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2024年金陵中学特长生选拔考试数学试题【综合部分】
1.若/+x。+x+1=0,则X”=
2.方程中+2y-l=0的整数解共有对
3.若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等,则丫=
4.求夕=2x+2关于y=x对称的函数表达式.
5.如图,正方形N2CD边长为6,若BE=DF=2,则四边形GEC/的面积为
A
B
4
6.如图,y=x与y=—相交于/.8两点,若在〉轴有点C,满足乙4cB=90。,则C点坐
x
标为______
7.如图,三棱锥的每条边均为整数,若CD=2,AB=2,AC=6,BD=4,则8C的长为.
8.若函数y=--2ox+4与x轴相交于(占,0)、(x2,0),且则。的取值范围
是______
9.如图
III
01X
4十112
(1)求证:—+—->--;
xx+2x+1
(2)在数轴上用尺规画出表示工的点.
X
试卷第1页,共2页
10.已知矩形4BCZ)的对角线长为X,设矩形面积为S.
A
B
(1)若x=6,求S的最大值;
⑵若矩形的周长为12,求:
①x的取值范围;
②S关于x的函数表达式.
ABBD
11.(1)若/。为/A4c的角平分线,求证:
ACCD
APIBP
(2)已知,ZABC=ZADC=90°,/胡C=30。,NDAC=45°,求证:
CPDP
(1)⑵
BC=4,CD=7,AD=3.
(1)求证:NC+ZD=90°;
(2)若河是CD上一点,尸为48CO内一点,贝|己4+总+尸”的最小值为
试卷第2页,共2页
1.1
【分析】本题考查高次方程的求解,因式分解的应用,先将/+,+x+l=O分解为
(x+l)(x2+l)=0,求解出x的值,即可解答.
【详解】解:x3+x2+x+1=0,
(丁+)+(%+])=0,
(X+1乂/+i)=o,
%2+1>1
x+1=0,
X=-1,
14=],
故答案为:1.
2.2
【分析】此题考查了方程的解,解题的关键是将原方程正确变形.
首先将初+2y-l=0变形为了=上,然后根据x,y都是整数求解即可.
x+2
[详解】?.?切+2y_l=0
xy+2y=1
1
,歹二
x+2
Vx,y都是整数
工当工=—3时,>=-TJ.=
x+2—3+2
当%=-1时,y=-=1=1;
x+2-1+2
/.方程砂+2y-1=0的整数解共有2对.
故答案为:2.
3.0或5
【分析】本题考查了方差的计算公式,解一元二次方程,熟练掌握公式是解题的关键.
根据方差的计算公式建立方程,解一元二次方程即可.
3+4+5+6+7
【详解】解:3、4、5、6、7的平均数为:-------------------=5,
5
答案第1页,共12页
则方差为:1[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2,
l+2+3+4+x10+x
1、2、3、4、x的平均数为:
55
22
10+xI+(3-10+x10+x1+10+x
,由题意得,]I+(2-lf-X--------二----2--,
55+455
化简得,/一5x=0,
解得x=0或x=5,
故答案为:0或5.
4.y=-x-l
2
【分析】本题考查了一次函数的解析式,关于直线^='对称的点坐标,在>=2x+2上取两
点/(0,2)和8(T0)关于〉=X对称后点的坐标为H(2,0)、9(0,-1),根据两点确定一条直
线,用待定系数法即可解答.
【详解】解:在y=2x+2上取两点“(0,2)和川-1,0),
???直线N=x是一、三象限的角平分线,
/(0,2)和8(-1,0)关于直线>=x对称的点坐标为4(2,0)、夕(0,-1),
设了=2x+2关于y=x对称的函数表达式为了=履+6,
解得:产,
0=2左+b
则
-\=b
b=-\
.=y=2x+2关于》='对称的函数表达式为y=—l,
故答案为:y=gxT.
152,9
5.##13—
1111
【分析】连接跖,过点尸作FHLZB于点7/,交NE于点K,证明四边形刃为矩形,
HKA.H2
得出尸=2,HF=AD=6,证明△ZZ/FS/X/AE1,得出——二——,求出收二不,
BEAB3
证明ADWBG,得出GFKF_8,求出鼠明=啊="<2x4=善,
-----=-----=----=-11
BGBE23
%EF=gx4x4=8,即可得出答案?
【详解】解:连接EF,过点F作于点H,交/E于点K,如图所示:
答案第2页,共12页
AD
则乙4HF=NBHF=9Q。,
???四边形/5C。为正方形,
AB=BC=CD=AD=6,/ABC=Z.C-ND=NBAD=90°,
■:BE=DF=2,
:.CE=CF=6—2=4,
:.ZAHF=/HAD=ZD=90°,
???四边形4HFD为矩形,
/.AH=DF=2,HF=AD=6,
ZAHF=/ABC,
???HF//BC,
/\AHF^/\ABE,
.HKAH
??密一布’
即“2
即才一V
2
解得:HK=~,
丁HF//BC,
:.AKFGS^EBG,
16
.??GF=KF二=8,
BG~BE~2-3
?GF8_8
**5F-8+3-11,
._8_864
vX
??TEFG=~S^BEF=]j"2x4=r,
x
*.*SCFF=_4x4=8,
答案第3页,共12页
=
,"S四边形CEGFSAEFG+S.CEF=JY+8=]]?
故答案为:曹152.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,矩形的判定和性质,三角形相似的判定和性质,解
题的关键是作出辅助线,熟练掌握三角形相似的判定和性质.
6.(2在0)或卜2衣0)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,勾股定理,已两点求距离,熟练掌
握知识点是解题的关键.
先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点/(2,2),8(-2,-2),设C("?,0),借助于两点
间距离公式和勾股定理建立方程求解即可.
y-x
【详解】解:由题意得4,
了=一
Ix
解得:x=2或x=-2,
2),5(-2,-2),
设C(机,0),贝ij/C?=(2-加)2+4,802=(加+2/+4,432=42+42,
ZACB=90°,
:.CA2+BC2=AB2,
(2—加丫+4+(加+2)2+4=32,
解得:"I=2^/2或"J=—2y[2,
C(2后,0)或C^2立0),
故答案为:(2血,0)或卜2近,0).
7.5
【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系,掌握构成三角形的条件是解题的关键.分
别在V/BC和△3C。中根据“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”
列不等式组并求解即可.
【详解】解::在V/8c中,AB=2,AC=6,
:.AC-AB<BC<AC+AB,即6-2<BC<6+2
:.4<BC<S;
答案第4页,共12页
:在△BCD中,CD=2,BD=4,
:.BD-CD<BC<BD+CD,即4-2<BC<4+2
:.2<BC<6;
:.4<BC<6
...三棱锥的每条边均为整数,
,BC=5.
故答案为:5.
8.—<。<—22<a<一
22
【分析】本题考查二次函数图形的性质及二次函数与不等式,根据>=/-26+4与x轴交
点的分布,利用数形结合的思想建立不等式组求解即可.
【详解】解:y=x2-lax+4=(x-a)-+4-a2,
???函数y=/_2“x+4与x轴相交于(再,0)、(x2,0),即/-2〃x+4=0有两个根匹,马,且
一4<项<x2<4,
4-a2<0
-4<a<4
(-4)--2X(-4)G+4>0
42-2x4a+4>0
解得:一』<a<-2或2<“<*,
22
故答案为:-1?<a<-2或2<a<j.
22
9.(1)见解析
(2)图见解析
【分析】(1)利用作差法和分式的加减混合运算法则求解即可;
(2)以OC为直径画圆,以。为圆心,1为半径画圆,两圆交于点A,过点A作48,数轴,
则点8表示的数即为工
【详解】(1)证明:由题意得,
112
—+----------
xx+2x+1
答案第5页,共12页
(x+l)(x+2)x(x+1)2x6+2)
x(x+l)(x+2)x(x+l)(r+2)、6+1)卜+2)
+2x+x+2++x—2x?—4x
x(x+l)(x+2)
2
x(x+l)(x+2),
由数轴可得,x>l>0,
x+1>0,x+2>0,
------------------>0
??x(x+l)(x+2)
.「+」一--L>。,
xx+2x+\
.112
??一+---->----;
xx+2x+1
(2)解:以OC为直径画圆,以。为圆心,1为半径画圆,两圆交于点A,过点A作45_1数
OC为直径,
???ZOAC=90°f
???NABO=ZOAC,
ZAOB=ZAOC,
???△AOCS&BOA,
.AO_OCJ__x
??一,即:—一
BOOABO1
即点8表示的数即为
X
答案第6页,共12页
【点睛】本题考查实数与数轴,异分母分式的加减运算,圆周角定理,相似三角形的判定和
性质,尺规作图一作垂线,作圆,熟练掌握相关知识点,并灵活运用,是解题的关键.
10.(1)18
⑵①3&Vx<6;②S=
【分析】本题考查了二次函数与几何的实际应用,矩形的性质,勾股定理.
(1)设BC=m,根据3c-+CD?=3。」得至8=,36—加2,矩形的面积$=机扃二kok电子竞技,
52=m2(36-m2)=-m4+36m2=-(m2-18)2+324,即可解答;
(2)①设矩形的一边长为°,则另一边长为6-°,列出x与。的关系式,利用二次函数的
性质即可解答;②根据S=a(6-?)结合①中x与a的关系式即可解答.
【详解】(1)解:设BC=m,
???BC1CD,
NBCD=90°,
BC2+CD2=BD2,
CD=」36-,
S=m\36-m2,
S2=7M2(36-m2)=-m4+36m2=-(/M2-18)2+324,
(m2-18)->0,
S2<324,
当(苏-18『最小时,即为0时,$2有最大值324,
.:S的最大值为18;
(2)解:①设矩形的一边长为a,则另一边长为6-a,
Vx2=a2+(6-a)2=2(a-3)2+18,
0<a<6,
???18<X2<36,
,/x>0,
答案第7页,共12页
/.3后<x<6;
(2)S=Q(6—Q)=—/+6a,
由=Q?+(6-a)—2Q2—12(2+36—-2(-/+6a)+36,
,2z-——36口口%2—36
?--a2+6。=-------,BP5=--------.
22
11.(l)见解析;(2)见解析
【分析】(1)作。?145,作。尸」/C于尸,则△/助与△4CQ的面积比既等于
也等于BZ):CZ),从而得出结论;
(2)作。?[4C,BF1AC,先证明四边形4BCZ)内接于。石,设。月的半径为H,求得
竺?二百,再作PG_L45,2〃_13。,证明//皿=/。5。=45。,得到尸6=尸〃,设。〃=”,
DP
APL
求得券=6,据此即可证明结论成立.
【详解】证明:(1)如图,作DEJ.AB于E,作。尸14C于尸,
?1■AD平分/A4c,
:.DE=DF,
A
S迹;B.DEab
AC
S-ACD-AC-DF
2
...S:JlBD-h=BD,
CD
S^CD-CDh
2
ABBD
14C~CD
(2)作。E1/C,BFJ.AC,垂足分别为E,F,
答案第8页,共12页
DE〃BF,
:./\BPFS&DPE,
,BPBF
??丽一茄’
ZADC=90°,ZDAC=45°,
an4c是等腰直角三角形,
DE=AE=CE=-AC,
2
,ZZABC=ZADC=90°,
,四边形ABCD内接于G)E,
设。E的半径为尺,则DE=A,AC=2R,
?:ABAC=30°,
]_________1pl
BC=-AC=R,AB=NAC2-BC?=也R,BF=-AB=—R,
222
..BPBF
?DP-DE'
叵R厂
ABP__V3,
R~~2
??3=5
DP
作尸PHIBC,垂足分别为G,H,
A
、I/z
c
???△。/c是等腰直角三角形,
???AD=CD,
?*,AD=CD,
/ABD=/CBD=45。,
:.PG=PH,
???ZBAC=30°f
ZPCH=60°,/CPH=30。,
答案第9页,共12页
设CH=a,则CP=2。,PH=4CP1-CH1=?=PG,
/.AP=2PG=2瓶1a,
.AP2也arr
??-------------=75,
CP2a
.AP2BP
"'~CP~~DP'
【点睛】本题考查了圆内接四边形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角
形的判定和性质,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
12.(1)见解析
【分析】(1)过点、BE〃AD交BC于点、E,证明四边形/BED是平行四边形,再证明ABCE
是直角三角形,即可证明结论;
(2)如图,以ZB、P8为边构造等边△/3F和等边△PBG,连接厂G/AMPJM,过点产
作WUCD于点AT,设W交N8于点。,形成手拉手全等小尸/丝3G/,得
PA=GF,PG=PB,所以PA+PB+PM=FG+GP+PM2FM,又因为M为。。上一动点,
所以当PMLCD时,尸/+总+9取得最小值,等于尸"=g+VL
【详解】(1)解:证明:过点、BE〃AD交CD于点、E,
■:DE//AB,AD//BE,
,四边形4BEZ)是平行四边形,
,**AB=2,BC=4,CD=7,AD=3,
DE=AB=2,BE=AD=3,/BEC=ZD,
在△BC5中,BE=3,BC=4,CE=CD—DE=5,
:.BE2+BC2=CE2,
.?.△5CE是直角三角形,
NEBC=90°即/BEC+/C=90°,
/.ZD+ZC=90°;
答案第10页,共12页
(2)解:如图,以P8为边构造等边△/时和等边△PBG,连接FG,FM,AP,PM,过
点尸作W'_LCD于点AT,设W交48于点。,
△4BF和4PBG都是等边三角形,
BF=AB,BG=BP,AABF=ZPBG=60°,
ZABF+NABG=ZPBG+ZABG即NFBG=AABP,
:.ABP4咨ABGF(SAS),
PA=GF,PG=PB,
PA+PB+PM=FG+GP+PM>FM,
又为CD上一动点,
.?.当9,。时,尸N+P8+PM取得最小值,等于尸”的长,
AF=AB=2,AB//CD,
QF1AB,
QF=sin/.FAB,AF=班,
?:NCBE=90°
:.SA/RycU/i=2-BEBC2=-CEh,
/.h7=12,
12
:.QMr=—
in
FM'=QM'+QF=~+43,
[2
PA+PB+PM的最小值为『6.
【点睛】本题考查平行线的性质,平行四边形的判定与性质,勾股定理逆定理,解直角三角
答案第11页,共12页
形,等边三角形的性质,手拉手全等三角形.正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键.
答案第12页,共12页
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