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湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三上学期第一次阶段性
考试数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.命题“训>。,淖-1<%”的否定是()
A.Vx>0,B.Vx<0,ex-l>x
C.Vx>0,ex-l>xD.Vx<0,ex-l>x
2.已知全集。=乩集合A={xeZ|140),B={x|x>2},则AIgB=()
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{x|-l<x<2}D.{^|-l<x<2}
3.若函数力(幻=1僦-3办2_2在[1,2]上单调递增,则实数。的取值范围为()
A.B.1一00,;C.(-co,l)D.
4.函数/⑺=1一,sin1+1的部分图象大致为().
e-e
5.函数/(x)是定义在R上的偶函数,且/(l+x)=/(l-x),若xw[0,l],/(x)=2\贝U
/(2024)=()
A.4B.2C.1D.0
ax+1-a,fix,)—fix)
6.已知函数〃x)=,若",尤240,2),引中%,都有八一,八成
2,1<x?2%2—%
立,则。的取值范围为()
A.(0,2]B.(-oo,l]C.(0,1]D.(0,+功
7.若命题:Fa,6eR,使得a-cosbO-cosa”为假命题,贝!ja,6的大小关系为()
A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b
8.若正实数七是方程e"+l=aln(ax-1)的根,则1。-%=()
A.-1B.1C.2D.-2
二、多选题
9.已知。>0”>。且a+》=2,则下列不等式恒成立的是()
1o
A.的最小值为2B.―+彳的最小值为3+2夜
ab
C.仍的最大值为1D.后+振的最小值为2
10.给出下列命题,其中正确的命题有()
A.函数/(x)=x-3+logsx的零点所在区间为(2,3)
B.若关于x的方程-机=0有解,则实数机的取值范围是(。」
C.函数y=bg2,与函数y=21og2X是相同的函数
D.若函数。┞恪▁)+/(D=2,则/0+,品+--+/品+/(总=9
11.关于函数〃x)=:+21n无,下列判断正确的是()
A.尤=;是〃尤)的极大值点
B.函数>=/(力-x有且只有1个零点
C.对左>1不等式f(x)<履在[1,+8)上恒成立
D.对任意两个正实数%,马,且为>%,若〃菁)=/(%),则玉+%>1
三、填空题
12.已知函数。=产2(:+4),-4;<1,若/(/(0))=4匹则实数0=_________
IX+cue,X21,
试卷第2页,共4页
13.已知命题「:k-4<4,命题g:(x—l)(2-x)>0,若。是4的必要不充分条件,则实数。
的取值范围是
14.设定义在。上的函数y=h(x)在点尸(%,"(x。))处的切线方程为/:y=g(x),当x/%时,
若/i(x)_g(x)>0在〃内恒成立,则称尸点为函数y=〃(x)的“类对称中心点,,,则函数
X-XQ
2_
/(x)=Fx+lnx的“类对称中心点”的坐标是
四、解答题
15.已知VA2C的内角A民C的对边分别为a,6,C,AABC的面积为
;a(csinC+6sinB-asinA).
⑴求A;
(2)若a=2,且VA2C的周长为5,设。为边8C中点,求AD
16.已知等差数列{4}满足+%=1。,%-。3=2.
⑴求{4}的通项公式;
⑵设等比数列也}满足&=%,&=%设%=5。“-?,数列{&}的前〃项和为S“,求S"的
最大值.
17.如图,在四棱锥尸-ABCD中,平面丛8,平面ABCD,PA_LAB,AB〃C?>,且
P
(1)证明:平面PAC_L平面PBC;
(2)求平面上4。与平面夹角的正弦值.
18.已知M为圆x?+y2=9上一个动点,垂直无轴,垂足为N,。为坐标原点,AQW的
重心为G.
⑴求点G的轨迹方程;
(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线/与曲线C相交于A、8两点,点。(0』),若点H(石,0)
恰好是AABQ的垂心,求直线/的方程.
19.已知函数〃数=J"'*1--,aeR.
⑴讨论函数g(x)=犷(x)的单调区间:
⑵若函数〃彳)有两个不同的零点王,尤2,
①求。的取值范围,
2
②证明:a(X)+x2)>4.
试卷第4页,共4页
参考答案:
题号12345678910
答案CABDCCBAACABD
题号11
答案BCD
1.C
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
x,,
【详解】命题“玉0>0,/。-1<%”的否定是“以>0,e--L>X,
故。篊
2.A
【分析】求出两个集合,再求出进而求出an①B即可.
x-3f(x-3)(无+1)<0
【详解】由上一《0,可得「二,解得—l<x?3,由于1?Z.
x+1"+lw0
故4={0,1,2,3}.
因为5=卜国2},则电8={x|x<2}.
故AI”={0,1,2}.
故。篈.
3.B
【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可.
【详解】hXx)=^-ax,
若函数/?(%)=Inx-十q2-2在[1,2]上单调递增,
则”(%)=?-狈2。在[1,2]上恒成立,
故a在[1,2]上恒成立,
故aVq.
4
故。築
4.D
【分析】根据题意,得到函数〃x)为奇函数,排除B、C,再由x>0时,/(x)>0,即可
答案第1页,共13页
求解.
【详解】由函数即上+1,可得函数的定义域为(-s,O)U(O,〃),
且满足A-X)=(F)2一:/(丁)+1=_'-3畛+1=于⑴,
e-ee-e
所以函数”X)为奇函数,图象关于原点对称,所以B、C不符合题意;
又由当x>0时,er-e-1>0,x2-sin2x+l>0,所以/(x)>0,
所以A不符合题意,D符合题意.
故。篋.
5.C
【分析】根据奇偶性和对称性,得到函数周期,再运用周期性解题即可.
【详解】函数解I是定义在R上的偶函数,则F(X)=〃T),由于/(1+无)=/(1一x),
则/(I+(x-l))=/(l-(x-l)),故/(无)=f(-x+2),
故/(-x+2)=/(-x),所以函数/")周期为2.
则/(2024)=/(2024-2x1012)=/(0)=2°=1.
故。篊.
6.C
【分析】首先分析出函数单调递增,再根据函数单调性定义得到不等式组,解出即可.
【详解】因为对于V&x,e(0,2),外力马,都有"々)一〃*)>。成立,所以函数/'(X)是增
/一玉
函数,
则函数y=(zx+1_a(04x41)和y=2Ff(l<x42)均为增函数,且有1M2~,
a>0
即4W1,解得
2?>1
故。篊.
7.B
【分析】由命题的否定为真命题,转化为,+cosa>〃+cos。成立,构造函数利用导数判断
单调性即可得解.
【详解】由题意,命题的否定b^R,使得4-8$。>。-85々”为真命题,
答案第2页,共13页
艮|3a+cosa>Z?+cos〃,
设/(%)=%+cosx,贝lj/\x)=l-sinx>0,
所以/。)为增函数,
所以由/⑷>/S)可知
故。築
8.A
【分析】利用题干中的方程,构造函数/'(无)=xe'+无,进行求解.
【详解】由题可知,xeA+x=axln(ox-l),即xe*+x=ln(ox-l)eM3T)+ln(ox-l),
令"尤)=xe"+无,?(x)=(x+l)e"+l>0,在区间(。,+(?)上恒成立,
则/(x)在(0,+。)上单调递增,
/(x)=/(ln(ar-l)),
因为正实数不是方程e'+l=41n(or-l)的根,
r
所以飞=ln(以()-1),BPe°=axQ-\,gpe*-ac0=-1.
故。篈
【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用方程同构,构造函数/(x)=xe'+x,从而得到
XQ=皿啄—1).
9.AC
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A,2^a2+b2)=a2+b2+a2+b2>a2+b2+2ab=(a+b^,
所以/+/Ja+6)=2,当且仅当a=8=l时,等号成立,故A正确;
2
3+20
对于B,
~2~
当且仅当彳=:时,。=2(0-1)8=2(2-应)时等号成立,故B错误;
对于C,a+b=2>2y[ab,故必<1,当且仅当a=b=l时,等号成立,故C正确;
答案第3页,共13页
对于D,由A知,5+冒上+与,故°?(3石),
故(&+扬)<4,Q<4a+4b<2,当且仅当。=b=l时,等号成立,
故6+〃的最大值为2,故D错误.
故。篈C
10.ABD
【分析】根据函数的解析式得到/(2)/(3)<0,结合零点存在定理,可判定A正确;根据
指数函数的性质,可判断B正确;根据相同函数的判定方法,可判定C错误;由
f(x)+f(l-x)=2,求得/(g)=1,结合分组法,可判定D正确.
【详解】对于A中,由“r)=x-3+log3X,可得函数/(x)=x-3+log3X为单调递增函数,
可得/(2)--1+1呜2<0,/(3)=log33>0,即/⑵/⑶<0,
所以函数/。)=》-3+1083苫的零点所在区间为(2,3),所以A正确;
对于B中,由指数函数的性质,可得gJe(0,l],
若关于x的方程U-机=0有解,即方程[;=根有解,
所以实数机的取值范围是(0』],所以B正确;
对于C中,函数y=log2/的定义域为{x|xw0},函数y=21og2X的定义域为{x|x>0},
所以函数yfog?/与函数y=210g2X不是相同的函数,所以C错误;
对于D中,因为函数/(x)满足f(x)+/(l-x)=2,
令x=g,可得/§)+/(:)=2,解得/弓)=1,
又由/[J楣卜???+楣?喘
+/琉+,儒)+佃=4X2+1=9,所以D正确.
故。篈BD.
答案第4页,共13页
11.BCD
【分析】对于A,直接对函数f(x)=J+21nx求导研究即可;对于B,构造函数
g(x)=〃x)-无=:+21nx-x,求导,利用单调性来判断即可;对于C,将问题转化为
%+羿在[1,+动上恒成立,构造函数〃(x)=(+&/,求其最大值即可;对
于D,将问题转化为证明x),x[o,?|,构造函数g(r)=/⑺—〃1T),利用
导数求其最值可得答案.
11o7r—1
【详解】对于A,?."(x)=—+21nx,(无)=一吃+4=三「,
XXXX
当0<x<<时,r(x)<0,函数/(x)=,+21n尤在[o,;]上单调递减,
LX\乙)
当尤〉工时,r(x)>0,函数/(x)=1+21nx在上单调递增,
2
.,.x=g为/(X)的极小值点,A错误;
对于B,^(x)=/(x)-x=—+21nx-x,
则g'(x)=_3+2_]=弋°?0,所以函数g(x)在(0,+“)上单调递减,
又g(l)=l+21nl-l=0,所以函数y=〃a)-x有且只有1个零点,B正确;
对于C,若〈日在[1,+功上恒成立,
得上=±+也在[1,+⑹上恒成立,
XXX
…71121nx
贝!J%>二+,
%_max
人7/、121nx、-22—2Inx—2+2x—2x\nx
令〃(x)=F+----,贝I//(x)=F+——;—=-------3-------,
XXXXX
令%(x)=-2+2x-2xlnx,々'(x)=-21nx,
当xe[l,+oo)时,Z'(x)VO,々(x)单调递减,
.?.左(x)(左(l)=-2+2-21n2=0,即〃(x)WO,
.??(元)在[1,+功上单调递减,
故函数〃(x)1mxi0)=1,则上>1,C正确;
答案第5页,共13页
对于D,令,jo,;
g⑺=/(才)_/(17)=1+21皿_^^-—21n(1T)=1—21
+2ln—
ti-t《IT)1-t
-2Ml-2f)+2*lz?,1—+/=-⑵-了
则g'(f)=22-22<0
f(I-/)t(i-r)/(/-l)
「超⑺在(o,?|上单调递减,
则g(f)>g]?|=0,即/⑺—〃1T)>O,
,**>%2,/(%)=f(^2),结合A选项可得玉>5,。<%2<5,1—%2>3,
--.f(X])>f(1-^),函数”x)=:+21nx在[;,+1?)上单调递增,
贝U石>1一,西+巧>1
即对任意两个正实数网,%且%>尤2,若/(%)=/(吃),则不+.巧>1,D正确.
故。築CD.
【点睛】关键点点睛:本题难点在选项D,将问题转化为证明x),xe(0,?|是
关键,然后构造出函数g?)=/?)-〃1T)来解决问题.
12.2
【分析】先计算/(0),再计算7(2)即得解.
【详解】解:/(/(o))=/(log24)=/(2)=4+2a=4a,所以a=2.
故答案为:2
13.[-2,5]
【详解】试题分析:p:〃-4<x<a+4,q-A<x<2,因为P是4的必要不充分条件,所以4
是P的真子集,gpa-4<l,2<a+4=>-2<?<5
考点:充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法:直接判断“若P则q”、“若q则P”的真假.并注意和图示相结合,例如“p=q”为
真,则p是q的充分条件.
2.等价法:利用p=>q与非q今非p,q今p与非p今非q,p=q与非qTEp的等价关系,对于
答案第6页,共13页
条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.集合法:若AUB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的
充要条件.
【分析】由求导公式求出函数/G)的导数,由导数的几何意义和条件求出切线方程,再求
出y=g(尤),设=于3-g(无),求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调
性的关系,判断出F(x)的单调性和最值,从而可判断出“司一g(”的符号,再由“类对
x-x0
称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标.
Y1Y2
【详解】解:由题意得,f(x)==+—,/(xo)=—+Inx.(x>0),
ex2e
即函数y=/(x)的定义域。=(0,+°°),
所以函数y=/(x)在点PGo,/(xo))处的切线方程/方程为:
y-(+Inx.)=(4+—)(x-xo),
2/。e/
贝1g(%)=(与+——)(%-%0)+(-^r+lnx.),
eX。2/0
Y2X1r2
设F(x)=f(%)-g(x)=--+lnx-[(方o+—)(x-xo)+(—^-+Znx)],
2eexo2e0
则F(xo)=0,
x1x1x-x11
所以p(X)=fx)-g'(%)=4+——(4n-+—)a-----
1
exex0exx0
=3(f)+x」(f):一]
exx0xx0J
当OVxoVe时,F(%)在(xo,一)上递减,
%
Axe(xo,—)时,F(x)<F(xo)=0,此时
%x—xQ
e2,.
当xo>e时,尸(x)在(一,xo)上递减;
%
此时](x)_g(x)<0,
AXG(一,xo)时,F(x)>F(xo)=0,
%0x—xQ
?'?y=F(x)在(0,e)U(e,+°°)上不存在“类对称点”.
答案第7页,共13页
若XH,却常金-1=与《>。,则/⑴在(。,+8)上是增函数,
当x>xo时,F(x)>F(xo)=0,当%Vxo时,F(x)<F(xo)=0,
故"X)-g(x)>O,
x-x0
即此时点尸是>=/(无)的“类对称点
综上可得,y=F(x)存在“类对称点”,e是一个“类对称点”的横坐标,
又/(e)=^+lne=^,所以函数/(x)的“类对称中心点”的坐标是,,
故答案为:?
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间,求函数的最值问题、新定义的问题,考查
了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用,以及化简变形能力,此题是难题.
71
5(匕
⑵姬
6
【分析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边,再利用余弦定理即可得解;
(2)根据三角形的周长,结合余弦定理求出左,再向量化即可得解.
【详解】(1)依题意,—a(csinC+bsinB-asmA)=—absinC,
22
所以csinC+Z?sinB—asinA=bsinC,
由正弦定理可得,c2+b2-a2=bc,
由余弦定理,c2+b2-a2=2bccosA,解得cosA=g,
因为AE(O,TI),所以A=1;
(2)依题意,b+c=5-a=3,
因为/+/一匕。=(6+。)2一3人。=〃2,解得6C=1,
—?1—?—?
因为AO=5(A3+AC),
32—。
2
所以赤2」(通+市)2J~+L+°C=S+C)一儿=—
44446
所以4。=叵.
6
答案第8页,共13页
A
16.⑴。〃=2〃+2
(2)80
【分析】(1)根据已知条件求得{%}的首项和公差,由此求得知.
(2)利用分组求和法求得结合导数求得S“的最大值.
【详解】(1)设等差数列{%}的公差为d,则”=4一%=2,
又4+%=10,得4+q+2=10,解得卬=4,所以q九=4+2(几一1)=2九+2.
⑵设等比数列低}的公比为4,贝加=。3=8,4=。7=16,所以4=勺=?=2,4=%=4,
“23q
所以功=4x2,=2’=128,bn=4x2"一=2向,则c?=5an-b?=5(2〃+2)-2"”,
所以S.=5[4+6+…+(2〃+2)卜4(1_2")=5X〃(4+2W+2)_4(2"_I)=-2n+2+5H2+15H+4,
1—22
令/(x)=-2X+2+5d+15x+4(xeN+),则/'(x)=-2X+2In2+1Ox+15,
由于xwN+,当时,f'(x)>0,函数/(x)单调递增;
当天。5时,f'(x)<0,函数/(x)单调递减,
且〃5)=-128+125+75+4=76,44)=—64+80+60+4=80,
所以当〃=4时,S,有最大值且最大值为S4=80.
17.(1)证明见解析
⑵巫
4
【分析】(1)先由线段关系证AC1_3C,结合面面垂直的性质判定线线垂直,利用线线垂
直证线面垂直;
(2)建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量计算面面角即可.
【详解】(1)由题意AB=2CD=2AD=23C=2,贝U/ABC=60。,
答案第9页,共13页
因为BC=1,AB=2,所以NACB=9(r,AC_LBC,
因为平面PAB_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,
且PA_LAB,PAu平面,
所以上4_L平面ABC。,
因为BCu平面ABC。,所以R4JLBC,
且ACp|PA=A,AC,PAu平面PAC,所以3C_L平面PAC,
又3Cu平面尸3C,所以平面PAC_L平面P3C;
(2)如图,以A为原点,/,轮分别为x轴,V轴正方向,在平面A38内过点A作平面
ABC的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
所以衣=(1,0,0),通=PB=(-l,2,0),BC=
设平面PAD的一个法向量4=(x,_y,z),
及「AP=尤=0
则,_____.y也z,令z=-l,得4=(0,g,-l),
n,-AD=^-+—=0
设平面PBC的法向量%=(m,n,p),
n2-PB=-m+2n=0
则小品=4+与=0令P=1,得巧=(2),A/3,1),
2_1
设平面尸AD与平面尸5c的夹角为,,贝"os6=
2^4-4
答案第10页,共13页
所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为Vl-cos20=姮.
4
18.(1)作+>2=1(孙wo)
⑵"反弋
2%
X=
【分析】(1)设G(x,y),M(Xo,%),根据G为的重心,得,~T代入其+y;=9,
A
3
化简即可求解.
(2)根据垂心的概念求得勺=石,设直线/方程,与椭圆联立韦达定理,利用得
=T,将韦达定理代入化简即可求解.
玉-V3x2
【详解】(1)设G(x,y),□(%,%),则N(%,0),因G为A6腑的重心,
_2%
X=~T~32
故有:,解得%=?,%=3y,代入片+乂=9,化简得土+丁=1,
y=A24
13
又不%W0,故孙WO,所以G的轨迹方程为9+产=1(孙NO).
(2)因H为AAB。的垂心,故有
1-0V3
所以k]=布,故设直线/的方程为y=J§x+7"(7"wl),
9=雇TTF
丫2
与1+>2=1联立消去丁得:13x2+Sy/3nvc+4m2—4=0,
由A=208—16机2>o得根2<13,
nm
设A(%,yJ,8(%,%),则用+%=一弋,中2=4L;4,
由AH_L5Q,得X.石.-j1=_],所以%2(%—月)+(豆%1+m)(君%2+加一1
=0,
所以4菁%2+6(机—1乂%+犬2)+m2_根=0,
所以4(4/—4^—24m(m—1)+13^m2—mj=0,化简得5/+llm-16=0,
解得机=1(舍去)或加=-?(满足A>0),故直线/的方程为y=.
答案第11页,共13页
19.(1)
答案见详解
(2)①(0,1);②见答案详解.
【分析】(1)写出g(x),求导,根据。的正负判断g'(x)的符号,进而求出单调区间.
(2)①分离参数求导,把有两个交点即可;②把/(x)变成整式,;叫十:二即2作
xzinx??JL—ax?
差得到_2也%,把〃(玉+电)2>4中。换掉,变量集中,令土=乙得到l?+D.21nr>4,
求导证明即可.
【详解】(1)g(x)=21nx+l-依2,定义域为(0,+8),g'(x)=Z_2办=2(1?/)
XX
当。40时,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)递增;
(向
当a>0时,x?0,—g'(x)<0,
a
.?.8(%)在(0,逅]递增,
[a)
综上所述:当时,递增区间为(0,+8),无递减区间;
当。>0时,递增区间为0,,递减区间为——,+8.
a
\7
(2)①/⑺有两个不同的零点再,尤2,生产-依=0有两个根,即。=岑1有两个根,
人.、21nx+1mi7,/\-41nx
令h(x)=F,贝1]〃(尤)=匚「
则xC(0,1)时,"(x)>0,h(x)递增;xe(l,+8)时,h/^x)<0,h(x)递减,
,力(无)极大值为〃⑴=1,当X-+8时,/i(x)f0,当尤->0时,h(x)->-oo,
二。的范围为(0,1).
答案第12页,共13页
21叫+1=ax;
②,."(力有两个不同的零点%,马
21nx2+1=竭
两式作差得21吁=。(无;_々2)221n—
,要证〃(玉+%2)>4,及证___与(百+々)2〉4,
2j玉21n,z\
即证:占(…)>4,同除马,得到小年+小
玉一尤2X2
不妨设。<玉<々,令彳=土,贝1"40,1),
X2
贝I]证明叵0-21nf>4,即证1可一2?^<0,
t-1t+1
令°(x)=ln%_2"1),则d(x)=井。,
t+1
则租⑺在(0,1)上增,且e(l)=0,.?.0(尤)<0,.*(玉+々)2>4.得证.
答案第13页,共13页
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