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高考复习之函数小题总结
知识点一函数的概念
知识梳理
一、函数的有关概念
设A,8是非空的实数集,如果对于集合A中任意一个数x,按照某种确
函数的定义定的对应关系方在集合2中都有唯一确定的数V和它对应,那么就称人
AfB为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法y=Ax),x^A
定义域尤叫做自变量,尤的取值范围川叫做函数的定义域
值域函数值的集合伏X)|xeA}叫做函数的值域
同一个函数
一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同,并
且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.
特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.
三、函数的表示方法
四、分段函数
1.一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量X的不同取值范围,有着不同的对
应关系的函数.
2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函
数的定义域的交集是空集.
3.作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.
题型一函数概念的理解
方法规律:
1.判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断,即A,8必须是非空数集;A
中任何一个元素在3中必须有元素与其对应;A中任一元素在8中必有唯一元素与其对应.
2.函数的定义中“任一尤”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量尤,y的对应关系是“一
对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
例L可作为函数y=/(x)的图象的是()
例2.下列图象中,表示函数关系y=f(无)的是()
题型二函数概念的理解
方法规律:
相等函数一如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.
①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数
的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.
②函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:兀1)=2%-1,g⑺=2广1,
h(m)=2m-l均表示相等函数.
例1.下列四组函数中,表示同一函数的是()
A.f(x)=1与g(x)=x°B./(%)=国与g(%)=4^
2__________________
C.f(x)=x与g(x)=—D.=J/_]与g⑴=Jx+i.J%—]
JC
例2.下列选项中,表示的是同一函数的是()
A./(x)=V^,g(x)=(&『B./(x)=x2,g(x)=(x-2)2
c.y(x)=<',^(?)=|Z|D.y(x)=4x+l-4x-\-,g(-x)=Vx2-i
例3.在下列六组函数中,同组的两个函数完全相同的共多少组()
①丁=Jx+2?Jx-2,y=J/_4②y=(五,,y=x
③y=2X+1(%ER+),y=|2犬+1|(%?尺+)④y=(正了,y=x
@y=x2-2x-l,y=t2-2t-l?y=———写,y=——
(%—2)x_2
A.2组B.3组C.4组D.5组
题型三已知函数解析式求值
方法规律:
解题时,(一)要注意审题,观察分析、发现规律.
(二)要注意一题多问时,有时前面问题的结论可作为后面问题的条件使用.
例1.若/(x)=f—2x,则⑴))=()
A.IB.2C.3D.4
例2.若函数f(x)=ad—1,a为一个正数,且f(f(—D)=—1,那么a的值是
例3.已知函数f(x—1)=(—3,则f(2)的值为()
A.-2B.6C.ID.0
例4.已知/(;x-l)=2x+3,f(ni)=6,则机等于()
A.-B.--C.-D.--
2244
例5.若满足关系式/(%)+2/(-)=3%,则/(2)的值为
X
33
A.1B.—1C.D.一
22
例6.若/(九)对于任意实数x恒有2/(%)-/(-%)=3%+1,则/⑴的值为
题型四已知分段函数解析式求值
方法规律:
求分段函数函数值的方法
⑴先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.
当出现力/宙))]的形式时,应从内到外依次求值.
]—%2]<]]
例1.设函数/(%)=2'—贝的值为.
例2.已知函数/(%)=]一2x,x?0,贝!(/⑴)=_______.
ln(-x),x<0
2
例3./(x)=<x=x<0,则〃y(_8))=()
log2x+l,x>0
A.3B.-3C.4D.-4
.._(s讥等。<0)
例4.若/(x)=6,则川(3)]=____________.
U-2x(%>0)
2x,0<%<1,
例5.已知函数/(%)=<2,l<x<2,,则/的值为(
1,xN2,
I2
A.IB.2C.-3D.-
2
x+2,x<0/、
例6.已知函数.“力=<12+小一2),x>0,则"A
例7.设/⑴=俨一2,久之1°,则了⑸的值为()
(/[/(%+6)],%<10
A.10B.11C.12D.13
%2+2(xV2)
~若/(xo)=8,则xo=.
{2x(%>2)
例9.已知函数/(%)=若f(m)=L则m=.
12%(%<0)乙
2%+1r<1
例10.已知函数〃%)={2',若/(/(°))=4。,则实数4=
x+ax,x>l
14
A.-B.-C.2D.9
25
题型五已知函数解析式求定义域
方法规律:
定义域特指X的值。函数题的解答不能不考虑函数的定义域,抛弃函数的定义域解决
函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题,所以被称为隐形杀手,一定要确
立定义域优先的思想。
基本解题思路①注意"定义域优先”;
②不要对解析式化简变形;
③在解不等式组时要细心、快而准,分类讨论要全面,取交集时需要借助数轴;
④要注意端点值或边界值能否取到;
⑤定义域要用集合或者区间的形式写出;
⑥换元法要注意新变量的取值范围;
⑦注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。
(一)单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。
1、基本函数定义域的要求:
(1)分式函数,分母不为0;
(2)偶次根式函数的被开方数为非负数;
(不要忘记等号)
⑶一次函数、二次函数的定义域为R;
⑷x°中的底数不等于0;
(X-中的底数也不等于0)
⑸指数函数丁=优定义域为R,对数函数y=log。]定义域为%>0;
(注意a>0且awl)
(6)y=sinx、y=cosx的定义域为R;
y=tanx的定义域为{x|xw左兀+―,左?z};j=cotx的定义域为|%wMi,左?z};
⑺实际问题应考虑实际限制。
2、剥洋葱原理T一层一层T交集(同时成立)T最后把求定义域转化成解不等式。
1
例1.函数〃x)=Jl-2,的定义域为()。
■Jx+3
A、(—co,—3)U(—3,0]B、(—oo,—3)U(—3,1]C>(—3,0]D>(—3,1]
例2.函数/(x)=ln土也+二系的定义域为。
x
1
例3.函数〃尤)=——+)4-用的定义域为()0
ln(x+l)
A、[-2,2]B、[-2,0)U(0,2]C、(-1,2]D、(-1,0)U(0,2]
例4.函数/(x)=(x-2)°+XH—的定义域为()
Vx+1
A.(2,+CO)B.(-1,+OO)C.(-1,2)U(2,+OO)D.R
例5.若集合A={x|y=J2x-1},函数y=ln(2-x)的定义域为8,则4口5=(
A.—,2B.(2,+oo)C.—,2jD.[2,+co)
题型六未知(复合)函数解析式求定义域
方法规律:
(二)单一函数与复合函数的相互转换。
1、单一到复合,类比联想,整体代入。
由,=/(%)的定义域为4求,=/[g(x)]的定义域实质是g(x)eA,求x的取值范围。
例L已知函数、=/(%)定义域是[一2,3],则y=/(2x—1)的定义域是()
A.0,—B.[—1,4]C.——,2D.[—5,5]
例2.函数,(x)=Jlogg(2—5%)则/(3x—2)的定义城是()
114、「1113
A.B.—,—c.—,—
155J[1515,15)
7(2%)
例3.已知函数f(x)的定义域为[3,6],则函数的定义域为()
333■1
A.[-,+-)B.[-,2)C.(-,+-)D.[--2)
2222
2、复合到单一,方法:换元法。规避易错点:新变量的取值范围。
由y=/lg(尤)]的定义域A,求y=/(x)的定义域,实质是xeA,求g(x)的取值范围,
此取值范围就是y=/(x)的定义域。实质就是换元法。
例4.已知函数/(2x+l)的定义域为(―2,0),则/⑺的定义域为()
A.(—2,0)B.(-4,0)C.(—3,1)D.-,1J
例5.已知函数f(2-r)的定义域是[-1,1],则函数/(x)的定义域为。
例16.已知函数〃,-2x+2)的定义域是[0,3],则函数/(x)的定义域为。
3、复合到复合,找到"桥梁"。
由,=/[<?(%)]的定义域A,求y=/["?]的定义域5,须先求y=/(%)的定义域C。
例7.己知函数y=/(x+2)的定义域是[―2,5),则函数y=/(3x—1)的定义域为()
/1o-I-]8、
A.[-7,14)B.(-7,141c.一,一D.一,一
L7v」(33」[33)
例8.若/(x+1)的定义域是[-g,2],则函数/(/)的定义域为。
例9.已知函数,=/(2工)的定义域是[-1,1],则函数〃皿3尤)的定义域是()
A.[—1,1]B.一,3c.[1,3]D.[6,9]
3
题型七根据定义域求参数
方法规律:
1.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:
当。=0时,QO,c>0;
a>0
当awO时,<
A<0
2.不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是
当。=0时,QO,c<0;
a<0
当awO时,<
A<0
例L若函数f(x)=j2,+2ka_]的定义域为R,则a的取值范围为.
x-4
例2.若函数/(x)=的定义域是H,则实数加的取值范围是O
mx2+47ra:+3
(0,|]B.[0,|]C.,|)D.(0,|)
A.[0
例3.若函数/(%)=I21=的定义域为尺,则实数,的取值范围是()
7ax-2ax+2
A.0<〃V2B.0<<7<2C.0<<2D.Q<a<2
题型八求函数的解析式
方法规律:
(-)已知函数类型,可设参,用待定系数法求解析式。
若已知函数形式(一次函数y=,左wO;二次函数>=办2+b%+c,a。0;反比
例函数y=2,awO;指数函数y=。",a>0且〃关1;y=log1x,。>0且awl;幕函
数y=%〃),可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),
通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式。
已知函数图象,也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的,要用分段函数表示。
例L[多。菀阎/(x)是一次函数,且/"(切=4%+3,则/(%)的解析式为()o
A、f(x)=—2x—3B>f(x)=—2x—lC>/(%)=2x+lD、/(x)=2x+3
例2.已知二次函数/(%)满足/(0)=l,>f(x+l)-/(x)=2x,则的解析式为()o
A、/(x)=%2-x-lB、/(x)=x2-x+1
C、/(x)=x2+x-lD>f(x)=x2+x+l
(二)方程组法求函数解析式。
若出现f(x)与/(-)的关系式、/(X)与/(-%)的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系
X
式,可构造另一个等式,通过解方程组求解。
(1)互为倒数:/(x)+/(-)=g(x);
X
(2)互为相反数:/(%)+/(-x)=g(%)或尸。)=/(%)+g(%)"(X)为奇函数,g(x)为偶函数)。
例3.已知/(兄)+2/(-X)=3%一2,则/(%)的解析式为()o
2222
A、f(x)=-3x——B>/(x)=-3%+—C>/(x)=3x--D>/(x)=3x+—
例4.己知/(x)+2/(—)=3x,则f(x)的解析式为。
x
例5.设/(x)为偶函数,g(x)为奇函数,/(x)+g(x)=」一,求/(x)与g(x)的解析式。
x+1
(三)已知/(X)求复合函数f[g(x)],或已知复合函数/[§(%)]的解析式求/(X)的解析式,
可用换元法、配凑法。
即令g(x)=r,反解出X,然后代入/[g(x)]中求出/⑺,从而求出/(X),注意新变量
的取值范围。
2
例6.已知/(*-1)=2工,则f(x)的解析式为。
x
例7.己知f(6+l)=x+2?,则/(x+1)的解析式为。
(四)赋值法:当题中所给变量较多,且含有"任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”
的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
例8.已知/(0)=1,对于任意实数无、y,/(x-y)=/(x)—y-(2x—y+l)恒成立,则/(x)的
解析式为。
题型九求函数的值域
方法规律:
(一)直接法
1>观察法:通过观察如/(x)=Jor+6+c,/(x)nor?+6或/(%)=—^_等函数的定义
x"+a
域及性质,结合函数的解析式,应用不等式性质,可直接求得函数的值域。
例L函数/(无)=3+j2—3x的值域为()o
A、[0,+oo)B、[l,+oo)C、[2,+oo)D、[3,+co)
例2.函数/(x)=X2—8x+4在[1,8]上的值域为()
A.[-12,-3]B.[-16,4]C.[-3,4]D.[-12,4]
例3.函数y=J-*—6x—5的值域为
A.[0,2]B.[o,4]c.(^O,4]D.[0,+OO)
2、数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域,是一
种常见的方法,如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。
例4.函数=的值域为.
x+l,x<l
例5.函数/(X)=|X+1|+J(X—2)2的值域为()。
A、[0,+oo)B、[l,+oo)C、[2,+oo)D、[3,+oo)
例6.在实数的原有运算中定义新运算〃?〃如下:当时,a?b=a;当时,〃?匕=〃。
设函数/(%)=(1???九一(2?兄),xG[-2,2],则/(x)的值域为()o
A、[―4,—1]B、[—4,6]C、[—1,0]D、[0,6]
(二)利用分离常数法:
1、型如/。)=刍土《时,可化简成/。)=左+-^的格式,?.?分母不为零,左。
ax+bax-\-b
Y—3
例7.函数/(%)==的值域为()。
x+1
A、(—oo,—1]U[3,+oo)B、(—oo,—1)U(1,+8)C、(—oo,l)U(l,+oo)D、[2,+oo)
ax1+bx+c
2、型如y(x)=的函数,可化简成/(力=左+—上-----的格式,再求值域。
dx1+ex+fdx+ex+f
12
例8.函数/(%)=—y的值域为()o
1+X
A>[-1,0]B、(-1,1]C、[l,+oo)D>[2,+co)
(三)利用基本不等式:
1、⑴型如/(x)=x+L①若x>0,则/(x)22(当且仅当%=L即当x=l时取
XX
②若x<0,则/(%)<-2(当且仅当X=工即X=—1时取"=");
b
(2)型如f(x)=ax-\-一(a>0,Z?>0):
x
①若%>0,则/(x)>2y/ab(当且仅当ax=—即x=时取
xVa
②若%<0,则/(x)<-14ab(当且仅当ax=—即x=-J—时取“=〃);
%Va
4
例9.函数/(%)=1+—的值域为()o
x
A、(一*T]U[4,+oo)B、(-co,-2]U[2,+oo)
C、(—oo,—l]U[3,+oo)D、(—oo,0)U(0,+oo)
4
例10.函数/(x)=x+-----的值域为()o
x+2
A、(-oo,-6]U[2,+oo)B、(-oo,-4]U[4,+oo)
C、(—co,—2]U[2,+oo)D、(—co,—l]U[3,+oo)
2
2、型如/(x)=x时,应先应用分离常数法化简成/(x)=a(x+b)+上+d的格
x+bx+b
式,再利用均值不等式求值域。
尤2+2无+2
例n.函数/(x)=的值域为()。
X+1
A、(一oo,T]U[4,+oo)B、(-co,-2]U[2,+oo)
C、(―8,—1]U[3,+8)D、(—00,0)U(0,+OO)
3、型如/(无)=—■如一时,应讨论x=0时/(x)的值域,再讨论xwO化简成
x+mx+n
f(x)=—号—型,最后利用均值不等式求值域。
x-\---\-m
x
例12.函数=的值域为(),,
厂+1
A、(—oo,-2]U[2,+oo)B>(―00,—1]U[l,+oo)C、(—co,——]U[―,+oo)D、[一小三|
2222
(四)利用换元法:型如f(x)=ax+b±dcx+d型,可用此法求其值域。
例13函数/(%)=X—J1—2%的值域为()o
A、(—oo,—l]B>(—co,—]C、(—oo,—l]U[1,+°°)D、(—co,——]U[~
例14.函数=2x-5+J15-4x的值域为()。
A、(—oo,—2]U[4,+8)B、(—co,3]C、(—oo,0]D、[2,+oo)
题型十已知值域求参数
「25~
例1.若函数y=必一3犬一4的定义域为[0,机],值域为-■-,-4,贝!|加的取值范围是
()
-251「3-3
A.(0,4]B.4,—C.-,3D.—,+co
_4J12_2
例2.己知函数y=J(a-1)尤2+公+1的值域为[0,+8),求a的取值范围为
A.a>lB.a>lC.?<1D.。<1
例3.若函数y=^gL(ax--4x+a-2)值域为R,则实数。的取值范围是
2
题型十一分段函数与不等式的应用
例1.已知函数/'(x)=—:一j,,则满足不等式/(3—%2)<"2”的x取值范围为
X—1,X<(J
()
A.[-3,0)B.(-3,0)C.(-3,1)D.(-3,-1)
例2.设函数/(x)=,—,则满足了(%+6)</(2尤)的x的取值范围是()
—1,x<10
A.(-QO,5]B.[5,6)C.(-oo,6)D.(4,6)
知识点二函数的单调性与奇偶性
知识梳理
一、增函数与减函数的定义
一般地,设函数五功的定义域为/,区间。U/:
⑴如果Vxi,X2^D,当X1<X2时,都有八尤1)勺(X2),那么就称函数/U)在区间D上单调递增,
特别地,当函数式X)在它的定义域上单调递增时,我们称它是增函数.
(2)如果Vxi,X2^D,当X1<X2时,都有兀H)次尤2),那么就称函数/U)在区间D上单调递减,
特别地,当函数兀0在它的定义域上单调递减时,我们称它是减函数.
二、函数的单调区间
如果函数y=Ax)在区间。上单调递增或单调递减,那么就说函数y=Ax)在这一区间具有(严
格的)单调性,区间D叫做y=*x)的单调区间.
三、函数的最大(。┲导捌浼负我庖
最值条件几何意义
①对于Vxe/,都有於在M,②WoG/,
最大值函数y=/")图象上最高点的纵坐标
使得心o)=M
①对于VxG/,都有心,'0^/,
最小值函数y=/3)图象上最低点的纵坐标
使得"o)=M
四、函数奇偶性的几何特征
一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为直函数.
五、函数奇偶性的定义
1.偶函数:函数兀0的定义域为/,如果Vxd/,都有一xd/,且外一x)=*x),那么函数/(x)
就叫做偶函数.
2.奇函数:函数式x)的定义域为/,如果\/尤6/,者B有一XG/,且1一冬=一8尤),那么函数/(x)
就叫做奇函数.
六、奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称.
题型一无参数的函数单调性
方法规律:
1.(单调性不能混合乘除)组合函数的单调性
①增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数;
②增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数;
③如果/(X)是增函数(/(x)wO),那么总是减函数,-/(X)也是减函数。
2.判断函数单调性的方法:
(1)定义法,步骤为:取值,作差,变形,定号,判断.利用此方法证明抽象函数的单调
性时,应根据所给抽象关系式的特点,对X1或马进行适当变形,进而比较出/(%)与/(9)
的大小.
(2)利用复合函数关系,若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函
数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.
(3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,则单调递增;图象逐渐下降,则单调递减.
(4)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,判断函数的单调性.
(5)性质法:
2.在利用函数的单调性写出函数的单调区间时,首先应注意函数的单调区间应是函数定义
域的子集或真子集,求函数的单调区间必须先确定函数的定义域;其次需掌握一次函数、二
次函数等基本初等函数的单调区间.
例L函数F(x)=1一—一()
X—1
A.在(一1,+8)上单调递增B.在(1,+8)上单调递增
C.在(-1,+8)上单调递减D.在(1,+8)上单调递减
例2.函数f(x)=X?—2x—3的单调递减区间为()
A.(-oo,l)B.(-05,2)C.(l,oo)D.(2,+oo)
例3.函数f{x}^x-2\-x的单调减区间是()。
A、[1,2]B、[-1,0]C>[0,2]D>[2,+oo)
例4.下列函数在区间(一g,0)上为增函数的是()
A.y=lB.y=——+2C.y=—x2—2x—lD.y=l+x2
x
例5.(复合函数的单调性)已知函数/(%)的图象如图所示,则函数且仁人心且工〃工)的
2
单调递增区间为()
A.(-00,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+oo)C.(-0),-5),[0,1)D.(-1,0],(5,+00)
例6.(复合函数的单调性)函数y=einx的单调增区间是
例7.(复合函数的单调性)函数/(无)=1°8工(6-%—V)的单调递增区间是—
2
例8.下列给定函数中,在区间(0,1)上单调递减的函数是()o
A、于(x)=&B、g(x)=logi(尤+1)C、〃(x)=|x-l|D、w{x}=2X+1
2
题型二利用单调性求参数范围
方法规律:
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法:
(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调
区间比较求参数;(说白了就是题目所给的单调性范围是函数本身单调性的一个子集)
(2)依据常见函数的单调性,如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解;
(3)要注意:"函数/(x)的增区间是(a,b)”与“函数/(尤)在区间①,加上单调递增”是
不同的,后者意味着区间(a,6)是函数/(x)的增区间的一个子集。
(4)已知复合函数的单调性,拆分复合函数,利用同增异减。
例1.函数y=(2加一l)x+b在R上是减函数.则()
1111
A.m>—B.m<—C.m>——D.m<——
2222
例2.已知y=/+2(a-2)x+5在区间(4+8)上是增函数,则。的范围是()
A.a<—2B.aN—2C.a>—6D.ci<-6
例3.如果函数/(x)=/+(a+6)x-1在区间(TO,1)上为增函数,则实数。的取值范围是
例4.若函数“X)=—?+2双与g(x)=—吼在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围
A.(-1,O)U(O,1)B.(-l,o)u(o,l]c.(0,1)D.(0,1]
例5.函数/(x)=------------在(1,+s)上是减函数,则实数a的范围是
x-a+3
例6.(复合函数的单调性)函数y=正不在[0,2]上是减函数,则实数。的取值范围是.
a+1
例7.(复合函数的单调性)函数/(x)=log式6-奴)在[0,2]上为减函数,则。的取值范围
是______
例8.(复合函数的单调性)已知函数/(x)T°gJx2—依+3")在[1,+8)上单调递减,
3
则实数。的取值范围是()
A.(^O,2]B.[2,+CO)C.,2D.——,2
题型三利用单调性解不等式
方法规律:
考查了解不等式,要设法把隐性划归为显性的不等式求解,方法是:
⑴把不等式转化为f[g(x)]>f[h(x)]的模型;
(2)判断函数/(力的单调性,再根据函数的单调性将不等式的函数符号脱掉,得
到具体的不等式(组)来求解,但要注意奇偶函数的区别.
例1.若函数/(x)是R上的减函数,则下列各式成立的是()
A.f(a)>/(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+2)<f(2?)D.f(a2+l)>f(a)
例2.已知/(x)是定义在H上的减函数,则关于x的不等式/(x2-%)-/(%)>0的解集为
A.(-00,0)U(2,+oo)B.(0,2)C.(-00,2)D.(2,+oo)
例4.己知函数/(x)在R上是减函数,且/(2)=-1,则满足了(2x-4)>-l的实数x的取
值范围是.
例5.已知函数〃力=:^1的定义域为[2,+8),贝|不等式/(无2+2)>/(尤2-2%+8)的
JL十X
解集为()
A.|,4^|B.[2,3)C.(f,3)D.(3,y)
例6.已知函数/(x)的定义域为R,且对任意的为,X2且X#X2都有
\f(xi)-f(%2)](xi-X2)>0成立,若f(~+1)>fCm2-m-1)对x^R恒成立,则实
数机的取值范围是()
A.(-1,2)B.[-1,2]C.(-oo,-1)U(2,+oo)D.(-oo,-1]U[2,+00)
题型四搞定分段函数的单调性
方法规律:
(3a-l)x+4a,尤<1
例1.若函数/(x)=<,,是定义在R上的减函数,则。的取值范围为()
-ax.x>l
L+00D.1
A.—,+00
8J3
一,x21
例2.若F(x)=彳%是A上的单调减函数,则实数a的取值范围为一.
-x+3a,x<1
八/、ax,x<0,(羽)
例3.已知函数/(x)=%.,「满足对任意石片々,都有''"‘'〃<()
(〃一3)%+4〃,%2。%—%2
成立,则〃的取值范围是
ax.x>0
例4.已知函数/(%)=。°八,满足对任意,都有成立,那么XW九2,都有
ax+3a-Q,x<0
“石)一/(々)>0成立,那么实数a的取值范围是.
题型五函数奇偶性的判断
方法规律:
(一)奇、偶函数的定义
1、奇函数的定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有—xw。,
且/(f)=-/(彳),则这个函数叫做奇函数。
2、偶函数的定义:设函数y=g(x)的定义域为。,如果对。内的任意一个X,都有-xwD,
且g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数。
(二)奇、偶函数的性质
奇函数偶函数
定义域关qF原点对称
/(一%)=-f(x)/(一X)=f(x)
y随x的变号而变号y随尤的变号而不变号
图象关于原点对称图象关于y轴对称
在原点两侧的对称区间上的单调性相同在原点两侧的对称区间上的单调性相反
若/(x)在x=0处有定义,贝4/(0)=0/(x)=/(-x)=/(|x|)
/。)=0是既奇又偶函数
1、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件;函数/(X)是奇函数是函数
/(X)的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形的充分且必要条件;函数g(x)是偶函
数是函数g(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形的充分且必要条件。
2、〃x)=0除外的所有函数奇偶性满足:
奇函数土奇函数=奇函数奇函数x奇函数=偶函数奇函数士偶函数=非奇非偶
奇函数x偶函数=奇函数偶函数土偶函数=偶函数偶函数x偶函数=偶函数
3、任意/(x)都可写成一个奇函数(p(x)=,⑴—八一二和一个偶函数w(x)=八刈+/J-
的和。
4、常见的奇函数:々>0且"W1
⑴f(x)=ax-a-x;(2)f(x)=xn(n为奇数);⑶/(%)=sin%;
Xlx1X,—x2x
a—aa—1a+aa+1
(4"(x)=tanx;(5)/(x)=,(x)=2x;
ax+a~xa2x+l'ax-a~xa-l
(6)/(x)=^—f(x)=;(6)/(x)=logfl(^—^),/(x)=log“(^^);
1+a1-a1+x1-x
(7)/(x)=log。(7X2+1+x),f(x)=log”(7X2+1-x),f(x)=log。(^/(^)2+1+bx),beR。
5、常见的偶函数:(1)/(%)=优+。一";⑵/(%)=|九|;
(3)f(x)=xn(n为偶数);(4)f(x)=msxo
例1.下列函数为偶函数的是()。
A、/(x)=x2+x+lB、g(x)=x3C>/z(%)=e*D、w(x)=ln(x2-1)
例2.下列函数中,为偶函数的是()
A.y=(x+1)2B.y=2~xC.y=|sinx|D.y=lg(x+1)+/g(x-1)
例3.下列函数中是奇函数的为()
A.y=j(?-x^B.y=\x-1|C.y=-3/+亦.y=4^
21+1
例4.已知函数/(x)=r——,g(x)=2x,则下列结论正确的是()
2^-1
A./(x)g(x)为奇函数8?/(%)g(x)为偶函数
C./(%)+g(%)为奇函数D-/(x)+g(%)为非奇非偶函数
例5.设函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(九)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中
正确的是()
A./(x)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数
C./(x)lg(x)l是奇函数D.|/(%)g(%)|是奇函数
例6.函数/(x),g(x)在区间[-a,a]上都是奇函数,有下列结论:
①/(无)+g(无)在区间[-a,a]上是奇函数;
@f(x)-g(x)在区间[-a,a]上是奇函数;
@f(x)(无)在区间La,a]上是偶函数.
其中正确结论的个数是()
A.OB.IC.2D.3
例7.下列判断正确的是
A.函数/(x)=x—2”是奇函数B.函数/(X)=龙+—1是非奇非偶函数
x-2
—x2+l,x>0
2
C.函数/(%)=<是偶函数D.函数/(幻=1既是奇函数又是偶函数
1
—x9—1,x<0
2
例8.下列函数中,既是奇函数且在(0,+")上单调递增的函数有()
A.y=sinxB.V=%C._y=2X-ID.y-x3
例9.下列函数中,既为奇函数又在定义域内单调递增的是()
xr23
A.y=10-10"B.y=log2(x+1)C.y=xD.j=|sinx|
例10.函数/(%)=%-->()
X
A.奇函数,且值域为(0,+oo)B.奇函数,且值域为R
C.偶函数,且值域为(0,+oo)D.偶函数,且值域为R
题型六已知函数奇偶性求参数
方法规律:注意奇函数和偶函数的性质,必要时可以套数字求解答案.
比如奇函数满足f(-x)=-f(x),就可以令X=1或者其他在定义域内的数,套进去从而
求出答案。切记定义域(a,b)一定要关于原点对称,也就是a,b互为相反数即a+b=O
注意:若函数式尤)的定义域内含0且为奇函数,则必有式0)=0,但若为偶函数,未必有人0)
=0.
例1.函数y=f(x)在区间[2a—3,a]上具有奇偶性,则a=.
例2.设函数/(x)=(x2+为奇函数,则a=o
-4x
例3.若/(x)=—a_-3x为奇函数,贝!|。=
2
例4.若函数/(x)=厂+("+1)"+"为奇函数,则实数。=()。
x
A、-1B.0C、1D、2
例5.若函数/(x)=症+(2a2-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为()
A.IB.-1C.1或一0
例6.若函数y=a.3'+:为偶函数,则。=.
例7.已知函数/(力二丁,?—2-x)是偶函数,则。=.
例&若函数/■(力=/咕4(4*+1)-丘为偶函数,则4=,f(0)=?
例9.若定义域为[2a—10,3a]的函数/(%)=5*+2阮—3a+1是偶函数,则a=,
b=.
例10.已知,(久)=(a-l)x3+b/是定义在[b,2+切上的偶函数,则/6等于.
题型七利用奇偶性求函数值
方法规律:
1.先判断函数整体的奇偶性,通过奇偶性的性质求出对应的函数值.
2.若函数整体的奇偶性判断不出,则去判断局部函数的奇偶性,然后再求对应
的函数值.
5/?
例1.已知/(%)=〃%----1-2(a,beR),且[(5)=5,则/(一5)=()。
x
A、—15B、—5C、—1D、1
例2.已知函数/(x)=/nl+依+4(其中加、〃是常数),且/'(2020)=3,贝(J
/(-2020)=.
例3.已知/00=x2021+以3—bsinx—7,/(—5)=4,则/(5)=.
例4.已知函数式无)=9+5皿X+10^10,若八°)=2,则八一4)=.
题型八利用奇偶性求解析式
方法规律:
已知区间[a,加上的解析式,求[一仇一切上的解析式
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用的奇偶性写出一人一x)或八一此,从而解出
注意:若函数於)的定义域内含0且为奇函数,则必有即)=0,但若为偶函数,未必有人0)
=0.
例1.函数4x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,_/(x)=—x+1,求人x)的解析式
例2.设/(x)为奇函数,且当x>0时,f{x}=ex-\,则当x<0时,/(尤)=()
A.e-lB.e-x+\C.3-ID.—
例3.已知函数y=/(x)在R上为偶函数,且当时,/(无)=炉—2x,则当%<0时,
/(九)的解析式是.
例4.已知函数y=/(x)的图象关于y轴对称,且当x<0时,/(x)=x2—2x+3.则/(x)在x>0上的
表达式为.
例5.已知/(x)为奇函数,当x>0时,f{x)=lm-3x,则/(-I)的值为.
例6.函数"%)是定义在H上的偶函数,且当x>0时,/(x)=2x-4,则1)=
例7.已知危)是奇函数,且当xvO时,危)=—e*若加12)=8,贝!J〃=.
题型九奇偶性结合单调性求解集
方法规律:
利用单调性和奇偶性解不等式的方法:
⑴充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为外1)次X2)或加1)勺/2)
的形式,再利用单调性脱掉了'求解.
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式
组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
⑶若f(x)为奇函数,则f(a)+f(b)>0即可翻译成f(a)>-f(b),则f(a)>f(-b).
(4)若f(x)为偶函数,只需套公式f(x)=f(|x|),也就是加个绝对值上去,然后再找出该函数
在(0,+8)的单调性即可,通过单调性去掉f,再求绝对值不等式即可得到答案.
(5)若遇到求组合式的解集,即采取数形结合的方式,通过奇偶性与单调性画出f(x)的简
图从而求解.
例1.已知函数/'(x)是定义在R的奇函数,且在区间(YO,大?)上单调递减,若
f(3x+1)+/(1)三0.则实数%的取值范围是。
例2.已知函数y=/(x)在定义域[—1,1]上是奇函数,又是减函数,
若人1—4)+八1—0<0,求实数。的取值范围____________o
例3.己知奇函数五尤)在[0,+◎上单调递增,且式1)=1,则满足次无一1)区1的x的取值范围
是()
A.[-1,1]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,3]
例4.定义在[-1,1]的函数/(%)满足下列两个条件:①任意的x都有
/(-%)=-/(%);②任意的佻〃《[。川,当mwn,都有/(〃)/(〃)<0,则不等式
m—n
/(I—3%)</(左一1)的解集是()
例5.定义在[—2,2]上的偶函数人x)在区间[0,2]上单调递减,若火1—附勺(附,求
实数m的取值范围_______________1.
例6.已知/(久)是定义在[26,1-切上的偶函数,且在[240]上为增函数,则/(久一1)Wf(2%)
的解集为
例7.已知/(无)是定义在R上的偶函数,且在区间(-8,0]上单调递增,若实数“满足
-①,则。的取值范围是.
例8.已知函数〃尤)是定义在R上的偶函数,在区间[0,+8)上单调递增,且/(2)=0,则
不等式/(log2x)>0的解集为
例9.已知偶函数/(x)满足:对任意的玉,x2e[0,+8)(玉工工,),都有了(%)一"无2)>0成
xi-x2
立,则满足了(2x-l)</(g)的x取值范围是()
12121212
A-(3,3)B-[3,3)C-(i'3)D-
例10.已知函数/(x)是定义在[-2m,1+向上的偶函数,且对任意442e[-2〃z.O],当
x尸多时,/&)—*/)>o,则m=.不等式/(2x—l)W/(4x)的解集为
例11.已知定义在R上的函数〃尤)满足/(%)=/(-x),且在(0,+8)上是增函数,不等式
/(◎+2)W/(—1)对于xe[l,4恒成立,则。的取值范围是
31
A.B.—1,--C.----,0D.[0,11
2jL2JL」
例12.函数/(x)=+3+x,贝Ij不等式/(2一/)+/(2%+1)>0的解集
例13.已知函数人所岛-1,且上,-1)>八3),则实数x的取值范围是().
A.(2,+OO)B.(-00,2)C.(1,+oo)D.(-oo,l)
例14.设/(?)=a,+x,若/(3)=6,则不等式/(2x—1)>f(x)的解集为.
例15已知定义在A上的奇函数片f(x),当x〉0时,/(x)=2l+x-l,则关于x的不等式
f(2-x2)<f(x)的解集为.
例16.已知/'(尤)是定义在R上的奇函数,当x20时,/(x)=x2+2x,若f(a2-2)<f(a),
则实数。的取值范围是.
例17.设偶函数八%)的定义域为R,当x?[0,+⑹时,汽x)是增函数,则八一2),
火兀),4一3)的大小关系是()
A.火兀)/一3)次一2)B.火兀)/一2)?(_3)
C.八兀)勺(一3)勺(一2)D.火兀)<*—2)勺(一3)
例18.偶函数y=/(x)在区间[0,4]上单调递减,则有()
A./(f)>/(-1)>/(--)
C./(-〃)>/(-1)>/(f)D./(-I)>/(-?)>/(?)
例19(数形结合后
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