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【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题2几何综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．2．（2022·北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转90°得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”．例如，图1中点为点关于点的“垂直图形”．(1)点关于原点的“垂直图形”为点．①若点的坐标为，则点的坐标为______；②若点的坐标为，则点的坐标为______；(2)，，．线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为F′．①求点的坐标（用含的式子表示）；②若⊙的半径为2，上任意一点都在⊙内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．3．（2022·北京·二模）如图，在等边中，点是边的中点，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．(1)如图1，当点与点重合时．①依题意补全图形；②判断与的位置关系；(2)如图2，取的中点，写出直线与夹角的度数以及与的数量关系，并证明．4．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．5．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．(1)如图，点P（-1，0）．①已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是；②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线y=x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知，点是射线上一动点，以为边作，，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点在射线上，．(1)如图1，若，求的长（用含的式子表示）；(2)如图2，点在线段上，连接、．添加一个条件：、、满足的等量关系为______，使得成立，补全图形并证明．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段AB的“关联线段”．已知点，．(1)线段为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，b的值为______；(2)线段为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；(3)点，，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．8．（2022·北京大兴·二模）已知：如图，，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转交线段CD于点H．(1)若，求证：；(2)请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD之间的数量关系（用含的式子表示）．9．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的广度．如下图，∠AOB的度数为点O对线段AB的广度．(1)已知点，在点，，中，对线段ON的广度为60°的点是______；(2)已知：点，，，，．①直接写出点E对四边形ABCD的广度为______°；②已知直线上存在点F，使得点F对四边形ABCD的广度为45°，求b的取值范围．10．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示绕点A逆时针旋转得到（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为，求线段与CD的数量关系；(2)当时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．11．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．12．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．13．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，连接EF、FG、EG(1)求证：为直角三角形(2)连接ED，当，时，求ED的长．14．（2022·北京昌平·模拟预测）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置(1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形．(2)如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2，①求∠BAD的度数；②求DF的长．15．（2022·北京十一学校一分校一模）在中，，，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．16．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F．(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．17．（2022·北京北京·二模）在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G．(1)如图1，当时，比较与的大。挥玫仁奖硎鞠叨斡氲氖抗叵，并证明；(2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系．18．（2022·北京顺义·二模）如图，在中，，，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．19．（2022·北京昌平·二模）如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．(1)①依题意补全图形；②求度数；（用含的式子表示）(2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明．20．（2022·北京海淀·二模）已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE+DE=AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．21．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q．(1)求证：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．22．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．23．（2022·北京·二模）在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．24．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．在平面直角坐标系中，(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．25．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系(1)如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．①线段的最小值为__________，最大值为__________；线段的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．26．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．(1)已知．①在点中，线段的“等幂点”是____________；②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．27．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；(2)点M的坐标为，①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．28．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为，圆心E在直线l：上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．29．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．30．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题2几何综合压轴大题模拟预测题强化训练（尖子生难题突破）一、解答题1．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．【答案】(1)135，(2)①作图见解析，45°；②【解析】【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；②过点B作垂足为H，由等腰三角形的性质得到，再证明即可得到，再推出为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．(1)过点E作于点K四边形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，，四边形ABCE的面积为故答案为：135，(2)①作图如下四边形ABCD是正方形由旋转可得，②，理由如下：如图，过点B作垂足为H，∠EBC的平分线BF交EC于点G为等腰直角三角形即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．2．（2022·北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转90°得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”．例如，图1中点为点关于点的“垂直图形”．(1)点关于原点的“垂直图形”为点．①若点的坐标为，则点的坐标为______；②若点的坐标为，则点的坐标为______；(2)，，．线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为F′．①求点的坐标（用含的式子表示）；②若⊙的半径为2，上任意一点都在⊙内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．【答案】(1)①（3，0）；②（，3）(2)①（3+a，3+a）；②【解析】【分析】（1）①②根据“垂直图形”的定义解决问题即可．（2）①构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解即可．②如图3中，观察图象可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．求出点E′的坐标即可解决问题．(1)解：①观察图像可知：点的坐标为（3，0）；②观察图像可知：点A的坐标为（，3）；故答案为：①（3，0）；②（，3）；(2)解：①如图2中，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．∵∠EPG=∠EGE′=∠GHE′=90°，∴∠E+∠PGE=90°，∠PGE+∠E′GH=90°，∴∠E=∠E′GH，∵EG=GE′，∴△EPG≌△GHE′（AAS），∴EP=GH=3，PG=E′H=a+3，∴OH=3+a，∴E′（3+a，3+a）．②如图，观察图象可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．∵E′（3+m，3+m），OE′=2，∴3+m=，∴m=，∴E′（，），∴EE′=．【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（2022·北京·二模）如图，在等边中，点是边的中点，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．(1)如图1，当点与点重合时．①依题意补全图形；②判断与的位置关系；(2)如图2，取的中点，写出直线与夹角的度数以及与的数量关系，并证明．【答案】(1)①补全图形见解析；②(2)直线与夹角的度数为，，证明见解析【解析】【分析】（1）①依照题意画出图形即可；②由旋转的性质可得，，可证△≌△AEC，可得，即可得结论；（2）通过证明△∽△CAE，可得，，即可求解．(1)解：①如图1所示：②，理由如下：∵将线段绕点逆时针旋转，∴，，∴△是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，点是的中点，∴，，，∴，∴，∴△≌△AEC，∴，又∵，∴垂直平分，∴；(2)直线与夹角的度数为，，理由如下：如图2，当点在线段上时，连接，，延长交于，∵将线段绕点逆时针旋转，∴，，∴△AGE是等边三角形，又∵点是的中点，∴，，∴，∵△是等边三角形，点是的中点，∴，，∴，，∴，，∴△∽△CAE，

∴，，∴，∴，∴直线与夹角的度数为，，当点在的延长线上时，如图3，连接，，同理可求直线与夹角的度数为，，当点在的延长线上时，如图4，连接，，延长交于，同理可求直线与夹角的度数为，．综上所述：直线与夹角的度数为，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明三角形相似．4．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，，理由见解析【解析】【分析】（1）由旋转可得，是等边三角形，，则，所以．（2）延长至点，使得，连接，，，，可证是等边三角形且点是的中点，则有，．(1)解：由题意可得，，且，是等边三角形，，，又，，．(2)解：猜想，，，理由如下：如图2，延长至点，使得，连接，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，．【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形，等边三角形的性质与判定，平行四边形，解题的关键是构造合适辅助线．5．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．(1)如图，点P（-1，0）．①已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是；②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线y=x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．【答案】(1)①，；②b的取值范围是(2)【解析】【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可；（2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最。鱉N关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可．(1)解：①线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界），其中，P（-1，0），（0，1），故图形W1及W3，符合题意，故答案为：，．②记点P，O关于直线的对称点分别为，，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后，⊥x轴．如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界情况是：当点P对称后得到在上，即（1，）时，中点为（，0），此时；当点O对称后恰好为（2，2）时，中点为（1，1），此时.依题意，b的取值范围是．(2)解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最。蒕点坐标知，Q点在直线上运动，作线段MN关于直线的对称图形，则r≥，取MN中点E，中点为G，连接EG交直线于F，连接，如图所示，∵MN=2，∴OE=1，设直线交坐标轴于P、S，则PS=8，∴OF=4，由对称知，EF=GF=5，，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解题．解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知，点是射线上一动点，以为边作，，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点在射线上，．(1)如图1，若，求的长（用含的式子表示）；(2)如图2，点在线段上，连接、．添加一个条件：、、满足的等量关系为______，使得成立，补全图形并证明．【答案】(1)；(2)，补全图形及证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接，过点作于点，由等腰三角形的三线合一的性质可得到，，再根据条件可得到，然后在中，利用三角函数可求得，最后可得到的长；（2）添加条件为．如图，延长到点，使，连接，过点分别作于点、于点，可证明四边形是矩形，由矩形的性质得到，然后在在中，利用三角函数求得，接着利用证明可得到，从而推导出，再根据等腰三角形三线合一性质得到，从而得到结论．(1)解：如图，连接，过点作于点，∵，，∴，，∵，∴，∴在中，，∴．．(2)点在线段上，连接、．添加一个条件：、、满足的等量关系为，使得成立，补全图形如下，证明如下：延长到点，使，连接，过点分别作于点、于点，∴，∵在中，，，∴，∴，，∴四边形是矩形，，∴，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，涉及旋转的性质、解直角三角形、全等三角形性质与判定、矩形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和矩形．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段AB的“关联线段”．已知点，．(1)线段为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，b的值为______；(2)线段为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；(3)点，，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．【答案】(1)2；-1(2)15°(3)【解析】【分析】（1）由对称性质AB、A′B′关于直线l对称，所以A′B′=AB=2，由题意，得y=x+b，把AA′的中点(，)代入y=x+b，求出b即可；（2）作C关于l的对称点C′，连接OC′，OA，OC′，因为AB的对称点在l1上，所以点C的对称点C′在直线AB上，则可求出点C′的坐标为（1，），继而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，然后利用对称的性质得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；（3）当B′与点Q重合时，求出b=2，再当A′与点P重合时，求出b=，再由线段与线段PQ有公共点，即可得出b的取值范围．(1)解：∵A（1，1），B（1，-1），∴AB=2，∵AB、A′B′关于直线l对称，∴A′B′=AB=2,由题意，得k=1，∴y=x+b，∵A、A′关于直线l对称，∴直线l经过AA′的中点，∵A（1，1），A′（2，0），∴AA′的中点为(,)，即(，)，把(，)代入y=x+b，得=+b，解得：b=-1，故答案为：2,-1；(2)解：如图，作C关于l的对称点C′，连接OC′，OA，OC′，由题意，得直线l解析式为：y=kx，设C关于l的对称点为C′，∴OC′=OC=2，∵AB关于l对称点A′B′在l1上，又l1经过点C，∴点C′在直线AB上，∵A（1，1），B（1，-1），∴直线AB即是直线x=1，∴C′横坐标为1，∴C′纵坐标为,∴C′（1，），∴tan∠C′OK==，∴∠C′OK=60°，∵A（1，1），∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；(3)解：当B′与点Q重合时，如图，则B′（-3，3），设BB′中点为K，则直线l经过点K，∵B（1，-1），B′（-3，3），∴K（-1，1），直线BB′解析式为：y=-x，∵BB′⊥l，∴直线l解析式为y=x+b，把K（-1，1）代入，得b=2，当A′与点P重合时，如图，则A′（-3，0），设AA′中点为K，则直线l经过点K，∵A（1，1），A′（-3，0），∴K（-1，），直线AA′解析式为：y=x+，∵AA′⊥l，∴直线l解析式为y=-4x+b，把K（-1，）代入，得b=，∵线段与线段PQ有公共点，∴，【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键．8．（2022·北京大兴·二模）已知：如图，，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转交线段CD于点H．(1)若，求证：；(2)请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD之间的数量关系（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）证明，则，证明是等边三角形，则，由此可证；（2）过点作于，由等腰三角形三线合一可知，，在中，利用三角函数用表示，从而表示出，结合即可得，，之间的数量关系．(1)证明：，，即．，，，即．在与中，，．，，又，是等边三角形，，又，．(2)解：，理由如下：过点作于，，，．，．又，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，解决本题的关键是利用三角函数建立线段之间的数量关系．9．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的广度．如下图，∠AOB的度数为点O对线段AB的广度．(1)已知点，在点，，中，对线段ON的广度为60°的点是______；(2)已知：点，，，，．①直接写出点E对四边形ABCD的广度为______°；②已知直线上存在点F，使得点F对四边形ABCD的广度为45°，求b的取值范围．【答案】(1)，(2)①90；②【解析】【分析】(1)画出图形，作M2G⊥x轴，计算∠OM1N、∠OM2N、∠OM3N的正切值并判断角的大。傻贸鼋崧郏(2)①由A(?2,2)，B(?2,?2)，C(2,?2)，D(2,2)，可得四边形ABCD为正方形，连结EA、ED，可得∠AED为90°，据此即可解答；②由题意可知，直线y=x经过点B、D，以点D为圆心，DA长为半径作圆D，则点C在圆D上，作经过点B、D的直线l：y=x，平移直线l到l1、l2的位置，l1经过点A、l2经过点C，与圆D分别交于点F1、F2，则在上任意一点F对四边形ABCD的广度为45°，再把点A、C的坐标分别代入解析式，即可求得b的取值范围．(1)解：如图：连接M1N，M2O，M2N，M3O，M3N，作轴于点G，则G(1,0)，OG=ON=1点对线段ON的广度为60°点对线段ON的广度为60°点对线段ON的广度不为60°故答案为：，(2)解：①∵A(?2,2)，B(?2,?2)，C(2,?2)，D(2,2)∴四边形ABCD是正方形，且各边与坐标轴垂直(或平行)如图，设AD交y轴于点I，则∠AIE=∠DIE=90°∵E(0,4)，∴AI=EI=DI=2∴∠IEA=∠IED=45°∴∠AED=90°∴点E对四边形ABCD的广度为90°故答案为：90②如图：以点D为圆心，DA长为半径作圆D，则点C在圆D上作经过点B、D的直线l：y=x，平移直线l到l1、l2的位置，l1经过点A、l2经过点C，与圆D分别交于点F1、F2，上任意一点F对四边形ABCD的广度为45°当直线经过点A(-2,2)时，2=-2+b，解得b=4当直线经过点C(2,-2)时，-2=2+b，解得b=-4故b的取值范围为【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，圆周角定理，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解题中所给的定义内容，并且正确地作出所需要的辅助线．10．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示绕点A逆时针旋转得到（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为，求线段与CD的数量关系；(2)当时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．【答案】(1)(2)补全图形见解析，【解析】【分析】(1)连接，根据旋转的性质及点B关于直线AC的对称点为，可证得，据此即可求得；(2)连接BD，设AB与DF交于点G，由旋转的性质可知：，，可求得，可证得，可得，可证得，据此即可求得．(1)解：如图：连接绕点A逆时针旋转得到，又点B关于直线AC的对称点为垂直平分，，，即在与中(2)解：如图：连接BD，设AB与DF交于点G由旋转的性质可知：，，又，又又，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，相似三角形的判定与性质，轴对称图形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．11．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【答案】(1)作图见解析；(2)AB=DF，理由见解析；(3)∠CDG=40°或120°．【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC=DF=AB；（3）由题意可得点G是以点D为圆心，DC为半径的圆上与以点F为圆心，FB为半径的圆的交点，同时在两个圆上，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF=∠FDG=140°，即可求解，(1)解：如图1所示：(2)解：解：AB=DF，理由如下：E是AD的中点，.AE=DE，C关于点E的对称点为F，CE=EF，又∠AEC=∠FED，(SAS)，AC=DF，AB=AC，AB=DF(3)如图2，连接AE=DE，CE=EF，四边形ACDF是平行四边形，，AF=CD，DF=AC=AB，∠ACM+∠CAF=180°，∠CAF=180°-80°=100°=∠CDF，∠BAF=.140°，.DG1=DC，点G1在以点D为圆心，DC为半径的圆上，FG1=FB，点G1在以点F为圆心，FB为半径的圆上，AB=DF，AF=DG1，FB=FG1，，∠BAF=∠FDG1=140°，∠CDG1=40°，同理可证△ABF≌ODFG2，∠BAF=∠G2DF=140°，∠CDG2=360°-100°-140°=120°，综上所述：∠CDG=40°或120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．12．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．【答案】(1)AD＝2CE，AD⊥CE(2)AD＝2CE，AD⊥CE，见解析(3)4【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BDE∽△BAC，求得∠BDE＝∠A，得到DE∥AC，求得＝2，于是得到结论；（2）根据旋转的性质得到∠CBE＝∠ABD，求得△BCE∽△BAD，得到，∠BEC＝∠BDA，延长CE交AD于H，于是得到结论；（3）过D作DG⊥AB于G，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．(1)∵AB＝2BC，BD＝2BE，∴＝＝2，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴∴＝＝2，即AD=2CE，∵∠B＝90°，∴AD⊥CE，故答案为：AD＝2CE，AD⊥CE；(2)AD＝2DE，AD⊥CE，理由：∵把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，∴∠CBE＝∠ABD，∵AB＝2BC，BD＝2BE．∴＝＝2，∴△BCE∽△BAD，∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，∴AD＝2CE，延长CE交AD于H，∴∠CEB+∠BEH＝180°，∴∠BEH+∠BDA＝180°，∴∠DHE+∠DBE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴CE⊥AD；(3)如图③，过D作DG⊥AB于G，由（2）知，△BCE∽△BAD，∴，∠CBE＝∠ABD，∵BC＝，BE＝1，∴AB＝，BD＝2，∴AC＝＝5，∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DGB，∴＝＝，∴＝＝，∴BG＝，DG＝，∴AG＝，∴AD＝＝＝4．【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．13．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，连接EF、FG、EG(1)求证：为直角三角形(2)连接ED，当，时，求ED的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，根据三角形中位线的性质可得EG∥AC，EF∥BD，可得EG⊥EF，继而得证△EGF为直角三角形；（2）根据已知条件可证EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC，然后可证∠ADB=∠EFG，根据在Rt△AOD中，，可求得，，易证四边形EBGO是菱形，可求得，继而求得，然后在在Rt△EHD中，由勾股定理即可求得ED的长度．(1)解：如图，分别连接AC、BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点，∴EG∥AC，EF∥BD，∵AC⊥BD，∴EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∴△EGF为直角三角形；(2)解：如图，设EG与BD的交点为H，AC与BD的交点为O，则点O也在EF上，连接ED和EO，由题意可得：点E、F、G、O分别是AB、AD、BC、BD的中点∴EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC且，∴∠EFG=∠BOG，∠BOG=∠BDC，又∵∠BDC=∠ADB，∴∠ADB=∠EFG，∵AC⊥BD，∴∠AOD=90°，在Rt△AOD中，，∵，∴设，，由勾股定理得：,即：，解得：，∴，，∴，易证四边形EBGO是菱形，∴∴，在Rt△EHD中，由勾股定理得：，即：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质定理和判定定理、三角形的中位线、直角三角形的判断以及解直角三角形．熟练掌握并能灵活运用相关定理是解题关键．14．（2022·北京昌平·模拟预测）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置(1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形．(2)如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2，①求∠BAD的度数；②求DF的长．【答案】(1)见解析(2)①45°；②6﹣4【解析】(1)如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，则∠AED＝∠CQD＝90°，∵矩形纸片宽度均为4，∴DE＝DQ，又∵∠CDE＝∠ADQ＝90°，∴∠ADE＝∠CDQ，在△ADE和△CDQ中，，∴△ADE≌△CDQ（ASA），∴AD＝CD，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；(2)①如图1，∵S四边形ABCD＝16，∴AB×DE＝16，即AB×4＝16，∴AB＝4＝AD，∴，∴∠BAD＝45°；②如图2，∵菱形ABCD中，AB＝BC＝4，而PB＝2，∴CP＝4﹣2，又∵PF⊥AD，AD∥BC，∴PF⊥BC，又∵∠PCG＝∠BAD＝45°，∴PG＝4﹣2，∴FG＝PF﹣PG＝4﹣（4﹣2）＝6﹣4，又∵∠CDF＝45°＝∠DGF，∴DF＝FG＝6﹣4．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．15．（2022·北京十一学校一分校一模）在中，，，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析(2)位置关系：，数量关系：，证明见解析【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，证明，可得，，进而证明是直角三角形，从而得到，根据，即可证明；（2）如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，设，则，证明，可得，，，即可证明，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得，即可得．(1)①如图，②，证明如下，如图，连接，依题意，，，，，，，，，，，，是直角三角形，，，(2)位置关系：，数量关系：，理由如下，如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，，，，是的垂直平分线，，，，，，，设，则，是直角三角形，，，，，，是的中点，是的中点，，由（1）可知，，点是的中点，点是的中点，，，，，在和中，，，，，，即，，，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明是解题的关键．16．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F．(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，见解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明，，再证明，从而可得结论；（2）①根据语句依次画图即可；②如图，连接HB，HD，HE，证明，，，再证明，可得．结合，可得．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴．∵，垂足为点F，∴．∴．∴，∴，即．(2)①补全图形如图所示．②，证明：如图，连接HB，HD，HE，∵F为DE的中点，且，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴．∵，，∴．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．由（1）知，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键．17．（2022·北京北京·二模）在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G．(1)如图1，当时，比较与的大。挥玫仁奖硎鞠叨斡氲氖抗叵，并证明；(2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系．【答案】(1)，；证明见解析(2)图见解析，【解析】【分析】（1）在线段上取点P，使得，连接，由四边形内角和360°及，，得到，再证明，得到．（2）依据题意补全图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，按照（1）中的方法证明，再运用勾股定理及中位线性质得到，．(1)解：，，理由如下：证明：如图，在线段上取点P，使得，连接．∵D是中点，，∴．∴．∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，∴，．在四边形中，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，，∴，∵，∴，∴．∴．∴．∵，∴，∴．(2)解：补全图形，如图．，理由如下：证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，∴，．又∵，，∴，∴．在四边形中，，，∴．∵，∴．∵D是中点，，∴，∴，∴．在与中，∵，∴，∴，∵，∴，即．∵，∴．∵D是中点，，∴，∵，，∴，即．【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键．18．（2022·北京顺义·二模）如图，在中，，，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．【答案】(1)画图见解析,的值为(2)①画图见解析；②用等式表示线段与之间的数量关系，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得的值；（2）①根据题意补全图形，延长至点,使,连接、交于点，证明四边形是平行四边形，，进而可得,即有垂直平分，根据，即可求解．(1)当四边形是平行四边形时,画出图形,如图在中,四边形是平行四边形，即的值为45(2)①当时,为线段的中点,在图2中依题意补全图形如下:②用等式表示线段与之间的数量关系,证明如下:延长至点,使,连接、交于点,如图，为线段的中点，四边形是平行四边形，，，而，，，，，在和中，，，，，,即有垂直平分，，而，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．19．（2022·北京昌平·二模）如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．(1)①依题意补全图形；②求度数；（用含的式子表示）(2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明．【答案】(1)见解析，；(2)，证明见解析．【解析】【分析】（1）①在ON上。荽瓜，角平分线的画法作图即可；②求出，再证明即可；（2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到．(1)解：①作图如下：②∵，是的平分线，∴，∵点A、关于对称，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，(2)解：当时，对任意的点A总有，理由如下：∵A、B关于OP对称，且OP平分，∴OP垂直平分AB，即，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，由（1）可知：，即，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵AQ平分，为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，即．【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质．20．（2022·北京海淀·二模）已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE+DE=AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．【答案】(1)①见解析；②补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为．证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）①根据ASA证明△ABD≌△BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．

②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得，由此得到．

（2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答(1)①证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．

∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴．

②补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为．

证明如下：∵AF∥BC，∴∠BAF+∠ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠BAF=90°．∴∠BAD+∠DAF=90°．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD=90°．∴∠ABD=∠DAF．∵DF⊥AE于H，∴∠DHE=90°．∴∠HDE+∠HED=90°．∵∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°，∴∠HED=∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BE，∴△ADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，，∴．(2)当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，∴==∴当x=时，AB2有最小值，即AB=．故当DE取最大值3时，AB为【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．21．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q．(1)求证：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）过P点作垂足分别为E、F，由正方形性质和同角余角相等，易证得：，即可得证（2）延长FP，交AB于G，则，由等腰直角三角形和勾股定理以及等量代换即可求得．（3）根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得．(1)证明：过P点作垂足分别为E、F，∵正方形ABCD，，，，则四边形PEDF为正方形，，，，在和中，，；，(2)延长FP，交AB于G，∵正方形ABCD，，，为等腰直角三角形，，正方形ABCD，∴四边形BGFC为矩形，四边形GAEP为矩形，，为等腰直角三角形，，由（1）得，是等腰直角三角形，，在直角三角形AGP中，，．，；(3)当P在B点时，Q应该在C点，所以M应与O点重合，所以当P移动使得BP=4时，OM即为AQ中点移动的距离，由（2）可得：CF=BG=，∵正方形ABCD，，O是AC中点，，，在等腰三角形PCQ中，，，∵O是AC中点，M是AQ中点，．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理以及勾股定理，并且考查了等量代换和动点问题，综合掌握以上性质和判定，并能熟练运用是解题关键．22．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．【答案】(1)，(2)成立，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可．(1)解：，．理由如下：由题意知三点重合∴，∵∴，∵∴∴为线段的中点∵是中点∴是的中位线∴，∴∴．(2)解：，的关系仍成立．证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度．23．（2022·北京·二模）在中，，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．【答案】(1)①DE=BE

②CP=BF(2)BF-BP=2DEtanα【解析】【分析】(1)①利用60°的角的正切值计算即可；②利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可；(2)利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明△CDP≌△BDF即可．(1)①DE与BE之间的数量关系是DE=BE．理由如下：如图，∵，，，∴∠B=60°，∴tan60°=，∴DE与BE之间的数量关系是DE=BE，故答案为：DE=BE．②CP、BF之间的数量关系是CP=BF．理由如下：∵，，CD是AB边的中线，，∴CD=AD=DB，∠B=60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB=60°，根据旋转的性质，得∠PDF=60°，DP=DF，∵∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF．(2)DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtanα．理由如下：∵，，CD是AB边的中线，，∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，根据旋转的性质，得∠PDF=2α，DP=DF，∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，故∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，∵CD=BD，DP=DF，∴△CDP≌△BDF，∴CP=BF，∴BF=BC+BP，∵CD=DB，，，∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，∴∠EDB=α，∴tanα=，即BE=DEtanα，∴BC=2BE=2DEtanα，∴BF-BP=2DEtanα．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键．24．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．在平面直角坐标系中，(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)①，；②或．【解析】【分析】（1）由题知，与关于直线对称，由此求出的坐标；（2）①由题可知，点与点的纵坐标相同，又点在直线上，由此可求出的坐标，从而确定直线的位置，计算的值；②分析题意，可知“点”是直线与直线的交点，分析在什么位置时，“形”与恰有个交点，求出此时的取值范围即可．(1)解：由题可知，点与点关于直线对称，且，．故答案是：（3，3）；(2)解：①由轴可知，点与点的纵坐标相同，又，将代入，得，解得，．设点关于直线的“点”为，则点与点关于直线对称，，点在直线上，．②由题可知，“点”是直线与直线的交点，点在直线上，设，则直线与直线关于直线对称，如图．与关于直线对称，设的表达式为，当直线与相切时，设切点为，则圆心的切点的距离为，整理得，此时直线与相切，关于的方程有唯一解，令，解得，当直线与相切时，直线的表达式为或．联立，解得，；联立，解得，．点到圆心的距离等于半径，且点在直线上，点是与直线的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即．“形”与有且仅有两个交点，

分析图象可知，当且仅当或时符合题意．或．【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．25．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系(1)如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．①线段的最小值为__________，最大值为__________；线段的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．【答案】(1)①，，；②O(2)(3)【解析】【分析】（1）先根据、、，得到OC=，OD=1，OE=1，DE=2，再在Rt△COE中，利用勾股定理求出，解该直角三角形即可求出∠OCE=30°，∠OEC=60°，利用垂线段最短和已经求出的角度即可求出OP、DP的最大值和最小值；根据上述的值结合限距关系的定义即可判断；（2）根据，再结合（1）中的结果有可求得∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，设F点坐标为(a,0)，分线段FG在⊙O内部、线段FG与⊙O有交点和线段FG在⊙O外部三种情况讨论，利用线段到圆上的最长距离不小于线段到圆上的最短距离的2倍来分别构建不等式即可求解；（3）如图，在不影响结论的情况下，设⊙K、⊙H的圆心在x轴上，且关于y轴对称，根据⊙K、⊙H满足限距关系，构建不等式即可求解．(1)如图，连接OP、DP，∵、、，∴OC=，OD=1，OE=1，∴DE=OE+OD=2，∴在Rt△COE中，，∴，，∴∠OCE=30°，∠OEC=60°，①当OP⊥EC时，OP最。赗t△OPE中，，即OP=，

当P点与C点重合时，OP最大，且OP=OC=，同理可求出的DP的最小值为，最大值为2，即DP的取值范围为，②∵OP的最小值刚好等于最大值的一半，而DP的最小值大于其最大值的一半，∴根据限距关系的定义可知，线段EC上存在两点M、N，满足OM=2ON，故点O与线段EC满足限距关系，故答案为：①，，；②O；(2)∵，∴结合（1）中的结果有∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，设F点的坐标为(a,0)，根据题意有a＞0，则有OF=a，分三种情况讨论：第一种情况FG在⊙O内部，即时，如图，∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，则⊙O到线段FG的最小值为：1-a，最大值为1+a，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴，解得，此时a的取值范围为：，第二种情况，FG与⊙O有交点，如图，根据限距关系的定义可知：此时线段FG与⊙O必满足限距关系，随着FG向右平移的过程中，当F点与表示1的点重合时，FG开始与⊙O有交点，此时OF与⊙O的半径相等，即OF=1，则a=1；当FG与⊙O相切时，此时圆心O到FG的距离为圆的半径1，此时OF==2，即OF=2，则a=2；当相切之后，若FG再往右继续平移，此时FG就在圆外，∴此时a的取值分为为：，第三种情况，当FG在⊙O外部，即时，如图，∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，则⊙O到线段FG的最小值为：a-1，最大值为a+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴，解得，此时a的取值范围为：，综上所述：F横坐标的取值范围为：，∴；(3)不影响结论的情况下，设⊙K、⊙H的圆心在x轴上，且关于y轴对称，如图，由图可知⊙K、⊙H上的点相距的最近距离为，最远的距离为，∵⊙K、⊙H满足限距关系，∴，解得，∴r的取值范围为：．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了解直角三角形、垂线段最短、直线与圆的位置关系、限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题．26．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．(1)已知．①在点中，线段的“等幂点”是____________；②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．【答案】(1)①，；②或(2)或【解析】【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA2进行比较即可确定线段的“等幂点”；②根据定义可得，然后求出边上的高为h，再结合△OAB为等腰三角形即可求出点B的坐标；（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可证△ONH为等腰直角三角形，点D运动分两种情况，分别求出对应的取值范围即可.(1)解：①，，=，P1是线段OA的“等幂点”．=，P2不是线段OA的“等幂点”．=，P3不是线段OA的“等幂点”．=，P4是线段OA的“等幂点”．∴是线段的“等幂点”的是，故答案为：；②如图，∵是线段的“等幂三角形”，∴∵点，设中边上的高为h，，∴，∴点B在直线或上，又∵是等腰三角形，∴点B在半径为2的上，或在半径为2的上，或线段的垂直平分线上，∴综上，点B的坐标为或；(2)解：设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH为等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因为△ECD为锐角三角形，点E在上运动，点E到CD的距离h的范围是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，点D在H右侧，x>3，∴；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，又因为△ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，则，解得，D的横坐标的取值范围为或．【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，线段垂直平分线，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．27．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；(2)点M的坐标为，①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．【答案】(1)(2)①或

②-≤b≤【解析】【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可．(2)①根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．②分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解．(1)解：如图1，∵，∴直线的解析式为y=x+1，∴直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，∵的半径为1，∴圆O与y轴的正半轴交点为A(0，1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，∴直线关于该圆的“圆截距”为AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)∵点M的坐标为，的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，当时，直线的解析式为y=kx+1，当直线经过点B时，2k+1=0，解得k=；过点M作MF⊥AB，垂足为F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵MB=1，sin∠ABO=，∴，，设直线AB与圆M的另一个交点为C，则BC=2BF=，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；设直线AM与圆的一个交点为N，∵点A(0，1)，点M的坐标为，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐标为(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直线AD的解析式为y=-2x+1，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；综上所述，k的取值范围是或．②如图3，设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，过点M作MD⊥AB，垂足为D，∵AF=2，∴AD=1，∵MA=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此时b的最大值为；设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最。鉓作ME⊥AC，垂足为E，∵AG=2，∴AE=1，∵MA=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°=，此时b的最小值为-；故b的取值范围-≤b≤．【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．28．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为，圆心E在直线l：上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．【答案】(1)①P1，P4；②(2，6)(2)(3)【解析】【分析】（1）①根据定义即可直接判断；②由线段A1B1∥AB，即得出，即可得出答案；（2）分两种极限状态求解：①当⊙E与y轴相切时，设切点为F，连接EF；②当⊙E与OI相切时．利用切线的性质，锐角三角函数即可求解；（3）过点O作⊙M的两条切线OH和OP，切点分别为H和P．过点N分别作OP、OH的对称点，F、E，连接EF，NE，NF，设NE交OH于点G，NF交OP于点Q．根据定义，切线的性质，锐角三角函数和轴对称的性质，且判断出EF为△NQT的周长的最小值即可求解．(1)（1）①∵与线段AB无公共点，与线段AB有公共点，与线段AB有公共点，与线段AB无公共点，∴关于线段AB的“阳光点”是P1，P4．故答案为：P1，P4；②∵线段A1B1∥AB，∴．∵点A1在B1的上方，∴(2，6)．故答案为：(2，6)；(2)根据两种极限讨论：①当⊙E与y轴相切时，设切点为F，连接EF，∴轴．∵⊙E的半径为，∴，∴此时E点横坐标为；②设直线l分别与x轴，y轴交于点G，H，连接CD，CO，过点O作⊙C的另一条切线OI，切点为I，直线OI与直线l交于点J．当⊙E与OI相切时，过点E作轴于点K，如图，∵⊙C与y轴相切于点D，∴轴．∵C(1，)，∴，∴．∵⊙C与OI相切于点I，∴，∴．∵直线l分别与x轴，y轴交于点G，H，∴G(4，0)，H(0，)，∴，∴，∴，即，∴⊙E与直线OJ相切，且点J为切点，∴．在中，，∴，∴，∴此时E点横坐标为．综上可知点E在l上①情况的位置运动到②情况的位置都符合题意，∴；(3)如图，过点O作⊙M的两条切线OH和OP，切点分别为H和P．∵⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”，∴点Q在切线OP上，点T在切线OH上，由题意得：OM=5，MH=3，∵OH为⊙M的切线，∴，∴，．∵点N是⊙M上到原点距离最近的点，∴ON=OM-MN=5-3=2．如图，过点N分别作OP、OH的对称点，F、E，连接EF，NE，NF，设NE交OH于点G，NF交OP于点Q．∴NQ=QF，NT=TE，，．∴．即EF为△NQT的周长的最小值．∵，ON=2，∴，∴．∵，∴，解得：，∴．即△NQT的周长的最小值为；【点睛】本题为圆的综合题．考查对新定义的理解，切线的应用，解直角三角形以及勾股定理等知识，为中考压轴题．理解新定义，并利用数形结合的思想是解题关键．29．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系