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试卷第1页,共4页常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说:甲不是5人中分数最高的,乙不是5人中分数最低的,而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有()A.42种B.72种C.78种D.120种5.已知α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,下列条件中,一定得到直线l丄αA.α丄β,l//βB.l丄a,a//α6.已知函数f(x)=coswx(w>0)的最小正周期为T.若2π<T<4π,且曲线y=f(x)关于点试卷第2页,共4页停)中心对称,则f(π)=()8.已知函数f(x)=loga(a的取值范围是(),9.已知平面内两个单位向量a-,b-的夹角为θ,则下列结论正确的有())10.甲、乙两选手进行象棋比赛,有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),且每局比赛的结果互不影响,则下列结论正确的有()A.若采用3局2胜制,则甲获胜的概率是p2(3-2p)B.若采用5局3胜制,则甲以3:1获胜的概率是5p3(1-p)C.若p=0.6,甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D.若p=0.6,采用5局3胜制,在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是311.已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a<b),2为f(x)的极大值点,则下列结论正确的有()B.若4为函数f(x)的极小值点,则b=4试卷第3页,共4页C.若f(x)在内有最小值,则b的取值范围是D.若f(x)+4=0有三个互不相等的实数解,则b的取值范围是(5,+∞)12.已知正数x,y满足2xy=x+4y,则xy的最小值为.13.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(cosα,sinα),将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转至线段OP,.若cosα=,则点P,的纵坐标为.14.已知一个母线长为1,底面半径为r的圆锥形密闭容器(容器壁厚度忽略不计能够被整体放入该容器的球的体积最大时,r=.15.某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系,测量了对应的五组数据如下表:x23456y47(1)求y关于x的经验回归方程;(2)请估计x=3.5时,对应的y值.附:在经验回归方程其中y,x为样本平均值.16.在锐角VABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.(1)求的值;(2)若a=2,求VABC的面积.17.某校由5名教师组成校本课程讲师团,其中2人有校本课程开设经验,3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程,该期校本课程结束后,再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.(1)在第一次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和数学期望;(2)求“在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.试卷第4页,共4页18.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+2).(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;(3)若vx1,x2∈R,都有f(x1)-f(x2)≤m,求实数m的最小值.19.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知CD1丄底面ABCD,AB//CD,AB丄AD,AB=2AD=2CD=2,AA1=·5,点E是线段BD1上的动点.(1)求证:B1C1//平面BCD1;(2)求直线AE与BB1所成角的余弦值的最大值; (3)在线段BD1上是否存在与B不重合的点E,使得二面角B-AE-C的正弦值为?若存在,求线段BE的长;若不存在,请说明理由.【分析】解不等式化简集合A,再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意,而B=(-3,?1,0,2,3},所以A∩B={-1,0,2}.故。篋【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案.【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知b=eaa=lnb,所以“b=ea”是“a=lnb”的充要条件.故。篈【分析】设z=a+bi,a,b∈R,代入已知条件,求得a,b,进而求得z-z.a2-b2+2b-1+2a(b-1)i=0,故。築【分析】先计算A,然后减去不符合题意的情况,由此求得正确答案.【详解】不符合题意的情况是:甲是最高分或乙是最低分,所以这5名同学的可能排名有A-A-A+A=78种.故。篊【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.【详解】对于A,α丄β,l//β,则l与α相交、平行或lα,故A错误;对于B,l丄a,a//α,则l与α相交、平行或lα,故B错误;对于C,l//a,a丄α,由线面垂直的性质知l丄α,故C正确;答案第1页,共13页答案第2页,共13页对于D,l丄a,l丄b,acα,bcα,则l与α相交、平行或lα,故D错误.故。篊.【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心,建立方程,可得答案.由f(x)=coswx,则当wx=kr(te2)时,函数f(x)取得对称中心,由题意可得化简可得所以f(x)=cosx,则f(r)=cos故。築.【分析】根据同角三角函数的平方式,求得已知角的正弦值和余弦值,结合余弦的差角公式,可得答案.由oc()易知2α∈(|(,π),,解得oe(到,所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,由cos2β=cos2β-sin2β=-,sin2β=2sinβcosβ=,解得此时α+β∈答案第3页,共13页 此时2<0,则α+β∈)π,,由cos2β=cos2β-sin2β=-)π,,故。築.sin2β=2sinβcosβ=,【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析,从而确定正确答案.【详解】y=2-ax在[1,2]单调递减,:x=2时,2-2a>0另外,0<a<1时,y=logat单调递减,:f(x)在[1,2]单调递增,:f(x)max=f(2)=loga(2-2a)≥1,:2-2a≤a,:a≥.综上所述,a的取值范围是.故。篈【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.2),所以A选项正确.B选项,解得cosθ=-,0≤θ≤π,所以,所以C选项错误.-D选项,a-在b上的投影向量为,所以D选项错误.故。篈B答案第4页,共13页【分析】对于选项A:采用3局2胜制,甲获胜分为一二局甲胜,一三局甲胜,二三局甲胜三种情况分别计算求和即可;对于选项B:采用5局3胜制,要让甲以3:1获胜,则前三局中甲胜两局,第四局甲胜;对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率,比较即可;对于选项D:在甲获胜的条件下比赛局数X=3,4,5,借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断.【详解】对于选项A:若采用3局2胜制,甲获胜分为一二局甲胜,一三局甲胜,二三局甲胜三种情况,则最终甲胜的概率为P1=p2+p(1-p)p+(1-p)p2=p2(3-2p),故选项A正确;对于选项B:若采用5局3胜制,要让甲以3:1获胜,则前三局甲胜两局,最后一局甲胜,则甲以3:1获胜的概率是P2=C2(1-p)p=3p3(1-p),故选项B错误;对于选项C:因为p=0.6,结合选项A可知,若采用3局2胜制,最终甲胜的概率为P1=p2(3-2p)=0.62(3若采用5局3胜制,甲获胜的比分为3:0,3:1,3:2三种情况,所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是P因为0.68256>0.648,所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大,故选项C正确;对于选项D:因为p=0.6,且采用5局3胜制,甲获胜的概率为P3=0.68256在甲获胜的条件下比赛局数X=3,4,5由条件概率公式可知:所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是故选项D错误.故。篈C.答案第5页,共13页【分析】先求得f,(x),然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】对于A,f,(x)=2(x-a)(x-b)+=(x-a)(3x-a-2b),f"f(x)在(-∞,a)单调递增单调递减单调递增,\f(x)的极大值点为a,:a=2,A对.对于B,若4为极小值点,则=4,则b=5,B错.对于cf(x)在内有最小值,则f(x)在处取得最小值)2)2,)),)3)3,(b-3)2b≤(b-2)3,对于Df(x)=-4有三个互不相等的实数解,f(2)=0,3故。篈D【点睛】关键点睛:导数的准确求解与符号分析:通过求导并分析导数的符号变化,是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确,是得出正确答案的基础.条件验证的完整性:对于多项选择题,通过完整地验证每个选项的条件,可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时,要特别注意每个条件的符号和数量判断.【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】依题意,2xy=x+4y≥2Jx.4y=4Jxy,当且仅当x=4y=4时等号成立.xyxy所以xy的最小值为4.故答案为:413【分析】根据任意角三角函数的定义,结合诱导公式,可得答案.【详解】由题意可知,终边为OP的角为α,则终边为OP,的角为α-,点P,的纵坐标为sin(|α-)=-cosα=- 3【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法,结合导数来求得正确答案.【详解】如图所示,圆锥的轴截面是△PAB,设△PAB内切圆的半径为R,也即圆锥内切球的半径为R, 设f(r)=(r>0),f,(r)=在区间<0,f(r)单调递减,在区间答案第6页,共13页答案第7页,共13页所以当r-当5时,f(r)取得极大值也即是最大值,所以当能够被整体放入该容器的球的体积最大.故答案为【点睛】关键点睛:几何模型的准确构造:通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径,是解题的关键.几何模型的正确设定为后续的导数求解提供了基础.导数与单调性的结合应用:在求解极值问题时,利用导数分析函数的单调性,是找到最大值的有效方法.通过对函数的求导,并结合单调区间的判断,可以确保解的准确性.【分析】(1)根据回归方程的求法求得正确答案.(2)利用回归方程求得预测值.(2)1【分析】(1)根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式以及同角三角函数商的关系求解即(2)利用正弦定理以及三角形面积公式求解即可.【详解】(1)由1—cos2A=4sinAsinBsinC,得2sin2A=4sinAsinBsinC,答案第8页,共13页即sinA=2sinBsinC,:sin(B+C)=2sinBs:sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,:VABC为锐角三角形,:cosB≠0,cosC≠0,整理得tanB+tanC=2tanBtanC,即(2)由(1)知sinA=2sinBsinC,根据正弦定理得a=2bsinC,17.(1)分布列见解析,数学期望为【分析】(1)根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.(2)利用全概率公式来求得正确答案.【详解】(1)X的可能取值为0,1,2,所以随机变量X的分布列为X012P 35 其数学期望为(2)用B表示事件“在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1”,用Ai(i=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是i”,A0,A1,A2两两互斥Ai=Ω,由(1)知P由全概率公式得.所以在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为.(3)4【分析】(1)根据函数的奇偶性求得f(x)的解析式.(2)根据切点和斜率求得切线方程.(3)先求得f(x)的值域,由此求得m的最小值.【详解】(1)依题意,函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,当x>0时,f(x)=-f(-x)=—e—x所以(2)x>0时,f,,切点(2,0),:f(x)在x=2处的切线方程为(3)当x=0时,f(0)=0.所以,当x<—3时,f′cx)<0,函数f(x)单调递减,且f(x)<0.当3<x<0时,f′x)>0,函数f(x)单调递增,且当x→0,f(x)→2.答案第9页,共13页答案第10页,共13页所以,当x<0时,f(x)的取值范围是[-e",2).因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,可得f(x)的取值范围是(-2,e"].所以函数f(x)的值域为(—2,2).由题vx1,x2∈R,都有f(x1)—f(x2)≤m,其中f(x1)—f(x2)的取值范围是[0,4),所以实数m的最小值为4.【点睛】思路点睛:利用函数性质求解析式:首先根据奇函数的性质和已知条件,确定函数的解析式,这一步奠定了后续求解的基础.利用导数求切线方程:通过求导得到函数在特定点的斜率,从而求得曲线的切线方程.单调性与值域的结合:通过分析函数的单调性,确定其值域,从而找到实数m的最小值.19.(1)证明见解析(3)存在,BE=【分析】(1)根据四棱柱的几何性质,结合线面判定定理,可得答案;(2)根据直线与其斜交平面内的直线的交角的取值范围,求得平面与直线的夹角,结合法向量与线面距,可得答案;(3)求得组成二面角的两平面的法向量,结合夹角的向量公式,建立方程,可得答案.【详解】(1)在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,易知B1C1//BC,因为B1C1丈平面BCD1,BCC平面BCD1,所以B1C1//平面BCD1.(2)取AB中点F,连接CF,在梯形ABCD中,因为AB=2CD,AB//CD,所以AF//CD,AF=CD,则在口AFCD中,AD//CF,由AD丄CD,则CD丄CF,易知CD,CF,CD1两两垂直,分别以CD,CF,CD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:在四棱柱ABCD—中,AA1=J5,则DD1=,因为CD1丄平面ABCD,CD平面ABCD,所以CD1丄CD,在Rt△CDD1中,C20设平面ABD1设点A1到平面ABD1的距离设直线AA1与平面ABD1的夹角为θ,则sinθ=即cosθ=因为在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1//BB1,且AEC平面ABD1,所以当直线AE与BB1所成角为θ时,其余弦值取得最大值,即为.(3)由题意作图如下:答案第11页,共13页(0,0,2),2,λ,2λ),设平面AEB的法向量可得所以平面AEB的一个法向量m-;=(0,2,1),设平面AEC的法向量-tsal,可得,2设二面角B—AE—C的大小为α,则答案第12页,共13页 BE BE1 BD1==3==.答案第13页,共13页
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