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第04讲圆心角(5类题型)课程标准学习目标1.圆心角的概念;2.弧、弦、圆心角的关系;3.圆心角的应用;1.掌握圆心角的概念;2.理解弧、弦、圆心角的关系;3.掌握圆心角的应用;知识点01:圆心角相关概念圆心角的度数等于它所对的弧的度数。与弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中,若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,则对应的其余各组量也相等。理解:(定义)(1)等弧对等圆心角(2)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.(3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的。(4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.推论:在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等性质:①顶点是圆心;②两条边都与圆周相交。③圆心角性质:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距,四对量中只要有一对相等,其他三对就一定相等。
[2]
④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
[3]
⑤半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径【即学即练1】1.(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成两部分,则弦AB所对圆心角的度数为(
)A. B. C.或 D.或【即学即练2】2.(2022秋·浙江金华·九kok电子竞技统考期中)如图,是的直径,弦垂直平分,则的度数为(
)A. B. C. D.题型01圆心角的概念辨析1.(2023·浙江·九kok电子竞技假期作业)下图中是圆心角的是(
)A. B. C. D.2.(2021·湖南娄底·统考中考真题)弧度是表示角度大小的一种单位,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作.已知,则与的大小关系是.3.(2023春·山东淄博·六kok电子竞技统考期中)如图,圆心角.(1)判断和的数量关系,并说明理由;(2)若,求的度数.题型02利用弧、弦、圆心角的关系求解1.(2023·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,点A,B,C在上,,则的度数为(
)
A. B. C. D.2.(2023春·北京海淀·九kok电子竞技101中学校考阶段练习)如图,是的直径,,,则的度数是.3.(2022秋·辽宁大连·九kok电子竞技校考期末)如图,在⊙O中,点C是的中点,D、E分别是半径和的中点,求证:.题型03利用弧、弦、圆心角的关系求证1.(2023秋·浙江台州·九kok电子竞技统考期末)如图,是的直径,弦垂直于点,连接,,,,则下列结论不一定成立的是(
)A. B. C. D.2.(2021秋·北京·九kok电子竞技校考期中)如图,已知A,B,C,D是⊙O上的点,∠1=∠2,①;②;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.则上面结论中正确的有.3.(2022秋·江苏扬州·九kok电子竞技仪征市第三中学校考阶段练习)如图,在中,弦与弦相交于点E,且.求证:.
题型04求圆弧的度数1.(2023春·九kok电子竞技课时练习)如图中,,以C为圆心,为半径的圆交于点D,则的度数为(
)A. B. C. D.2.(2023春·广东梅州·九kok电子竞技校考开学考试)如图,已知点是圆上一点,以点为圆心,为半径作。辉灿诘,则的度数为度.3.(2022秋·贵州毕节·七kok电子竞技校考阶段练习)如图所示,若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1:2.求这五个圆心角的度数.题型05圆心角的应用1.(2023春·河南洛阳·八kok电子竞技统考期中)如图是两个大小不同的量角器.小量角器由于长时间使用,某些刻度已经:磺澹纸礁隽拷瞧鞯牧憧潭认叻旁谕恢毕呱,使与C重合(如下图).如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为,那么在小量角器上对应的度数为(
)A. B. C. D.2.(2022秋·山东菏泽·九kok电子竞技校考阶段练习)为培养学生动手实践能力,学校七kok电子竞技生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中,设置了一个圆形展厅.如图,在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是50°,为了观察到展厅的每个位置,最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台.53(2022秋·北京西城·九kok电子竞技校考阶段练习)下面是某同学设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.已知:.求作:的内接正三角形.作法:如图,①作直径;②以为圆心,为半径作。虢挥贑、D两点(点在直线上方);③连接,,.所以就是所求的三角形.根据该同学设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明:证明:在中,连接,,,____________,为等边三角形...同理,______________.(___________________________)(填推理的依据).是等边三角形.A夯实基础1.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)图中是圆心角的是()A.
B.
C.
D.
2.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)中的一段劣弧的度数为,则(
)A. B. C. D.3.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)在同圆或等圆中,若的长度等于的长度,则下列说法正确的有()①的度数的度数;②所对的圆心角等于所对的圆心角;③和是等。虎芩缘南页さ扔谒缘南页ぃ瓵.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图所示,在中,,则在①;②;③;④中,正确结论的个数是(
)
A.1 B.2 C.3 D.45.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,A、B、C、D是上的点,如果,,那么.
6.(2023春·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,是的直径,C是的中点,若,则的度数为.7.(2023春·九kok电子竞技课时练习)如图,OA,OB,OC,OD是⊙O的半径,(1)如果∠AOB=∠COD,那么,=,∠AOC∠BOD;(2)如果AB=CD,那么=,;(3)如果=,那么,,.8.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,是⊙上的四点,且点是的中点,交于点,,,那么.9.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)已知:如图,等边三角形的三个顶点都在上求证:.
10.(2023春·九kok电子竞技课时练习)如图,在中,、是两条弦,,,垂足分别为、.如果,那么与的大小有什么关系?为什么?如果,那么与的大小有什么关系?与的大小有什么关系?为什么?与呢?B能力提升1.(2023秋·山东聊城·九kok电子竞技校考开学考试)下列四个命题中,真命题是(
)A.相等的圆心角所对的两条弦相等B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形C.平分弦的直径一定垂直于这条弦D.等弧就是长度相等的弧2.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)在中,如果,那么弦与弦之间的关系是()A. B. C. D.无法确定3.(2023秋·浙江·九kok电子竞技专题练习)如图,是的直径,、是的两条弦,交于点G,点C是的中点,点B是的中点,若,,则的长为(
)
A.3 B.4 C.6 D.84.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,点A,B,C,D均在以点O为圆心的圆O上,连接,及顺次连接O,B,C,D得到四边形,若,,则的度数为()
A. B. C. D.5.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图所示,是的直径,为半圆上靠近点的三等分点,于点,则的度数为.6.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图,已知为的直径,为半圆周上的一点,且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍,则圆心角.
7.(2023秋·江苏·九kok电子竞技校考周测)如图,
是的直径,弦,若,则的度数是.8.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,是的直径,C是延长线上一点,点D在上,且,的延长线交于点E.若,则度数为.9.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)已知:如图,在中,,以点C为圆心、为半径作,交于点D,求弧的度数.
10.(2023春·山东淄博·六kok电子竞技统考期中)如图,圆心角.(1)判断和的数量关系,并说明理由;(2)若,求的度数.C综合素养1.(2023春·山东泰安·九kok电子竞技校考阶段练习)如图,是的直径,,,是的弦,且,则等于(
)
A. B. C. D.2.(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九kok电子竞技校考期中)如图,是的两条直径,是劣弧的中点,若,则的度数是(
)
A. B. C. D.3.(2023秋·江苏·九kok电子竞技专题练习)下列说法正确的个数有()①平分弦的直径,平分这条弦所对的。虎谠诘仍仓,如果弧相等,那么它们所对的弦也相等;③等弧所对的圆心角相等;④过三点可以画一个圆;⑤圆是轴对称图形,任何一条过圆心的直线都是它的对称轴;⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等.A.1 B.2 C.3 D.44.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图,是的直径,点C,D在上,,则的度数是(
)
A. B. C. D.5.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图所示,是半径为3的上的两点.若是的中点,则四边形的周长为.
6.(2023秋·全国·九kok电子竞技专题练习)如图,点C是直径的三等分点,点D是弧的三等分点,若直径,则的长为.
7.(2023·山东·九kok电子竞技专题练习)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接,则的度数为.
8.(2023秋·九kok电子竞技课时练习)如图,是的弦,是的中点,交于点.
(1)若,则;(2)若,则.9.(2023·江苏·九kok电子竞技假期作业)如图,已知圆内接中,,为的中点,于,求证:.
10.(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)请阅读下面材料,并完成相应的任务.阿基米德(,公元前287公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿基米德折弦定理:如图1,和是的两条弦(即折线是圆的一条折弦),.M是的中点,则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点,即.
这个定理有很多证明方法,下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程.证明:如图2,过点M作射线AB,垂足为点H,连接.∵M是的中点,∴.任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;(2)如图3,已知等边三角形内接于,D为上一点,.于点E,,连接,求的周长.
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