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河北省保定市长城高级中学2025届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,则()A.2 B.C.1 D.2.已知数列为等比数列,则“为常数列”是“成等差数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知圆与圆外切,则()A. B.C. D.4.已知椭圆:,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为5,则的值是A.1 B.C. D.5.已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.倾斜角为45°,在y轴上的截距为-1的直线方程是()A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=07.已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,且该抛物线的准线与双曲线(,)的两条渐近线所围成的三角形面积为,则双曲线C的离心率为()A.3 B.4C.6 D.98.已知直线交圆于A,B两点,若点满足,则直线l被圆C截得线段的长是()A.3 B.2C. D.49.若圆与圆相切,则的值为()A. B.C.或 D.或10.下列语句中是命题的是A.周期函数的和是周期函数吗? B.C. D.梯形是不是平面图形呢?11.某手机上网套餐资费:每月流量500M以下(包含500M),按20元计费;超过500M,但没超过1000M(包含1000M)时,超出部分按0.15元/M计费;超过1000M时,超出部分按0.2元/M计费,流量消费累计的总流量达到封顶值(15GB)则暂停当月上网服务.若小明使用该上网套餐一个月的费用是100元,则他的上网流量是()A.800M B.900MC.1025M D.1250M12.已知命题:,命题:,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.六面体的所有棱长都为2,底面ABCD是正方形,AC与BD的交点是O,若,则___________.14.下列说法中,正确的有_________(填序号).①“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件;②若:,则:;③“,”的否定是“,”;④若命题“”为假命题,则命题一定是假命题;⑤是直线:和直线:垂直的充要条件.15.曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.16.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时,将随机的向两边等概率的落下.当有大量的小球都落下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率是______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)讨论的单调区间;(2)求在上的最大值.18.(12分)已知曲线在处的切线方程为,且.(1)求的解析式;(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知抛物线的焦点为,抛物线上的点的横坐标为1,且.(1)求抛物线的方程;(2)过焦点作两条相互垂直的直线(斜率均存在),分别与抛物线交于、和、四点,求四边形面积的最小值.20.(12分)已知圆.(1)求过点M(2,1)的圆的切线方程;(2)直线过点且被圆截得的弦长为2,求直线的方程;(3)已知圆的圆心在直线y=1上,与y轴相切,且与圆相外切,求圆的标准方程.21.(12分)已知函数,(1)讨论的单调性;(2)若时,对任意都有恒成立,求实数的最大值22.(10分)已知为等差数列,前n项和为,数列是首项为1的等比数列,,,.(1)求和的通项公式;(2)求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】首先得到数列的周期,再计算的值.【详解】由条件,可知,两式相加可得,即,所以数列是以周期为的周期数列,.故。篋2、C【解析】先考虑充分性,再考虑必要性即得解.【详解】解:如果为常数列,则成等差数列,所以“为常数列”是“成等差数列”的充分条件;等差数列,所以,所以数列为,所以数列是常数列,所以“为常数列”是“成等差数列”的必要条件.所以“为常数列”是“成等差数列”的充要条件.故。篊3、D【解析】根据两圆外切关系,圆心距离等于半径的和列方程求参数.【详解】由题设,两圆圆心分别为、,半径分别为1、r,∴由外切关系知:,可得.故。篋.4、D【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当AB垂直于x轴时|AB|最。褆AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【详解】由0<b<2可知,焦点在x轴上,∵过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|当AB垂直x轴时|AB|最。瑋BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=b2,则5=8﹣b2,解得b,故选D【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查了椭圆的定义,考查椭圆的通径公式,考查计算能力,属于中档题5、C【解析】利用两直线平行的等价条件求得m,再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l1平行于l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1平行于l2”的充要条件,故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件,准确计算是关键,注意充分必要条件的判断是基础题6、B【解析】由题意,,所以,即,故选B7、A【解析】由题意求得抛物线的准线方程为,进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积,求得,再结合和离心率的定义,即可求解.【详解】由题意,抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,根据抛物线定义,可得,即,所以抛物线的准线方程为,又由双曲线C的两条渐近线方程为,则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为,解得,又由,可得,所以双曲线C的离心率.故。篈.8、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上,根据已知及向量数量积的定义求的大。卸稀鞯男巫,即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上,又,∴,∴,又,∴,故△为等边三角形,∴直线l被圆C截得线段的长是2故。築9、C【解析】分类讨论:当两圆外切时,圆心距等于半径之和;当两圆内切时,圆心距等于半径之差,即可求解.【详解】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为.①当两圆外切时,有,此时.②当两圆内切时,有,此时.综上,当时两圆外切;当时两圆内切.故。篊【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论,属于基础题.10、B【解析】命题是能判断真假的语句,疑问句不是命题,易知为命题,故选B11、C【解析】根据已知条件列方程,化简求得小明的上网流量.【详解】显然小明上网流量超过了1000M但远远没达到封顶值,假设超出部分为M,由得.故。篊12、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题:或,命题:,所以是的必要不充分条件,故。築二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】结合空间向量运算求得.【详解】,.所以.故答案为:14、①【解析】根据椭圆方程的结构特征可判断①;注意到分式不等式分母不等于0可判断②;由全称命题的否定可判断③;根据复合命题的真假可判断④;由直线垂直的充要条件可判断⑤.【详解】①中,当时,方程为,表示圆,若方程表示椭圆,则,解得或,故①正确;②中,,故为:,而,故②不正确;③中,“,”的否定应为“,”,故③不正确;④中,若命题“”为假命题,有可能为真或为假,故④不正确;⑤中,,解得或,故是直线:和直线:垂直的充分不必要条件,故⑤不正确.故答案为:①15、【解析】先求导数,得出切线斜率,写出切线方程,然后可求三角形的面积.【详解】,当时,,所以切线方程为,即;令可得,令可得;所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为:.16、【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况,从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率,进而可求出5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率【详解】如图所示,先研究一个小球从正上方落下的情况,11,12,13,14指小球第2层到第3层的线路图,以此类推,小球所有的路线情况如下:01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16种情况,其中落入2号位置的有4种,所以每个球落入2号位置的概率为,所以5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率为,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①,在上单减;②,在上单增,单减;(2).【解析】(1),根据函数定义域,分,,讨论求解;(2)根据(1)知:分,,,讨论求解.【小问1详解】解:(1)定义域,①时,成立,所以在上递减;②时,当时,,当时,,所以在上单增,单减;【小问2详解】由(1)知:时,在单减,所以;时,在单减,所以;时,在上单增,上递减,所以;时,在单增,所以;综上:.18、(1);(2).【解析】(1)根据导数的几何意义得,结合对数的运算性质求出m,利用直线的点斜式方程即可得出切线方程;(2)由(1)将不等式变形为,利用导数研究函数在、、时的单调性,即可得出结果.【小问1详解】,∴,,,,,切线方程为,即,∴.【小问2详解】令,,,当时,,所以在上单调递增,所以,即符合题意;当时,设,①当,,,所以在上单调递增,,所以在上单调递增,所以,故符合题意;②当时,,,所以在上递增,在上递减,且,所以当时,,则在上单调递减,且,故,,舍去.综上:19、(1)(2)2【解析】(1)根据抛物线的定义求出,即可得到抛物线方程;(2)设直线的方程为:,、,则直线的方程为:,联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,再根据弦长公式表示出,同理可得,则四边形的面积,最后利用基本不等式计算可得;【小问1详解】解:由已知知:,解得,故抛物线的方程为:.【小问2详解】解:由(1)知:,设直线方程为:,、,则直线的方程为:,联立得,则,所以,,∴,同理可得,∴四边形的面积,当且仅当,即时等号成立,∴四边形面积的最小值为2.20、(1)y=1;(2)x+y-2=0;(3).【解析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程,结合图形即可求出结果;(2)根据题意可知直线过圆心,利用直线的两点式方程计算即可得出结果;(3)设圆E的圆心E(a,1),根据题意可得圆E的半径为,结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算求出,进而得出圆的标准方程.【小问1详解】圆,即,其圆心为,半径为1.因为点(2,1)在圆上,如图,所以切线方程为y=1;【小问2详解】由题意得,圆的直径为2,所以直线过圆心,由直线的两点式方程,得,即直线的方程为x+y-2=0;【小问3详解】因为圆E的圆心在直线y=1上,设圆E的圆心E(a,1),由圆E与y轴相切,得R=a()又圆E与圆相外切,所以,由两点距离公式得,所以,解得,所以圆心,,所以圆E的方程为.21、(1)答案见解析;(2).【解析】(1)利用导数与单调性的关系分类讨论即得;(2)由题可得在上恒成立,构造函数,利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】的定义域为,且当时,显然,在定义域上单调递增;当时,令,得则有:极大值即在上单调递增,在上单调递减,综上所述,当时,在定义域上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.【小问2详解】当时,,对于满足恒成立,在上恒成立,令,只需∴,,,令,则,在上单调递增,又,,存在唯一的,使得,即,两边取自然对数得,极小值,则的最大值为22、(1)的通项公式为,的通项公式为;(2).【解析】(1)用基本量表示题干中的量,联立求解即可;(2)由,,用乘公比错位相减法求和即可.【详解】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.由已知,得,而,所以,解得,所以.由得.①,由得.②,联立①②解得,所以.故的通项公式为,的通项公式为.(2)设数列的前n项和为,由,得.,,上述两式相减,得,所以,即.
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