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专题43相关点法确定圆的轨迹

【方法点拨】

1.双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深

难求.

2.建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式.

3.消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程.

【典型题示例】

例1在平面直角坐标系尤Oy中，已知点A(3,4),B,C是圆0：/+9=4上的两动点，

且BC=2后，若圆。上存在一点P使得通+/=7%而(相＞0),则正数m的取值范

围是.

【答案】[4,6]

【分析1BC是定长弦，动中取静,直接取的中点为D易求出点。的轨迹方程是/+y2=l,

再求另一动点P的轨迹方程，利用m的几何意义求出其取值范围.

【解析】设的中点为。，则。。=1,故点D的轨迹方程是r+尸=1

为BC的中点

/.AB+AC=2AD

2AD=mOP

设。(九,y),P(x0,y0)

2x-6=nvc

???2(%—3?—4)=加(%,%),故有《

[2y-S=my0

又：「(％,北)在圆。上

224)22

/.x0+y0=4,故有0—3)2+(y—=加

这里加的几何意义是点。(羽y)到点A(3,4)的距离

又：点D的轨迹方程是f+丁=1

.?.点。(羽y)到点A(3,4)距离的最大值是6,最小值是4

：.m的取值范围是[4,6].

例2已知是圆。：(+y2=2的一条弦，且=M是42的中点，若动点P(f,f

+2),Q(m,-2),使得四边形PM0Q为平行四边形，则实数机的最大值是.

【答案】-3

【解析】易得点M的轨迹方程是尤2+产=g

???四边形PMOQ为平行四边形

：.OM=QP

设(x0,y0)=(?-mJ+4),

又??M(x0,y0)在圆/+y2=g上

211

-m)2+(/+4)-=—,可看作动点与动点,-4)距离的平方是5

实数初的最大值是一3.

例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：V+Cv—1)2=1及点A(G,0),设点尸圆C上

的一动点，在中，若NACP的平分线与AP相交于。(相，〃)，则厢二厂的取值范

围是.

…力、一年2V7+2-

【答案】-------------

33

AQAC—?一

【解析】由角平分线性质定理得启=7石=2?.AQ=2QP

3m-^3

%o=

2

设？(%,%){m-73,n)=2(x0-m,y0-n),故有＜

|%=万3n

又?.?尸(%,%)在圆。上

’3加一6)(3n八2(73?(2丫4

2卜51

〔3J13；9

故点。的轨迹是以1J为圆心1为半径的圆

vy/nr+n2的几何意义是点Q到坐标原点的距离

L~B(百丫(2?2V7+2

+n的最大值、取小值分别是J+—+~=—-—

V333

(6丫(2丫2_A/7-2

+⑴-3=3

故府方的取值范围是五二2,也出

【巩固训练】

1.若点A在圆C:(x—l『+(y+2)2=4上运动，点8在y轴上运动，定点尸(3,2),贝|

\PA+PB\的最小值为.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知A,8为圆C：。+4>+&-a>=16上两个动点，且45

=2”!1.若直线/：y=2尤上存在唯一的一个点P,使得前+而=近，则实数。的值

为

3.已知AABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点。满足

AQ=^AP+^AC,贝”苑|的最小值是.

4.在平面直角坐标系xOy中，己知点4(2,2),E、R为圆C:(x—炉+(y—=4上的

两动点，且ER=273，若圆C上存在点P，使得AE+AF=mCP,m>0,则m的取

值范围为.

5.已知点。为圆。：/+丁=4的弦的中点，点A的坐标为(1,0),且加?丽r=1,则

OAOD的最小值为.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A,8分别为x轴，>轴上一点，且AB=2,若点

PQ,后,则所+而+叫的取值范围是.

7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M,N分别是边BC,CD上的两个动点，且BM+

DN=MN,则疝?尿的最小值是.

8.在平面直角坐标系xOy中，直线小fcc—y+2=0与直线氏x+处一2=0相交于点P,则

当实数%变化时，点P到直线x—y—4=0的距离的最大值为.

9.已知A,B是圆Ci：x2+y2=l上的动点，AB=[5,P是圆C2：(x—3)2+(y—4)2=l上的

动点，则函+闻|的取值范围是.

10.设定点M(—3,4),动点N在圆/+产=4上运动，以。M、0N为两边作平行四边形MONP,

则点P的轨迹是.

【答案或提示】

1.【答案】3

【解析】设A5的中点为Q(x,y),A&,%),6(0,%)

演=2x

,所以4

%+乂yY=2y-y2

2

..?点A在圆。上

（2x—l）2+（2y—乂+2）2=4,Up（x-1）2+（y-^+l）2=1

它表示以C'（g,券—1）为圆心，1为半径的圆

3

?*-PQ^=PCmin-i=-

?.?。为A3的中点

：.PA+PB=2PQ

故|西+方|的最小值为3.

2.【答案】2或-18

【解析一】设A2的中点为M（xo,yo）,P（x,y）,

则由AB=2?,得CM=N16-11=邓,即点M的轨迹为ao+4）2+（yo—。）2=5.

又因为友+?亍=/\所以句

即（北）_》，州―丫）=（-2,3，

xo=x-2,

从而1,a则动点P的轨迹方程为@+2）2+（厂郛=5,

州=）+5，、々

又因为直线i上存在唯一的一个点P,所以直线i和动点P的轨迹（圆）相切，

?40|

则“、3=^=巾,解得a=2或。=—18?

V（-l）2+22

【解析二】由题意，圆心C到直线42的距离&=716-11=小,

则AB中点M的轨迹方程为（尤+4）2+。-。）2=5.

由高+定=碇，得2句/=/，所以说〃员

如图，

连结CM并延长交I于点N,则CN=2CM=2乖.

故问题转化为直线I上存在唯一的一个点N,使得CN=2y[5,所以点C到直线I的距离

I2（-4-3）|

为---//、,r-=2邓,解得。=2或a=—18-

V（-l）2+22

3.【答案】々-2

3

【解析】以点A为坐标原点，AB为x轴正半轴，使得C落在第一象限，建立平面直角坐标

系

设P(x(),%)，Q(x,y)

2133

X=-XnH--=—x——

2__.1__.32,,24

贝ij由而得:厂,故＜

2V33373

:点P在单位圆上

为圆心,2为半径的圆

3

又BD=币,所以|丽|的最小值是近-1.

4.【答案】|^A/2—1,^2+1J

【分析】取EF中点为M，连接40,得到通+通=2汨，由近+福=机丽,，〃>0

得到机=而，再由E、歹为圆C:(x—I)?+(y—I?=4上的两动点，目EF=26，

得到

|CM|=1,设M(x,y),求出点M的轨迹，再由点与圆位置关系，求出日而|的取值范围,

即可求出结果.

【解析】取所中点为川，连接40,

则赤+赤=2血，

又圆C:(x—l)?+(y—1)2=4上存在点尸，使得衣+/=帆丽/〃>0,

所以2加=加而，

因此21AAi|，即"z=|AAf］；

因为E、歹为圆C:(x—l)?+(y—I)?=4上的两动点，且EF=26，

所以|C"|==1，设M(x,y),

则J(x-l)2+(y_l)2=1，即(x—iy+(y—I)?=1即为动点M的轨迹;

所以|加|表示圆（x-l）2+（y—1）2=］上的点与定点42,2）之间的距离,

因止匕|AC|—if丽+即近一丽7上0+1.

GPV2-l<m<V2+l.

故答案为：［应-1,3+1］

AD-+OD-=5,

设O(x,y),贝亚(％—1)2+力+(%2+出=5,B|J(x-1)2+/=1

133

设?>(5+1cos/5sin0)(其中oteR)

则OA-OD=—+—cosa

22

所以［次?两皿=—1（当COS1=—1时，“=”成立）.

6.【答案】［7,11］

7.［答案】8^2-8

8.［答案］3^2

9【答案】［7,13］

10.【答案】圆：（x+3）2+（y—4>=4,除去两点（一|,S和（一卷，f）

【解析】如图所示，设如，y）,N（x0,y0）,则线段OP的中点坐标为住,

线段MN的中点坐标为。展，吟可.由于平行四边形的对角线互相平分,

,,xxo—3vyo+4“左卜。=工+3

故1=。2=^-从而1=y_4.

N（x+3,丫-4）在圆上，故（x+3）2+（y—4）2=4.

因此所求轨迹为圆：（x+3）2+（y—4产=4,

但应除去两点（一,，并和（一卷，卷）（点尸在直线0M上的情况）.