部到教学楼底部

的距离QE=7米,升旗台坡面CQ的坡度i=l:0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡

面的水平距离BC=1米,则旗杆4B的高度约为()(参考数据:sin58°心0.85,

cos58°g0.53,tan58°31.6)

A

DE

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

【分析】如图延长A8交ED的延长线于仞,作C/_LOM于J.则四边形8位/C是矩形.在

RtZ\CD/中求出C/、DJ,再根据,tan/AEM=@[构建方程即可解决问题;

EM

【解析】解:如图延长AB交ED的延长线于M,作CJ1DM于则四边形BMJC是矩

形.

A

MjDE

在RtZXCJO中,CL=-1—=匹,设C/=4k,DJ=3k,

D.T0.753

则有9乒+16乒=4,

:.k=—,

5

:.BM=CJ=宜,BC=MJ=1,川=旦,EM=MJ+DJ+DE=2

555

在RtaAEM中,tan/A?M=@L

EM

AB哈

5

解得A8-13.1(米),

故。築.

8.(2018?重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先

沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=l:0.75、坡长为

10米的斜坡CO到达点。,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E

均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物A3的高度约为(参

考数据:sin24°=0.41,cos24°七0.91,tan24°=0.45)()

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

[分析]作BM上ED交ED的延长线于M,CNLDM于N.首先解直角三角形Rl/XCDN,

求出CMDN,再根据tan24°=幽,构建方程即可解决问题:

EM

【解析】解:作交的延长线于M,CNLDM于N.

在RtZ\C?W中,:型==—=三,设CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.,.CD=10,

(3k)2+(4k)2=100,

:?k=2,

:,CN=8,DN=6,

???四边形8MNC是矩形,

:?BM=CN=8,BC=MN=23EM=MN+DN+DE=66,

在RtZXAEM中,tan240=幽,

EM

;.AB=21.7(米),

故。篈.

9.(2017?重庆)如图,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平

面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CZ)行走195米至坡顶。处,斜坡CQ的

坡度(或坡比)i=l:2.4,在。处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的

高度约为(精确至IJ0.1米,参考数据:sin20°七0.342,cos20°^0.940,tan20°心0.364)

()

A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米

【分析】根据坡度,勾股定理,可得DE的长,再根据平行线的性质,可得N1,根据同

角三角函数关系,可得N1的坡度,根据坡度,可得的长,根据线段的和差,可得答

案.

设OE=A7",CE=2Axm,由勾股定理,得

?+(2.4%)2=1952,

解得产q5加,

DE=75m,CE=2.4x=180〃?,

(方法二:由i=l:2.4=5:12,设。E=5x〃?,CE=\2xm,

由勾股定理,得C?>=13x,

13x=195,

;.x=15,:.DE=15m,CE=180/n)

EB=BC-C?=306-180=1267n.

'.'AF//DG,

N1=/AOG=20°,

sin2Q

tanZl^tanZADG^o=0.364.

cos20

AF=EB=\2()m,

DF

tanZl=—=0.364,

AF

/)尸=0.3644/=0.364义126=45.9,

AB=FE=DE-DF=15-45.9^29.1/n,

故。篈.

10.(2017?重庆)如图,小王在长江边某瞭望台。处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,

若QE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡3C的坡度i=l:0.75,坡长8C=

10米,则此时AB的长约为()(参考数据:sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°

=0.84).

A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米

【分析】延长QE交A8延长线于点P,作CQLAP,可得CE=PQ=2、CQ=PE,由i

=?2=_L_=_l可设CQ=4x、BQ=3x,根据8Q2+C°2=BC2求得x的值,即可知OP

BQ0.753

=11,由AP=—吗一=—三一结合AB=AP-BQ-PQ可得答案.

tanZAtan40

【解析】解:如图,延长OE交48延长线于点P,作CQLAP于点Q,

VCE//AP,

J.DPLAP,

四边形CEPQ为矩形,

:.CE=PQ=2,CQ=PE,

..._CQ_1_4

?BQ0.753"

.?.设CQ=4x、BQ=3x,

EtlB^+C(^—BC2nJ(4x)2+(3x)2=102,

解得:x=2或x=-2(舍),

则CQ=PE=8,BQ=6,

:.DP=DE+PE=\\,

在RtZXAZ)「中,':AP=―叫一=——^^-^13.1,

tanZ.Atan40

:.AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1,

故。篈.

11.(2019?重庆)如图,XABOsXCDO,若30=6,00=3,CD=2,则A5的长是()

BD

C

A.2B.3C.4D.5

【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案.

【解析】解:

?.?‘BO■-_—A—B—■,

DODC

,:BO=6,00=3,8=2,

?.?-6--_A--B-,

32

解得:AB—4.

故。篊.

12.(2018?重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,

6c772和I9c?b另一个三角形的最短边长为2.5C、《7,则它的最长边为()

A.3cmB.4cmC.4.5c/nD.5cm

【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.

【解析】解:设另一个三角形的最长边长为X。”,

根据题意,得:工=9,

2.5x

解得:x=4.5,

即另一个三角形的最长边长为4.5cm,

故。篊.

13.(2017?重庆)已知△ASCSAOEF,且相似比为1:2,则△A8C与△。所的面积比为

()

A.1:4B.4:1C.1:2D.2:1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【解析】解::△A8CsZ\?)Ef,且相似比为1:2,

.,.△ABC与△?)?;厂的面积比为1:4,

故。篈.

14.(2017?重庆)若AABCSADEF,相似比为3:2,则对应高的比为()

A.3:2B.3:5C.9:4D.4:9

【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案.

【解析】解:?.?△ABCSAOEF,相似比为3:2,

...对应高的比为:3:2.

故。篈.

15.(2011?江津区)已知如图:(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上

标注,图(2)中AB、C。交于。点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的

是()

A.都相似B.都不相似

C.只有(1)相似D.只有(2)相似

【分析】图(1)根据三角形的内角和定理,即可求得8c的第三角,由有两角对应相

等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似;

图(2)根据图形中的已知条件,即可证得她,G,又由对顶角相等,即可根据对应边

0D0B

成比例且夹角相等的三角形相似证得相似.

【解析】解:如图(1);/A=35°,NB=75°,

AZC=1800-ZA-ZB=70°,

;NE=75°,/F=70°,

:.ZB=ZE,ZC=ZF,

如图(2):O4=4,00=3,OC=8,08=6,

?.?OAOC,

ODOB

???ZAOC=ZDOB,

/./\AOC^/\DOB.

故。篈.

16.(2010?江津区)如图,在RtZXABC中,AB=AC,。、E是斜边BC上两点,且/ZME

=45°,将△AOC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AfB,连接EF,下列结论中正确

的个数有()

①/EAF=45°;

②△ABEs/XACO;

③AE平分NCAF;

④B修+Dd=DE2.

C.3个D.4个

【分析】①根据旋转的性质知NCA?)=N8AF,因为N84C=90°,ZDAE=45°,所以

ZCAD+ZBAE^45°,可得NEAF=45°;

②因为/CAO与NBAE不一定相等,所以△ABE与△ACQ不一定相似:

③根据&4S可证△/!?)?:丝△AFE,得/AE?>=/AEEDE=EF;

④BF=CD,EF=DE,NFBE=90°,根据勾股定理判断.

【解析】解:①根据旋转的性质知NC4D=/5A立

VZBAC=90°,ZDAE=45°,

:.ZCAD+ZBAE=45°.

.../必尸=45°,故①正确;

②因为NCAO与/BAE不一定相等,所以△A8E与△ACO不一定相似,故②错误;

@":AF=AD,ZFAE^ZDAE=45a,AE=AE,

:.^ADE^/\AFE,^ZAED=ZAEF,

即AE平分/D4F,故③错误;

?':ZFBE=45°+45°=90°,

:.BE1+BF2=EF2(勾股定理),

:△AOC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,:.^AFB^/\ADC,;.BF=CD,

又,:EF=DE,

:.BE1+CD2=DE1(等量代换).故④正确.

故选:B.

17.(2013?重庆)如图,在平行四边形A8CQ中,点E在AO上,连接CE并延长与34的

延长线交于点F,若AE=2ED,CD=3cm,则4尸的长为()

A.5cmB.6cmC.1cmD.Scm

【分析】由边形ABC。是平行四边形,可得AB〃CD,即可证得△AFEs^OEC,然后

由相似三角形的对应边成比例,求得答案.

【解析】解:I?四边形A8CD是平行四边形,

J.AB//CD,

...△AFEs/XOEC,

:.AE-.DE=AF:CD,

;AE=2ED,CD=3cm,

:.AF=2CD=6cm.

故。築.

18.(2016?重庆)ZSABC与△DEF的相似比为1:4,则△4BC与△Off'的周长比为()

A.1:2B.1:3C.I:4D.1:16

【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.

【解析】解:'.,△ABC与△OEF的相似比为1:4,

.?.△ABC与△OEF的周长比为1:4;

故。篊.

二.填空题(共1小题)

19.(2015?重庆)已知ZVIBC与△?>?尸的相似比为4:1,则△48。与4

OEF对应边上的高之比为4:1.

【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.

【解析】解:,:△ABCs/XDEF、ZVIBC与△?)?:/的相似比为4:1,

.'.△ABC与对应边上的高之比是4:1,

故答案为:4:1.

三.解答题(共2小题)

20.(2022?重庆)湖中小岛上码头C处一名游客突发疾。枰仍.位于湖面B点处的

快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接

该游客,再沿C4方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的

北偏东30°方向上,B在A的北偏东60°方向上,且在C的正南方向900米处.

(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米,参考数据:巡仁1.732);

(2)救援船的平均速度为150米/分,快艇的平均速度为400米/分,在接到通知后,快

艇能否在5分钟内将该游客送上救援船?请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计)

【分析】(1)延长C8到D,则CDLAD于点D,根据题意可得NNAC=/CA8=30°,

8c=900米,BC//AN,所以/C=/M4c=30°然后根据含30度角的直角三

角形即可解决问题;

(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船,根据救援船的平均速度为150米/分,快艇

的平均速度为400米/分,列出方程150x+(400X-900)=1559,进而可以解决问题.

【解析】解:(1)如图,延长CB到Z),则CZ)_LAZ)于点

根据题意可知:/NAC=NC4B=30°,BC=900米,BC//AN,

:.ZC=ZNAC=30Q=NBAD,

:.AB=BC=900米,

VZBAD=30°,

,80=450米,

:.AD=MBD=45QM(米),

,AC=2AQ=900愿七1559(米)

答:湖岸A与码头C的距离约为1559米;

(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船,

:救援船的平均速度为150米/分,快艇的平均速度为400米/分,

150x+(400x-900)=1559,

.?.X24.5,

答:快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.

21.(2022?重庆)如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步

道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200米.点E在点A的正北方向.点B,D

在点C的正北方向,80=100米.点8在点A的北偏东30°,点。在点E的北偏东45°.

(1)求步道。E的长度(精确到个位):

(2)点。处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点8到达点也

可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近?

(参考数据:&七1.414,向比1.732)

【分析】(1)过。作。eLAE于尸,由己知可得四边形ACQF是矩形,贝IDF=AC=200

米,根据点。在点?的北偏东45°,即得。E=&。尸=200283(米);

(2)由△DEF是等腰直角三角形,?>E=283米,可得EF=CF=200米,而NA8C=30°,

即得A8=2AC=400米,8C={AB2_AC2=20()V^米,又8力=100米,即可得经过点

8到达点。路程为AB+B?>=500米,CD=BC+BD=(200我+100)米,从而可得经过

点E到达点D路程为AE+DE=20043-100+200加p529米,即可得答案.

【解析】解:(1)过。作。FLAE于F,如图:

由已知可得四边形ACDF是矩形,

.^.。尸=AC=200米,

?.?点。在点E的北偏东45°,即/。EF=45°,

...△DE尸是等腰直角三角形,

ADE=42DF=200V2^283(米);

(2)由(1)知是等腰直角三角形,?)E=283米,

;.EF=。尸=200米,

?.?点B在点A的北偏东30°,即NE4B=30°,

AZABC=3QQ,

:AC=200米,

,A8=2AC=400米,BC=QAB2-AC2=200毒米,

?.,80=100米,

经过点B到达点D路程为AB+BD=400+l()0=5(X)米,

CD=BC+BD=(200V3+100)米,

:.AF=CD=(200V3+100)米,

;.AE=AF-EF=(2OOV3+1OO)-200=(200愿-100)米,

...经过点E到达点。路程为4E+?>E=2()0愿-100+20()72^529米,

V529>500,

经过点B到达点D较近.

一年模拟新题

一.选择题(共17小题)

1.(2022?兴义市模拟)如图,某中学九kok电子竞技数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树

BC的高度,他们在斜坡上。处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米

到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=l:M,则

大树8c的高度为()

(结果保留一位小数,参考数据:sin48°g0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,盗取

1.73)

B

EAV=========7C

A.12.5米B.12.3米C.12.2米D.11.8米

【分析】首先过点D作DM±BC于点M,DNLAC于点N,由次的坡比/=I:北,

DA=6,可求得AN与。N的长,然后设大树的高度为x,又由在斜坡上A处测得大树顶

端8的仰角是48°,nJ^AC=—^—,又由在△氏?/中,典"2,可得x-3=(3j§

1.11DM3

?近,继而求得答案.

1.113

【解析】解:过点〃作。仞,BC于点M,DNLAC于点、N,

则四边形。MCN是矩形,

;?)A=6,斜坡阴的坡比i=l:V3,

:.DN=^AD=3,AN=AD-cos30Q=6X返=3料,

22

设大树的高度为x,

V在斜坡上4处测得大树顶端B的仰角是48°,

;.tan48°=星旬」1,

AC

DM=CN=AN+AC=3yf3+——,

1.11

:在△8DM中,

DM3

BM=J^DM,

3

;.x-3=(3愿+^—)?叵,

1.113

解得:x-12.5.

...树高8C约12.5米.

2.(2022?柳城县一模)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么cosa的

值是()

y

【分析】作轴于8,先利用勾股定理计算出04=5,然后在Rt^AOB中利用余弦

的定义求解即可.

【解析】解:作AB_Lx轴于8,如图,

?.?点A的坐标为(3,4),

:.0B=3,AB=4,

OA—J§2+42=5,

在RtA40B中,cosa=e^-=2.

OA5

故。篊.

yA

3.(2022?永川区模拟)国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电

“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75

的山坡CD的平台8c上(如图),测得/AEC=52°,8C=5米,CC=35米,DE=19

米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52°^0.79,tan520*=1.28)()

C.36.6米D.57.6米

【分析】延长A8交??于G,过C作CF_LZ)E于F,得到GF=8C=5,设OF=3k,CF

=4k,解宜角三角形得到结论.

【解析】解:延长A8交EO于G,过C作CF_LOE于凡

:.GF=BC=5,

?.?山坡CD的坡度为1:0.75,

.?.设/)尸=3鼠CF=4k,

:.CD=5k=35,

:.k=7,

:.DF=2\,BG=CF=2S,

:.EG=GF+DF+DE=5+21+19=45,

VZA?D=52°,

."G=EG”an52°=45X1.28=57.6,

;.AB=29.6米,

答:铁塔A3的高度约为29.6米.

4.(2022?商河县一模)如图,为测量学校旗杆42的高度,小明从旗杆正前方3米处的点C

出发,沿坡度为i=l:?的斜坡C。前进蓊米到达点。,在点力处放置测角仪,测

得旗杆顶部A的仰角为37°,量得测角仪。E的高为1.5米,A、B、C,D、E在同一平

面内,且旗杆和测角仪都与地面垂直.则旗杆AB的高度约为()(参考数据:sin37°

A.6.8米B.7.5米C.7.7米D.8.5米

(分析】延长ED交射线BC于点H,过点E作EF1AB于凡则四边形BHEF是矩形,

想办法求出AF,8F即可解决问题;

【解析】解:延长ED交射线8c于点H,过点E作EF1AB于F.

由题意得。8c.

在RtZ^CQH中,NOHC=9(r,ian/OCH=i=l:焉

:.ZDCH=30Q.

:.CD=2DH.

V00=273)

:.DH=M,CH=3.

':EF±AB,AB1BC,ED1BC,

:.NBFE=NB=NBHE=90°.

,四边形为矩形.

:.EF=BH=BC+CH=6.

FB=EH=ED+DH=1.5+^3.

在RtZ\AEF中,ZAF?=90°,AF=EFtanNAEF=6X0.75=4.5.

:.AB=A尸+尸8=6+愿=6+1.73~7.7.

旗杆AB的高度约为7.7米.

故。篊.

5.(2022?西青区二模)tan60°的值等于()

A.—B.近C.近

D.M

232

【分析】求得60°的对边与邻边之比即可.

【解析】解:在直角三角形中,若设30°对的直角边为1,则60。对的直角边为北,

tan60°

故。篋.

6.(2022?河西区模拟)2sin60°的值等于()

A.1B.V2c.aD-H

【分析】根据sin60。=退■解答即可.

2

【解析】解:2sin600=2X近=心

2

故。篊.

7.(2022?大足区模拟)若且相似比为1:4,则△ABC与的面积比

为()

A.1:4B.4:1C.1:16D.16:1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【解析】解:;且相似比为1:4,

.,.△ABC与△?>?■尸的面积比为1:16,

故。篊.

8.(2022?大渡口区模拟)如图,点A(1,7),B(1,1),C(4,1),D(6,1),若△CQE

与△A8C相似,那么在下列选项中,点E的坐标不可能是()

【分析】根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断.

【解析】解:△48C中,NABC=90°,4B=6,3c=3,AB:BC=2.

A.当点E的坐标为(6,2)时,ZECD=90°,CD=2,DE=\,则AB:BC=CD-.

DE,ACDEs^ABC,故本选项不符合题意;

B.当点E的坐标为(6,3)时,ZCD?=90°,CO=2,OE=2,则AB:BCWCD:

DE,△(7?>?与AABC不相似,故本选项符合题意;

C.当点E的坐标为(6,5)时,ZCDE=90",CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,

△EDCsXNBC'故本选项不符合题意;

D.当点E的坐标为(4,2)时,ZCDE=90Q,CO=2,CE=1,则AB:BCWCD:

CE,△?>CES/\A8C,故本选项不符合题意.

故。築.

9.(2021?南明区模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边。C上,DE:EC=3:1,

连接AE交BQ于点F,则△QEF的面积与△D4F的面积之比为()

A.9:16B.3:4C.9:4D.3:2

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CZ),AB//CD,则。E:A8=3:4,再证明

/\DEF^/\BAF,利用相似比得到空=3,然后根据三角形面积公式求的面积与

AF4

△D4尸的面积之比.

【解析】解:;四边形48co为平行四边形,

.".AB=CD,AB//CD,

,:DE:EC=3:I,

:.DE:AB=DE:DC=3:4,

?:DEaAB,

:.△DEFs^BAF,

.EF=DE=3_

"AFAB了

...△DEF的面积与△D4F的面积之比=EF:AF=3:4.

故。築.

10.(2021?安庆模拟)如图,在大小为4X4的正方形网格中,是相似三角形的是()

A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④

【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理,三边对应成比例的两个三角形相似,

即可完成题目.

【解析】解:①和③相似,

???由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、&、A/10;

由勾股定理求出③的各边长分别为2&、2、2遥,

.2=近

vTo_V2

2V5工

即,_=返_=叵,

2V222V5

...两三角形的三边对应成比例,

,①③相似.

故。篊.

11.(2020?岳麓区模拟)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)

与aABC相似的是()

A.m

【分析】由图可得NACB=135°,AC=近,BC=2,然后分别求得A,B,C,。中各

三角形的最大角,继而求得答案.

【解析】解:如图:NACB=135°,AC=近,BC=2,

4、最大角=135°,对应两边分别为:1,加,

VA/2:1=2:V2.

此图与8c相似;

8、??,最大角<135°,

:.与AABC不相似;

C、:最大角<135°,

.?.与△ABC不相似;

。、?.?最大角<135°,

...与△ABC不相似.

故。篈.

12.(2017?合川区校级模拟)下列说法:①所有等腰三角形都相似;②有一个底角相等的两

个等腰三角形相似;③有一个角相等的等腰三角形相似;④有一个角为60°的两个直角

三角形相似,其中正确的说法是()

A.②④B.①③C.①②④D.②③④

【分析】考查相似三角形的判定问题,对应角相等即为相似三角形.

【解析】解:①中等腰三角形角不确定,所以①错;

②中有一个底角相等即所有角都对应相等,②对;

③中可能是以底角和一顶角相等,所以③错;

④中两个角对应相等,所以相似,④对

故。篈.

13.(2022?两江新区模拟)如图,在矩形ABC。中,点E是对角线上一点,连接AE并延长

交CD于点F,过点E作EGA-AE交BC于点G,若AB=8,AD=6,BG=2,则AE=

A4后BC7AD8g

'5'5'5'5

【分析】过点E作ENLBC,垂足为N,延长NE交AD于点M,根据矩形的性质可得

AD=BC—6,ZDAB—ZABC-90',,从而可得四边形AWNB是矩形,进而可得

=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN//AB,然后设则EN=MN-EM=8-x,

再证明A字模型相似三角形△CMESAZMS,并利用相似三角形的性质求出DM,从而

求出AM,GN的长,最后证明一线三等角模型相似三角形△AMEs^ENG,利用相似三

角形的性质列出关于x的方程,进行计算即可求出ME,AM的长,从而在RtZiA/E中,

利用勾股定理进行计算即可解答.

【解析】解:过点E作ENL8C,垂足为M延长NE交AD于点M,

A

M\*...........IN

DF--------------1c

:.NENB=90°,

?.?四边形48co是矩形,

:.AD=BC=6,/D4B=NABC=90°,

二四边形4MNB是矩形,

AZAMN=90a,AB=MN=S,AM=BN,MN//AB,

:.ZDME^ZDAB=90a,NDEM=NDBA,

:.△DMEs^DAB,

?DM=DA

"MEAB"

设ME=x,则EN=MN-EM=8-x,

?.?-DM—_―6,

x8

.?.。加=当,

4

:.BN=AM=AD-DM=6-2x,

4

?:BG=2,

,GN=BN-BG=4-当,

4

,:EGLAE,

:.ZAEG=W,,

:.NAEM+NGEN=90°,

,.,NAEM+NM4E=90°,

:.NMAE=NGEN,

■:NAME=NENG=90°,

:.AAMEsdENG,

?AM=EN

"MENG"

A3

.6^7X8-X

JC2=8.

25

经检验:xih至,X2=8都是原方程的根,也=8(舍去),

25

...M.E.c=-=-4=8~,A4.M,—f,)-—3x—102,

25425

?"E=〃M2+ME2=J(||)2+嘴)2=_|行,

故。築.

14.(2022?两江新区模拟)如图,在△ABC中,DE//BC,坦=5,记△%?)?;的面积为si,

AB7

四边形QBCE的面积为封,则包的值是()

A

BC

A5R25r24n25

7492524

【分析】根据平行线的性质可得乙4/)E=NB,ZAED=ZC,从而证明

然后利用相似三角形的性质即可解答.

【解析】IS:':DE//BC,

:.ZADE=ZB,NAED=NC,

.SAADE(§)2_25

,△ABC749

.$1=25

F241

故。篋.

15.(2021?大渡口区模拟)如图,已知,M,N分别为锐角/AO8的边。4,08上的点,

ON=6,把△OMN沿MN折叠,点O落在点C处,MC与OB交于点P,若MN=MP=

5,则PN=()

A.2B.3C.—D.卫

33

【分析】依据NCPN=NCNM,ZC=ZC,即可得到△CPNs/\CNM,再根据相似三角

形的性质,即可得到C尸=4,进而得出PN的长.

【解析】解:,:MN=MP,

:.NMNP=NMPN,

:./CPN=/ONM,

由折叠可得,ZONM=ZCNM,CN=ON=6,

:.NCPN=/CNM,

又;NC=NC,

:.丛CPNs丛CNM,

—,B|JCN2^CPXCM,

CNCM

:.62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

V..PN=CP

.而CN'

.PN_4

??-----

56

.?.呐=独

3

故。篋.

B

16.(2019?南岸区校级模拟)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股””章中

有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面

见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长

度单位)的正方形小城,东门〃位于G。的中点,南门K位于ED的中点,出东门15

步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点O在直线AC上)?

请你计算KC的长为()步.

FG

HA

牛霜

C

A.200°B,170°C

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