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高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考(月考)数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由题得,所以,有是三个元素,所以真子集个数为.故。篈.2.已知,,则“,”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为,,则“,,所以,所以“,”是“”的充分条件;当,可满足,所以“,”是“”的不必要条件.故。篈3.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间(小时)的关系为(为最初污染物数量,且).如果前4个小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还需要()A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时〖答案〗B〖解析〗由题意可知,即有,令,则有,解得,,故还需要4小时才能消除至最初的.故。築.4.若函数的值域为,则的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的值域为,则函数的值域应包含,则有,解得或,所以的取值范围是.故。篋.5.已知点在幂函数的图象上,设,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗点在幂函数的图象上,则有,解得,有,则在R上单调递增.由,,则,所以,即.故。篊.6.已知函数,若关于的不等式的解集为,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知,当时,恒成立,即恒成立,即有在上恒成立,令,则,故当时,,当,,即在上单调递减,在上单调递增,即,即有;当时,,由题意可得,当,,当,,则有当,,当,,分别解得,,即;综上所述:.故。篋.7.设函数,的零点分别为、,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标,是的图象和函数的图象的交点的横坐标,且,都是正实数,如图所示:故有,故,,,,故。築.8.已知,,,且,则的最小值为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得,且,因此,令,则;又;当且仅当时,即时,等号成立;此时的最小值为.故。篊.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.函数与是相同的函数B.函数的最小值为6C.若函数在定义域上为奇函数,则D.已知函数的定义域为,则函数的定义域为〖答案〗ACD〖解析〗对于A,由题意可得,解得,所以的定义域为,.由得,所以的定义域为,.又因为,故函数与是相同的函数,故A正确.对于B,,当且仅当时取等号.由于方程无解,故等号不成立,故B错误.对于C,若为定义域上为奇函数,故定义域需要满足,则,否则,定义域不关于原点对称,进而可得定义域为,故,解得,经检验符合题意,故C正确,对于D,对于已知函数f2x+1的定义域为,则,故,则函数的定义域为,D正确,故。篈CD.10.若,且,则下列说法正确的是()A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为,且,所以,所以,即,故A正确;因为,,所以,故B错误;因为,所以,故C正确;当时满足题设条件,但不成立,故D错误.故。篈C.11.已知函数,则下列说法正确的是()A.若在上单调递增,则的取值范围是B.点为曲线的对称中心C.若过点可作出曲线的三条切线,则的取值范围是D.若存在极值点,且,其中,则〖答案〗BCD〖解析〗对于A,由,可得,若在上单调递增,则对恒成立,所以对恒成立,所以对恒成立,所以,所以的取值范围是,故A错误;对于B,由,可得,又,所以,令,又,所以关于原点对称,所以点为曲线的对称中心,故B正确;对于C,因为,,所以,所以,设切点为,则切线的斜率,化简得,由条件可知该方程有三个实根,所以有三个实根,记,所以,令,解得或,当,,所以在上单调递增,当,,所以在上单调递减,当,,所以在上单调递增,当时取得极大值,当时,取得极小值,因为过点可作出曲线的三条切线,所以,解得,故选项C正确;对于D,因为,所以,当,在上单调递增;当,由,解得或,由,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;因存在极值点,所以,得,令,所以,因为,于是,又,所以化简得:,因为,所以,于是,.所以,故选项D正确.故。築CD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12._________.〖答案〗〖解析〗.13.已知函数y=x称为高斯函数,表示不超过的最大整数,如,,则不等式的解集为______;当时,的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由,即,解得,又x表示不超过的最大整数,故;当x∈0,1时,,则,当时,,当且仅当,即时,等号成立,即当时,的最大值为.14.设函数,若,则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗当时,,则,即,当时,,则,即,即有,即,则,令,,,则当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,故,即的最小值为.四、解答题:本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集,集合,.(1)若,求和;(2)若,求的取值范围.解:(1)若,则,,则,;(2)由,则,当时,即恒成立,即;当时,即时,,由,则有或,分别解得,无解,故;综上所述:.16.已知关于的不等式的解集为.(1)求,的值;(2)若,,且,求的最小值.解:(1)不等式的解集为,和是方程的两个实数根,且,,解得;(2)由(1)知,于是有,,,所以当且仅当且,即等号成立,故的最小值为17.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若对任意的恒成立,求的取值范围.解:(1),当时,恒成立,故当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增;当时,令,解得或,则当,即时,恒成立,即在上单调递增;当,即时,当时,,当时,,故在、上单调递增,在上单调递减;当,即时,当时,,当时,,故在、上单调递增,在上单调递减;综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在、上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在、上单调递增,在上单调递减;(2)由题意可得对任意的恒成立,即对任意恒成立,即对任意的恒成立,令,,则,当时,恒成立,故在上单调递增,则,符合要求;当时,令,解得,即当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,即,则有,令,即,令,,则,即在上单调递减,即,即当时,恒成立,不符合要求;综上所述,.18.已知函数是定义在上的奇函数.(1)求的值,并证明:在上单调递增;(2)求不等式的解集;(3)若在区间上的最小值为,求的值.(1)证明:是定义域为上的奇函数,,,,,此时,经检验,符合题意;函数的定义域为,在上任。,且,函数在上单调递增,(2)由(1)可知,且在上单调递增的奇函数,由可得,,即,或,不等式的解集为或;(3),,.令,,,,当时,当时,,则(舍去);当时,当时,,解得,符合要求,综上可知或.19.已知函数.(1)若,求的图象在处的切线方程;(2)若恰有两个极值点,.(i)求的取值范围;(ii)证明:.(1)解:当时,,,,则,则的图象在处的切线方程为,即;(2)(i)解:,令,由恰有两个极值点,,则有两个不同实数根,,且,则有,即;(ii)证明:由(i)知,,且,,则,则要证,即证,即,令,,令,则在上恒成立,故在上单调递减,又,,故存在,使,即,则当时,,时,,即在上单调递增,在上单调递减,则,由对勾函数性质可知,在上单调递增,由,则,即,即,即可得证:.
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