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2025届安徽省安庆市达标名校数学高三第一学期期末监测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]2.的展开式中,含项的系数为()A. B. C. D.3.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.44.一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为()A. B. C. D.5.设集合,,则().A. B.C. D.6.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是7.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.8.已知函数为奇函数,则()A. B.1 C.2 D.39.已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则()A. B.2 C. D.10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A.8 B. C. D.11.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°14.如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设,,则的面积为________.15.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.16.若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.19.(12分)已知函数,,设.(1)当时,求函数的单调区间;(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.(注:是的导函数)20.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.21.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求证:对于任意,.22.(10分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故。篈.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.2、B【解析】
在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得含项的系数.【详解】的展开式通项为,令,得,可得含项的系数为.故。築.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.3、C【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故。篊【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.4、B【解析】
根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以,到的距离为,同理到的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故。築【点睛】本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.5、D【解析】
根据题意,求出集合A,进而求出集合和,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意,则故。篋【点睛】此题考查集合的交并集运算,属于简单题目,6、D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故。海镜憔Α勘咎饪疾槿呛芷谛院投猿菩缘呐卸,利用导数判断函数最值,属于中档题.7、B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故。築【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.8、B【解析】
根据整体的奇偶性和部分的奇偶性,判断出的值.【详解】依题意是奇函数.而为奇函数,为偶函数,所以为偶函数,故,也即,化简得,所以.故。築【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值,属于基础题.9、C【解析】
把代入,利用复数代数形式的除法运算化简,由实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】∵,∴,∵为纯虚数,∴,解得.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,是基础题.10、D【解析】
根据三视图还原几何体为四棱锥,即可求出几何体的表面积.【详解】由三视图知几何体是四棱锥,如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,所以,故。骸镜憔Α勘咎庵饕疾榱擞扇油蓟乖负翁,棱锥表面积的计算,考查了学生的运算能力,属于中档题.11、A【解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故。海镜憔Α勘咎饪疾槭械牡萃乒叵凳降挠τ,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.12、A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:
沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,
则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上,在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60?=O1D因为O1到A、B、C三的距离相等,所以,四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力,属于中档题.14、【解析】
根据个全等的三角形,得到,设,求得,利用余弦定理求得,再利用三角形的面积公式,求得三角形的面积.【详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,所以.在三角形中,.设,则.由余弦定理得,解得.所以三角形边长为,面积为.故答案为:【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15、【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图,则要为三角形需满足在直线下方,即,;目标函数可视为,则为斜率为1的直线纵截距的相反数,该直线截距最大在过点时,此时,直线:,与:的交点为,该点也在直线:上,故,故答案为:;.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于基础题.16、【解析】
函数的定义域为,求出导函数,利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线,解得,,联立解得的值.【详解】解:函数的定义域为,,,设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,∴,解得,.由,可得.联立,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)连结.由是正三角形,且为中点,则.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,两两垂直.以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,∴,,.设平面的一个法向量为.由可得,.令,则,,∴.设与平面所成角为,则.【点睛】本题考查了空间几何中,面面垂直的性质,线线垂直的证明,及线面角的求法,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.18、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即证.因为(当且仅当,时取等号).所以成立,故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,基本不等式的应用,属于中档题.19、(1)在上单调递增,在上单调递减.(2)见解析【解析】
(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;(2)求出含有参数的,再求出,由的两根是,得,计算,代入后可得结论.【详解】解:,函数的定义域为,.(1)当时,,由得,由得,故函数在上单调递增,在上单调递减.(2)证明:由条件可得,,,方程的两根分别为,,,且,可得..【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中一般由确定增区间,由确定减区间.20、(Ⅰ),.(Ⅱ)见解析【解析】
(1)由,分和两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由题,得,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)解:由题,得当时,,得;当时,,整理,得.数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,故.故得证.【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.21、(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(1)根据导数的运算法则,求出函数的导数,利用切线方程求出切线的斜率及切点,利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上,列出方程组,求出,值;(2)首先将不等式转化为函数,即将不等式右边式子左移,得,构造函数并判断其符号,这里应注意的取值范围,从而证明不等式.【详解】解:(1)由于直线的斜率为,且过点,故即解得,.(2)由(1)知,所以.考虑函数,,则.而,故当时,,所以,即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率,利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题,以及不等式证明问题,考查了分析及解决问题的能力,其中,不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.22、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到,故得.详解:(1)由题意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由题意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,当且仅当时等号成立.∴.∴面积的最大值为.点睛:(1)正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查,解题时要注意整体代换的应用,如余弦定理中常用的变形,这样自然地与三角形的面积公式结合在一起.(2)运用基本不等式求最值时,要注意等号成立的条件,在解题中必须要注明.
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