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西南名校曲靖一中2025届高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知平面,的法向量分别为,,则()A. B.C.,相交但不垂直 D.,的位置关系不确定2.已知,且,则的最大值为()A. B.C. D.3.点到直线的距离为A.1 B.2C.3 D.44.如图,在平行六面体中,AC与BD的交点为M,设,,,则下列向量中与相等的向量是()A. B.C. D.5.等差数列的首项为正数,其前n项和为.现有下列命题,其中是假命题的有()A.若有最大值,则数列的公差小于0B.若,则使的最大的n为18C.若,,则中最大D.若,,则数列中的最小项是第9项6.已知,为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,若,则P点的横坐标为()A. B.C.4 D.97.已知随机变量服从正态分布,且,则()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.848.已知函数在上可导,且,则与的大小关系为A. B.C. D.不确定9.已知函数,在定义域内任取一点,则使的概率是()A. B.C. D.10.抛物线y2=4x的焦点坐标是A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0) D.(1,0)11.将直线绕着原点逆时针旋转,得到新直线的斜率是()A. B.C. D.12.已知向量,,若与共线,则实数值为()A. B.C.1 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的右焦点为,过点作轴的垂线,在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于,两点.若,则双曲线的离心率为___________.14.在一平面直角坐标系中,已知,现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为___________.15.直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,若,则直线l的斜率为______16.双曲线的离心率为____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的存在,求实数的取值范围;若问题中的不存在,请说明理由设等差数列的前n项和为,数列的前n项和为,___________,,,是否存在实数,对任意都有?18.(12分)设双曲线的左、右焦点分别为,,且,一条渐近线的倾斜角为60°(1)求双曲线C的标准方程和离心率;(2)求分别以,为左、右顶点,短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程19.(12分)已知抛物线,过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点,且线段中点的纵坐标为2(1)求直线l的方程;(2)设x轴上关于y轴对称的两点P、Q,(其中P在Q的右侧),过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点,求证:始终被x轴平分20.(12分)已知等差数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.21.(12分)已知点,直线:,直线m过点N且与垂直,直线m交圆于两点A,B.(1)求直线m的方程;(2)求弦AB的长.22.(10分)已知点,点B为直线上的动点,过B作直线的垂线,线段AB的中垂线与交于点P(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若过点的直线l与曲线C交于M,N两点,求面积的最小值.(O为坐标原点)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用向量法判断平面与平面的位置关系.【详解】因为平面,的法向量分别为,,所以,即不垂直,则,不垂直,因为,即即不平行,则,不平行,所以,相交但不垂直,故。篊2、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到结果.【详解】由基本不等式知;(当且仅当时取等号),的最大值为.故。篈.3、B【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】,答案为B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于简单题.4、B【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故。築.5、B【解析】由有最大值可判断A;由,可得,,利用可判断BC;,得,,可判断D.【详解】对于选项A,∵有最大值,∴等差数列一定有负数项,∴等差数列为递减数列,故公差小于0,故选项A正确;对于选项B,∵,且,∴,,∴,,则使的最大的n为17,故选项B错误;对于选项C,∵,,∴,,故中最大,故选项C正确;对于选项D,∵,,∴,,故数列中的最小项是第9项,故选项D正确.故。築.6、B【解析】设,,根据向量的数量积得到,与椭圆方程联立,即可得到答案;【详解】设,,,与椭圆联立,解得:,故。築7、C【解析】根据对称性以及概率之和等于1求出,再由即可得出答案.【详解】∵随机变量服从正态分布,∴故。篊.8、B【解析】由,所以.9、A【解析】解不等式,根据与长度有关的几何概型即可求解.【详解】由题意得,即,由几何概型得,在定义域内任取一点,使的概率是.故。篈.10、D【解析】的焦点坐标为,故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义.解析几何是中学数学的一个重要分支,圆锥曲线是解析几何的重要内容,它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容,一定要熟记掌握11、B【解析】由题意知直线的斜率为,设其倾斜角为,将直线绕着原点逆时针旋转,得到新直线的斜率为,化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为,设其倾斜角为,则,将直线绕着原点逆时针旋转,则故新直线的斜率是.故。築.12、D【解析】根据空间向量共线有,,结合向量的坐标即可求的值.【详解】由题设,有,,则,可得.故。篋二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】按题意求得,两点坐标,以代数式表达出条件,即可得到关于的关系式,进而解得双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为,其渐近线为,垂线方程为,则,,,由,得,即即,则,离心率故答案为:14、【解析】平面直角坐标系中,沿轴将坐标平面折成的二面角后,在平面上的射影为,作轴,交轴于点,通过用向量的数量积转化求解距离即可.【详解】在直角坐标系中,已知,现沿轴将坐标平面折成的二面角后,在平面上的射影为,作轴,交轴于点,所以,所以,所以,故答案为:15、【解析】如图,设,两点的抛物线的准线上的射影分别为,,过作的垂线,在三角形中,等于直线的倾斜角,其正切值即为值,利用在直角三角形中,求得,从而得出直线的斜率【详解】解:如图,当在第一象限时,设,两点的抛物线的准线上的射影分别为,,过作的垂线,在三角形中,等于直线的倾斜角,其正切值即为值,由抛物线的定义可知:设,则,,,在直角三角形中,,所以,则直线的斜率;当在第四象限时,同理可得,直线的斜率,综上可得直线l的斜率为;故答案为:16、【解析】由题意得:考点:双曲线离心率三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】由已知条件可得,假设时,取最小值,则,若补充条件是①,则可求得,代入化简可求出的取值范围,从而可求得答案,若补充条件是②,则可得,该数列是递减数列,所以不存在k,使得取最小值,若补充条件是③,则可得,代入化简可求出的取值范围,从而可求得答案,【详解】解:等差数列的公差为d,当时,,得,从而,当时,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,由对任意,都有,当等差数列的前n项和存在最小值时,假设时,取最小值,所以;若补充条件是①,因为,,从而,由得,所以,由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,又,所以.所以,故实数的取值范围为若补充条件是②,由,即,又,所以.所以,由于该数列是递减数列,所以不存在k,使得取最小值,故实数不存在以下为严格的证明:由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,所以,所以不存在k,使得取最小值,故实数不存在若补充条件是③,由,得,又,所以,所以由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,又,所以.所以存在,使得取最小值,所以,故实数的取值范围为18、(1),2(2)【解析】(1)结合,联立即得解;(2)由题意,即得解.【详解】(1)由题意,又解得:故双曲线C的标准方程为:,离心率为(2)由题意椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为故即椭圆方程为:19、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)设直线l的方程为:,联立方程,利用韦达定理可得结果;(2)设,借助韦达定理表示,即可得到结果.【详解】(1)由已知可设直线l的方程为:,联立方程组可得,设,则又因为,得,故直线l的方程为:即为;(2)由题意可设,可设过P的直线为联立方程组可得,显然设,则所以所以始终被x轴平分20、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)根据等差数列的性质及题干条件,可求得,代入公式,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,利用裂项相消求和法,即可求得,即可得证.【详解】解:(1)设数列的公差为,在中,令,得,即,故①.由得,所以②.由①②解得,.所以数列的通项公式为:.(2)由(1)可得,所以,故,所以.因为,所以.【点睛】数列求和的常见方法:(1)倒序相加法:如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法;(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如类型,可采用两项合并求解.21、(1)(2)【解析】(1)求出斜率,用点斜式求直线方程;(2)利用垂径定理求弦长.【小问1详解】因为直线:,所以直线的斜率为.因为直线m过点N且与垂直,所以直线的斜率为,又过点,所以直线:,即【小问2详解】直线与圆相交,则圆心到直线的距离为:,圆的半径为,所以弦长22、(1)(2)【解析】(1)由已知可得,根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,即可得到轨迹方程;(2)设直线方程为,,,,,联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,则,代入韦达定理,即可求出面积最小值;【小问1详解】解:由已知可得,,即点到定点的距离等于到直线的距离,故点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,所以点的轨迹方程为【小问2详解】解:当直线的倾斜角为时,与曲线只有一个交点,不符合题意;当直线的倾斜角不为时,设直线方程为,,,,,由,可得,,所以,,,,所以当且仅当时取等号,即面积的最小值为;

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