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湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三kok电子竞技10月联考数学试题命题学校：新洲一中邾城校区命题人：卢有勇审题人：新洲一中阳逻校区林志刚一?单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】先确定集合中的元素，依次判断是否满足，即可确定，即可得解.【详解】根据题意，，可得，所以，所以集合的子集个数为.故。築.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法、复数的共轭及复数的模公式即可求解.【详解】由题意得，，.故。.3.在中，为重心，设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据重心得出，进而得出，再结合已知条件转化为用表示即可.【详解】设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以，则.因为，所以,,所以.故。篈.4.已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由题意确定,列出不等式即可求解.【详解】或因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以或.解得:或.故选:C5.酒驾是严重：煌ò踩奈シㄐ形.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】设至少经过个小时才能驾驶，则，所以，再结合对数的运算性质求解．【详解】设至少经过个小时才能驾驶，则，即，所以，所以，即至少经过4个小时才能驾驶．故。築．6.已知实数，且满足，则下列一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确.【详解】时，，余弦函数在上单调递增，由，得，则有.正弦函数在上单调递增，则有，A选项错误；幂函数在上单调递减，则有，B选项错误；设函数，由，在上单调递减，，则有，即，C选项错误；幂函数是偶函数，在上单调递减，，D选项正确.故。篋.7.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则下列一定正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.为奇函数【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性得出函数值判断A,根据对称性分别判断B,C,D.【详解】函数是偶函数，，所以的图象关于直线对称，且因为由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，则，令x=0，可得，即，由可得，因为不一定恒为0，所以不一定成立，故B选项错误；可得fx+4=?fx+2=fx，所以所以，故A选项错误；因为，则，且，即得，所以为奇函数，即为奇函数，D选项正确；因为，所以，又因为为偶函数，不一定恒为0，所以不一定为奇函数，所以C选项错误.故。篋【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把为偶函数，为奇函数转化为对称关系得出函数周期及对称轴对称中心解题.8.在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（）A. B.25 C. D.24【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得角的大。煽傻，结合基本不等式“1”的巧用，即可得的最小值.【详解】由，又，，，，当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值.故。篈.二?多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为【答案】BCD【解析】【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.【详解】A选项：，所以，所以，故A错误；B选项：若得，则，显然不成立，故B正确；C选项：因为,若向量，则或，故C正确；D选项：设的夹角为，则向量在向量上的投影向量为所以，又因为向量在向量上的投影向量为，所以则的夹角为，故D正确.故。築CD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图像可由的图像向左平移个单位得到B.图像关于点对称C.在上值域为D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据三角恒等变换，化简函数，根据三角函数的图象性质判断A，B，C选项；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求的值，从而判断D选项.【详解】，对于A，将的图像向左平移个单位可得函数图象，故A不正确；对于B，，所以图像关于点对称，故B正确；对于C，当时，，则，所以，故C不正确；对于D，，因为，所以，则，故，平方得，则，所以，则，所以，故D正确.故。築D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.有极大值B.对于恒成立，则实数的取值范围是C.当时，过原点与曲线相切的直线有2条D.若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出的范围判断D.【详解】对于A，，求导得，当时，，当时，，函数在处取得极大值为，正确；对于B，，当时，，当时，，函数在递减，在上递增，，由对于恒成立，得，解得，B正确；对于C，，函数定义域为，求导得，设切点坐标为，则在处，的切线方程为，则，化简得，当时，，此方程无解；当时，，此方程无解；当时，，满足要求，因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误；对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，整理得，则，即，令函数，则即为，函数在R上单调递增，则，即，由A选项知，函数在上单调递增，在上单调递减，，当时，函数取值集合为，而，因此在的取值集合为；当时，令，，函数在上单调递减，，则，当时，，显然函数在取值集合为，因此函数在的取值集合为，则有两个根，必有，解得，所以的取值范围为，D正确.故。篈BD【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.三?填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若为偶函数，则实数__________.【答案】1【解析】【分析】由题可设函数为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数的值.【详解】已知为上的奇函数，若为偶函数，则函数为奇函数，又，则，故，整理得，所以，解得，则，其定义域为符合定义域对称，则函数?x为奇函数，所以.故答案为：1.13.已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求解.【详解】由题意，不妨设，所以，解得k=1，则，又因为是的外心，过点作又因为,所以则，故填：.14.定义：如果集合存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合的一个划分.若使函数在有且仅有一个零点的的取值集合为，则集合的所有划分的个数为__________.【答案】14【解析】【分析】通过零点个数确定，再结合新定义即可求解.【详解】函数在有且仅有一个零点，则，，集合有4个元素，集合的2划分个数为，集合的3划分个数为，集合的4划分个数为1，故集合的所有划分的个数为14.故答案为：14四?解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量，定义新运算：.（1）若向量，求；（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.【小问1详解】，.【小问2详解】由，，.，故与夹角的余弦值为.16.已知的三个内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：，再由辅助角公式即可求解；（2）由题意得到：，平方得到，再由面积公式即可求解.【小问1详解】（1），，，，，【小问2详解】由，，，，17.已知函数.（1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），单调增区间为；单调减区间为（2）.【解析】【分析】（1）求导，通过极值点，求，进而确定单调区间；（2）将转换成构造函数，通过，，三类情况讨论单调性即可求解.【小问1详解】是的极值点，故，当时，，，可知是的极大值点，故，的单调增区间为；单调减区间为【小问2详解】由得，易知当时，满足题意；当时，令，在1,+∞上单调递增，则，不符合题意；当时，由得，由得，于是有在递减，在递增，，所以当，，使得gx<0，也即，使得，综上，的取值范围时18.已知函数在上的最大值为2，集合.（1）求的值，并用区间的形式表示集合；（2）若，对，都，使得，求实数的值.【答案】（1）2，（2）.【解析】【分析】（1）通过换元，先求得的范围，在通过，和讨论确定，即可求解；（2）通过换元，构造，通过和的讨论即可求解.【小问1详解】，则，当时，（舍）当时，满足，故.，故集合【小问2详解】由集合，设，则当，即时，由对勾函数的性质可知，故，设，则由题意得为当时，的值域的子集.当即时，易知在上单调递增，故，得当，即时，在上的最大值为和中的较大值，若得，若得，而，故不合题意；当，即时，易知在上单调递减，故，不等式组无解.综上所述：实数的值为.19.（1）当时，求证：（i）；（ii）（2）已知函数.（i）当时，求在点处的切线方程；（ii）讨论函数在上的零点个数.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2）（i）；（ii）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）作差之后构造函数，求导分析单调性可得；（ii）作差之后构造函数，求导分析单调性可得；（2）（i）由导数的意义求出切线的斜率，再得到切线方程即可；（ii）当和，求导后由（1）结果进行简单放缩即可，当时，属于隐零点问题，求导后构造函数再求导，结合单调性和零点存在定理分析即可；【详解】证明：（1）（i）令，则，故在上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（ii）令，则当时，，设，则，令，当时，故在上为增函数，故当时，，即：，当且仅当时取等号；故在上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（2）（i）当时，，故在点处的切线方程为：（ii）（A）当时，，故，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（B）当时，，，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（C）当时，，，令，则，当时，由复合函数的单调性可得在上为增函数，故，当时，，故，使得，则，故在递减，在递增，又，故，则，使得，则，故在递减，在递增，又，又，故，使得，即此时在区间上有两个零点和；综合有：当时，在区间上只有一个零点；当时，在区间上有两个零点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键在于对分类讨论，当，需要两次求导，利用复合函数的单调性结合零点存在定理分析，属于隐零点问题.