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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析向量的数乘运算,其实是加法运算的推广与简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大。灿蟹较颍乇鹗欠较蛴胍阎蛄渴枪蚕呦蛄,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着密切的联系.三维目标1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程;掌握实数与向量积的定义;理解实数与向量积的几何意义;掌握实数与向量的积的运算律.2.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神;通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.重点难点教学重点:1。理解数乘向量所表达的几何意义;2.理解并掌握向量的线性运算.教学难点:数乘向量分配律所表达的几何意义.课时安排1课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))导入新课思路1。(类比引入)我们知道,平面几何中的全等与平行的问题,与向量加法及其运算律有着密切的联系,在几何中,一个重要问题是研讨图象的“放大"“缩小”和相似性质.我们是否也能用向量的某种运算去研究呢?由此展开新课.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?怎样用图形表示?由此展开新课.推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))eq\a\vs4\al(1已知非零向量a,试一试你能作出a+a+a和-a+-a+-a吗?,2你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?,3引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?,4数乘向量满足哪些运算律?)活动:教师引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题(1),学生通过作图1可发现,eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即eq\o(OC,\s\up6(→))=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|。同样,由图1可知,图1eq\o(PN,\s\up6(→))=eq\o(PQ,\s\up6(→))+eq\o(QM,\s\up6(→))+eq\o(MN,\s\up6(→))=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a。已知eq\o(AB,\s\up6(→))(图2),把线段AB三等分,分点为P,Q,则图2eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)),AQ=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))=-eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))。由上述分析,我们引出数乘向量的一般定义:定义实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λa的长度|λa|=|λ||a|.λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时,与a同方向;,当λ〈0时,与a反方向.))当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0(图3).图3λa中的实数λ,叫做向量a的系数.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩。菔凳胂蛄康幕亩ㄒ,我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律.设λ、μ为实数,那么①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb(分配律).特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb。对问题(3),向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa。关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.讨论结果:(1)数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.(2)它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩。3)略.(4)略.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1设a,b为向量,计算下列各式:(1)-eq\f(1,3)×3a;(2)2(a-b)-(a+eq\f(1,2)b);(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b。解:(1)原式=(-eq\f(1,3)×3)a=-a.(2)原式=2a-2b-a-eq\f(1,2)b=(2a-a)-(2b+eq\f(1,2)b)=a-eq\f(5,2)b。(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=ma-nb.点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项"。变式训练计算下列各式:(1)(-2)×eq\f(1,2)a;(2)2(a+b)-3(a-b);(3)(λ+μ)(a-b)-(λ-μ)(a+b).解:(1)(-2)×eq\f(1,2)a=(-2×eq\f(1,2))a=(-1)a=-a.(2)2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=(2a-3a)+(2b+3b)=-a+5b.(3)(λ+μ)(a-b)-(λ-μ)(a+b)=λ(a-b)+μ(a-b)-λ(a+b)+μ(a+b)=λa-λb+μa-μb-λa-λb+μa+μb=2μa-2λb.2如图4所示,已知eq\o(OA′,\s\up6(→))=3eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(A′B′,\s\up6(→))=3eq\o(AB,\s\up6(→)),说明向量eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB′,\s\up6(→))的关系.图4解:因为eq\o(OB′,\s\up6(→))=eq\o(OA′,\s\up6(→))+eq\o(A′B′,\s\up6(→))=3eq\o(OA,\s\up6(→))+3eq\o(AB,\s\up6(→))=3(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))=3eq\o(OB,\s\up6(→)),所以eq\o(OB′,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线且同方向,长度是eq\o(OB,\s\up6(→))的3倍.3如图5,ABCD的两条对角线相交于点M,且eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,你能用a、b表示eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))和eq\o(MD,\s\up6(→))吗?图5活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.解:在ABCD中,∵eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=a+b,eq\o(DB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→))=a-b,又∵平行四边形的两条对角线互相平分,∴eq\o(MA,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)(a+b)=-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b,eq\o(MB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(a-b)=eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b,eq\o(MC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b,eq\o(MD,\s\up6(→))=-eq\o(MB,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b。点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.4凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))).活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.解:方法一:过点C在平面内作eq\o(CG,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),则四边形ABGC是平行四边形,故F为AG中点.(如图6)图6∴EF是△ADG的中位线.∴EFeq\f(1,2)DG.∴eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DG,\s\up6(→))。而eq\o(DG,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(CG,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))).方法二:如图7,连接EB、EC,则有eq\o(EB,\s\up6(→))=eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(EC,\s\up6(→))=eq\o(ED,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→)),图7又∵E是AD的中点,∴有eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(ED,\s\up6(→))=0,即有eq\o(EB,\s\up6(→))+eq\o(EC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→)).以eq\o(EB,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.∴eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(EG,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))+eq\o(EC,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))).点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用。变式训练若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则()A.|2a|〉|2a+b|B.|2a|<|2a+b|C.|2b|>|a+2b|D.|2b|〈|a+2b|答案:Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,类比是我们学习中伟大的引路人.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本本节练习A2,3。eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地,0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ〉0时,λa与a方向相同,当λ〈0时,λa与a方向相反.2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有(1)λ(μa)=(λμ)a;①(2)(λ+μ)a=λa+μa;②(3)λ(a+b)=λa+λb.③证明:(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的:拖嗤姆较,所以这两个向量相等.(2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况:当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.综上所述,②式成立.如果λ、μ异号,当λ〉μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ<μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时,可分如下两种情况:当λ>0且λ≠1时如图8,在平面内任取一点O作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,eq\o(OA1,\s\up6(→))=λa,eq\o(A1B1,\s\up6(→))=λb,则eq\o(OB,\s\up6(→))=a+b,eq\o(OB1,\s\up6(→))=λa+λb.图8由作法知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A1B1,\s\up6(→)),有∠OAB=∠OA1B1,|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|=λ|eq\o(AB,\s\up6(→))|.所以eq\f(|\o(OA1,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)=eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)=λ。所以△AOB∽△A1OB1。所以eq\f(|\o(OB1,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)=λ,∠AOB=∠A1OB1.因此O、B、B1在同一条直线上,|eq\o(OB1,\s\up6(→))|=|λeq\o(OB,\s\up6(→))|,eq\o(OB1,\s\up6(→))与λeq\o(OB,\s\up6(→))的方向也相同.所以λ(a+b)=λa+λb.当λ〈0时,由图9可类似证明λ(a+b)=λa+λb。图9所以③式也成立.二、备用习题1。eq\f(1,3)[eq\f(1,2)(2a+8b)-(4a-2b)]等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b2.若向量方程2x-3(x-2a)=0,则向量x等于()A.eq\f(6,5)aB.-6aC.6aD.-eq\f(6,5)a3.在△ABC中,eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→)),EF∥BC,EF交AC于F,设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,则eq\o(BF,\s\up6(→))用a、b表示的形式是eq\o(BF,\s\up6(→))=________。4.在△ABC中,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是△ABC平面上的任意一点,若eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)e1-eq\f(1,2)e2,则eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\o(ON,\s\up6(→))+eq\o(OP,\s\up6(→))=________。5.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,求证:eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(a+b+c).参考答案:1.B2。C3.-a+eq\f(1,5)b4。eq\f(1,3)e1-eq\f(1,2)e25.证明:连接AG并延长,设AG交BC于M.∵eq\o(AB,\s\up6(→))=b-a,eq\o(AC,\s\up6(→))=c-a,eq\o(BC,\s\up6(→))=c-b,∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))=(b-a)+eq\f(1,2)(c-b)=eq\f(1,2)(c+b-2a).∴eq\o(AG,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(c+b-2a).∴eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AG,\s\up6(→))=a+eq\f(1,3)(c+b-2a)=eq\f(1,3)(a+b+c).

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