2024年江苏南京某中学特长生选拔考试数学试题(含答案详解)_第1页
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2024年金陵中学特长生选拔考试数学试题【综合部分】

1.若/+x。+x+1=0,则X”=

2.方程中+2y-l=0的整数解共有对

3.若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等,则丫=

4.求夕=2x+2关于y=x对称的函数表达式.

5.如图,正方形N2CD边长为6,若BE=DF=2,则四边形GEC/的面积为

A

B

4

6.如图,y=x与y=—相交于/.8两点,若在〉轴有点C,满足乙4cB=90。,则C点坐

x

标为______

7.如图,三棱锥的每条边均为整数,若CD=2,AB=2,AC=6,BD=4,则8C的长为.

8.若函数y=--2ox+4与x轴相交于(占,0)、(x2,0),且则。的取值范围

是______

9.如图

III

01X

4十112

(1)求证:—+—->--;

xx+2x+1

(2)在数轴上用尺规画出表示工的点.

X

试卷第1页,共2页

10.已知矩形4BCZ)的对角线长为X,设矩形面积为S.

A

B

(1)若x=6,求S的最大值;

⑵若矩形的周长为12,求:

①x的取值范围;

②S关于x的函数表达式.

ABBD

11.(1)若/。为/A4c的角平分线,求证:

ACCD

APIBP

(2)已知,ZABC=ZADC=90°,/胡C=30。,NDAC=45°,求证:

CPDP

(1)⑵

BC=4,CD=7,AD=3.

(1)求证:NC+ZD=90°;

(2)若河是CD上一点,尸为48CO内一点,贝|己4+总+尸”的最小值为

试卷第2页,共2页

1.1

【分析】本题考查高次方程的求解,因式分解的应用,先将/+,+x+l=O分解为

(x+l)(x2+l)=0,求解出x的值,即可解答.

【详解】解:x3+x2+x+1=0,

(丁+)+(%+])=0,

(X+1乂/+i)=o,

%2+1>1

x+1=0,

X=-1,

14=],

故答案为:1.

2.2

【分析】此题考查了方程的解,解题的关键是将原方程正确变形.

首先将初+2y-l=0变形为了=上,然后根据x,y都是整数求解即可.

x+2

[详解】?.?切+2y_l=0

xy+2y=1

1

,歹二

x+2

Vx,y都是整数

工当工=—3时,>=-TJ.=

x+2—3+2

当%=-1时,y=-=1=1;

x+2-1+2

/.方程砂+2y-1=0的整数解共有2对.

故答案为:2.

3.0或5

【分析】本题考查了方差的计算公式,解一元二次方程,熟练掌握公式是解题的关键.

根据方差的计算公式建立方程,解一元二次方程即可.

3+4+5+6+7

【详解】解:3、4、5、6、7的平均数为:-------------------=5,

5

答案第1页,共12页

则方差为:1[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2,

l+2+3+4+x10+x

1、2、3、4、x的平均数为:

55

22

10+xI+(3-10+x10+x1+10+x

,由题意得,]I+(2-lf-X--------二----2--,

55+455

化简得,/一5x=0,

解得x=0或x=5,

故答案为:0或5.

4.y=-x-l

2

【分析】本题考查了一次函数的解析式,关于直线^='对称的点坐标,在>=2x+2上取两

点/(0,2)和8(T0)关于〉=X对称后点的坐标为H(2,0)、9(0,-1),根据两点确定一条直

线,用待定系数法即可解答.

【详解】解:在y=2x+2上取两点“(0,2)和川-1,0),

???直线N=x是一、三象限的角平分线,

/(0,2)和8(-1,0)关于直线>=x对称的点坐标为4(2,0)、夕(0,-1),

设了=2x+2关于y=x对称的函数表达式为了=履+6,

解得:产,

0=2左+b

-\=b

b=-\

.=y=2x+2关于》='对称的函数表达式为y=—l,

故答案为:y=gxT.

152,9

5.##13—

1111

【分析】连接跖,过点尸作FHLZB于点7/,交NE于点K,证明四边形刃为矩形,

HKA.H2

得出尸=2,HF=AD=6,证明△ZZ/FS/X/AE1,得出——二——,求出收二不,

BEAB3

证明ADWBG,得出GFKF_8,求出鼠明=啊="<2x4=善,

-----=-----=----=-11

BGBE23

%EF=gx4x4=8,即可得出答案?

【详解】解:连接EF,过点F作于点H,交/E于点K,如图所示:

答案第2页,共12页

AD

则乙4HF=NBHF=9Q。,

???四边形/5C。为正方形,

AB=BC=CD=AD=6,/ABC=Z.C-ND=NBAD=90°,

■:BE=DF=2,

:.CE=CF=6—2=4,

:.ZAHF=/HAD=ZD=90°,

???四边形4HFD为矩形,

/.AH=DF=2,HF=AD=6,

ZAHF=/ABC,

???HF//BC,

/\AHF^/\ABE,

.HKAH

??密一布’

即“2

即才一V

2

解得:HK=~,

丁HF//BC,

:.AKFGS^EBG,

16

.??GF=KF二=8,

BG~BE~2-3

?GF8_8

**5F-8+3-11,

._8_864

vX

??TEFG=~S^BEF=]j"2x4=r,

x

*.*SCFF=_4x4=8,

答案第3页,共12页

=

,"S四边形CEGFSAEFG+S.CEF=JY+8=]]?

故答案为:曹152.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质,矩形的判定和性质,三角形相似的判定和性质,解

题的关键是作出辅助线,熟练掌握三角形相似的判定和性质.

6.(2在0)或卜2衣0)

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,勾股定理,已两点求距离,熟练掌

握知识点是解题的关键.

先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点/(2,2),8(-2,-2),设C("?,0),借助于两点

间距离公式和勾股定理建立方程求解即可.

y-x

【详解】解:由题意得4,

了=一

Ix

解得:x=2或x=-2,

2),5(-2,-2),

设C(机,0),贝ij/C?=(2-加)2+4,802=(加+2/+4,432=42+42,

ZACB=90°,

:.CA2+BC2=AB2,

(2—加丫+4+(加+2)2+4=32,

解得:"I=2^/2或"J=—2y[2,

C(2后,0)或C^2立0),

故答案为:(2血,0)或卜2近,0).

7.5

【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系,掌握构成三角形的条件是解题的关键.分

别在V/BC和△3C。中根据“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”

列不等式组并求解即可.

【详解】解::在V/8c中,AB=2,AC=6,

:.AC-AB<BC<AC+AB,即6-2<BC<6+2

:.4<BC<S;

答案第4页,共12页

:在△BCD中,CD=2,BD=4,

:.BD-CD<BC<BD+CD,即4-2<BC<4+2

:.2<BC<6;

:.4<BC<6

...三棱锥的每条边均为整数,

,BC=5.

故答案为:5.

8.—<。<—22<a<一

22

【分析】本题考查二次函数图形的性质及二次函数与不等式,根据>=/-26+4与x轴交

点的分布,利用数形结合的思想建立不等式组求解即可.

【详解】解:y=x2-lax+4=(x-a)-+4-a2,

???函数y=/_2“x+4与x轴相交于(再,0)、(x2,0),即/-2〃x+4=0有两个根匹,马,且

一4<项<x2<4,

4-a2<0

-4<a<4

(-4)--2X(-4)G+4>0

42-2x4a+4>0

解得:一』<a<-2或2<“<*,

22

故答案为:-1?<a<-2或2<a<j.

22

9.(1)见解析

(2)图见解析

【分析】(1)利用作差法和分式的加减混合运算法则求解即可;

(2)以OC为直径画圆,以。为圆心,1为半径画圆,两圆交于点A,过点A作48,数轴,

则点8表示的数即为工

【详解】(1)证明:由题意得,

112

—+----------

xx+2x+1

答案第5页,共12页

(x+l)(x+2)x(x+1)2x6+2)

x(x+l)(x+2)x(x+l)(r+2)、6+1)卜+2)

+2x+x+2++x—2x?—4x

x(x+l)(x+2)

2

x(x+l)(x+2),

由数轴可得,x>l>0,

x+1>0,x+2>0,

------------------>0

??x(x+l)(x+2)

.「+」一--L>。,

xx+2x+\

.112

??一+---->----;

xx+2x+1

(2)解:以OC为直径画圆,以。为圆心,1为半径画圆,两圆交于点A,过点A作45_1数

OC为直径,

???ZOAC=90°f

???NABO=ZOAC,

ZAOB=ZAOC,

???△AOCS&BOA,

.AO_OCJ__x

??一,即:—一

BOOABO1

即点8表示的数即为

X

答案第6页,共12页

【点睛】本题考查实数与数轴,异分母分式的加减运算,圆周角定理,相似三角形的判定和

性质,尺规作图一作垂线,作圆,熟练掌握相关知识点,并灵活运用,是解题的关键.

10.(1)18

⑵①3&Vx<6;②S=

【分析】本题考查了二次函数与几何的实际应用,矩形的性质,勾股定理.

(1)设BC=m,根据3c-+CD?=3。」得至8=,36—加2,矩形的面积$=机扃二kok电子竞技,

52=m2(36-m2)=-m4+36m2=-(m2-18)2+324,即可解答;

(2)①设矩形的一边长为°,则另一边长为6-°,列出x与。的关系式,利用二次函数的

性质即可解答;②根据S=a(6-?)结合①中x与a的关系式即可解答.

【详解】(1)解:设BC=m,

???BC1CD,

NBCD=90°,

BC2+CD2=BD2,

CD=」36-,

S=m\36-m2,

S2=7M2(36-m2)=-m4+36m2=-(/M2-18)2+324,

(m2-18)->0,

S2<324,

当(苏-18『最小时,即为0时,$2有最大值324,

.:S的最大值为18;

(2)解:①设矩形的一边长为a,则另一边长为6-a,

Vx2=a2+(6-a)2=2(a-3)2+18,

0<a<6,

???18<X2<36,

,/x>0,

答案第7页,共12页

/.3后<x<6;

(2)S=Q(6—Q)=—/+6a,

由=Q?+(6-a)—2Q2—12(2+36—-2(-/+6a)+36,

,2z-——36口口%2—36

?--a2+6。=-------,BP5=--------.

22

11.(l)见解析;(2)见解析

【分析】(1)作。?145,作。尸」/C于尸,则△/助与△4CQ的面积比既等于

也等于BZ):CZ),从而得出结论;

(2)作。?[4C,BF1AC,先证明四边形4BCZ)内接于。石,设。月的半径为H,求得

竺?二百,再作PG_L45,2〃_13。,证明//皿=/。5。=45。,得到尸6=尸〃,设。〃=”,

DP

APL

求得券=6,据此即可证明结论成立.

【详解】证明:(1)如图,作DEJ.AB于E,作。尸14C于尸,

?1■AD平分/A4c,

:.DE=DF,

A

S迹;B.DEab

AC

S-ACD-AC-DF

2

...S:JlBD-h=BD,

CD

S^CD-CDh

2

ABBD

14C~CD

(2)作。E1/C,BFJ.AC,垂足分别为E,F,

答案第8页,共12页

DE〃BF,

:./\BPFS&DPE,

,BPBF

??丽一茄’

ZADC=90°,ZDAC=45°,

an4c是等腰直角三角形,

DE=AE=CE=-AC,

2

,ZZABC=ZADC=90°,

,四边形ABCD内接于G)E,

设。E的半径为尺,则DE=A,AC=2R,

?:ABAC=30°,

]_________1pl

BC=-AC=R,AB=NAC2-BC?=也R,BF=-AB=—R,

222

..BPBF

?DP-DE'

叵R厂

ABP__V3,

R~~2

??3=5

DP

作尸PHIBC,垂足分别为G,H,

A

、I/z

c

???△。/c是等腰直角三角形,

???AD=CD,

?*,AD=CD,

/ABD=/CBD=45。,

:.PG=PH,

???ZBAC=30°f

ZPCH=60°,/CPH=30。,

答案第9页,共12页

设CH=a,则CP=2。,PH=4CP1-CH1=?=PG,

/.AP=2PG=2瓶1a,

.AP2也arr

??-------------=75,

CP2a

.AP2BP

"'~CP~~DP'

【点睛】本题考查了圆内接四边形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角

形的判定和性质,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

12.(1)见解析

【分析】(1)过点、BE〃AD交BC于点、E,证明四边形/BED是平行四边形,再证明ABCE

是直角三角形,即可证明结论;

(2)如图,以ZB、P8为边构造等边△/3F和等边△PBG,连接厂G/AMPJM,过点产

作WUCD于点AT,设W交N8于点。,形成手拉手全等小尸/丝3G/,得

PA=GF,PG=PB,所以PA+PB+PM=FG+GP+PM2FM,又因为M为。。上一动点,

所以当PMLCD时,尸/+总+9取得最小值,等于尸"=g+VL

【详解】(1)解:证明:过点、BE〃AD交CD于点、E,

■:DE//AB,AD//BE,

,四边形4BEZ)是平行四边形,

,**AB=2,BC=4,CD=7,AD=3,

DE=AB=2,BE=AD=3,/BEC=ZD,

在△BC5中,BE=3,BC=4,CE=CD—DE=5,

:.BE2+BC2=CE2,

.?.△5CE是直角三角形,

NEBC=90°即/BEC+/C=90°,

/.ZD+ZC=90°;

答案第10页,共12页

(2)解:如图,以P8为边构造等边△/时和等边△PBG,连接FG,FM,AP,PM,过

点尸作W'_LCD于点AT,设W交48于点。,

△4BF和4PBG都是等边三角形,

BF=AB,BG=BP,AABF=ZPBG=60°,

ZABF+NABG=ZPBG+ZABG即NFBG=AABP,

:.ABP4咨ABGF(SAS),

PA=GF,PG=PB,

PA+PB+PM=FG+GP+PM>FM,

又为CD上一动点,

.?.当9,。时,尸N+P8+PM取得最小值,等于尸”的长,

AF=AB=2,AB//CD,

QF1AB,

QF=sin/.FAB,AF=班,

?:NCBE=90°

:.SA/RycU/i=2-BEBC2=-CEh,

/.h7=12,

12

:.QMr=—

in

FM'=QM'+QF=~+43,

[2

PA+PB+PM的最小值为『6.

【点睛】本题考查平行线的性质,平行四边形的判定与性质,勾股定理逆定理,解直角三角

答案第11页,共12页

形,等边三角形的性质,手拉手全等三角形.正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键.

答案第12页,共12页

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