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吉林省长春汽车经济技术开发区六中2025届高二上数学期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.2．已知命题p：，，则（）A.， B.，C.， D.，3．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.4．从直线上动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（）A. B.C. D.5．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．若数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.7．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的值可能为（）A.96 B.97C.98 D.998．已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.9．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.3210．数列是公差不为零的等差数列，为其前n项和．若对任意的，都有，则的值不可能是（）A. B.2C. D.311．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A. B.C. D.12．已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A.-1 B.C.+1 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.14．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则________；这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.15．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.16．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且，则抛物线C的准线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点①求证：；②设OA，OB分别与椭圆相交于C，D两点，过点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：为定值18．（12分）数列中，，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.21．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若为真命题，求a的取值范围22．（10分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故。篈2、C【解析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题p的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴是“，”.故。篊.3、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故。築4、B【解析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，设，则，，则，当取最小值时，，此时，，，，故，此时，.故。築.5、D【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【详解】，故，故恒成立等价于，即恒成立，化简得到，因为，当且仅当，即时取等号，所以故。篋6、B【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故。築7、D【解析】根据程序框图得出的变换规律后求解【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，可得输出的T关于t的变换周期为4，而，故时，输出的值为，故。篋8、A【解析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.【详解】由点在椭圆上得，由椭圆的对称性可得，则，故椭圆方程为.故。篈.9、D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故。篋.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题10、A【解析】由已知建立不等式组，可求得，再对各选项逐一验证可得选项.【详解】解：因为数列是公差不为零的等差数列，为其前n项和．对任意的，都有，所以，即，解得，则当时，，不成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；所以的值不可能是，故。篈.11、D【解析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆的离心率为，则有，因双曲线的离心率为，则有，所以.故。篋12、A【解析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.【详解】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.故。篈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分别计算，，作差得到答案.【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，，，故.故答案为：.14、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得：这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为：；15、【解析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以故答案为：16、【解析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解.【详解】解：直线与抛物线相交于A，B两点设，直线与抛物线联立得：所以所以即解得：所以抛物线C的准线方程为：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】（1）根据离心率及过点求出求解即可；（2）①设直线l的方程为，利用向量的数量积计算证明即可；②设直线CD方程为，利用求出，再由点O到直线CD的距离即可求证.【小问1详解】因为，所以，又因为，解得，，所以椭圆的方程为；【小问2详解】①证明：设，，依题意，直线l斜率存在，设直线l的方程为，联立方程，消去y得，所以，又因为，所以，因此，②证明：设，，设直线CD方程为，因为，所以，则，联立，得当时，，则所以，即满足则，即为定值18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，∴，∴，从而，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，则，∴，∴.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【小问1详解】证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.【小问2详解】由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记直线与平面所成角为，.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.【小问1详解】以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.【小问2详解】，设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.21、（1）（2）【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.【小问1详解】当p为真命题时，当时，不等式显然成立；当时，解得，故a取值范围为.【小问2详解】当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，即，∵，当且仅当x=1时等号成立，∴因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是22、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.【小问1详解】（1）由条件得，所以方程为【小问2详解】易知直线斜率存在，令，，，由，因为，所以，即-1-x1因为，所以，即-4-x1由①，由②将，代入上式，得