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数学试卷第页(共页)2024年河南信阳浉河区二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.相反数等于4的数是()A.2和﹣2 B.4和﹣4 C.4 D.﹣41.D2.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成,它的主视图是()2.C3.芝麻被称为“八谷之冠”,是世界上最古老的油料作物之一,它作为食物和药物,得到广泛的使用.经测算,一粒芝麻的质量约为0.00000201kg,将0.00000201用科学记数法表示为()A.2.01×10﹣8 B.0.201×10﹣7C.2.01×10﹣6 D.20.1×10﹣53.C【解析】0.00000201=2.01×10﹣6.4.将一个三角尺和直尺如图放置,若∠1=70°,那么∠2的度数是()A.20° B.25° C.30° D.45°4.A【解析】如图,∵a∥b,∴∠3=∠1=70°,∴∠2=180°﹣90°﹣70°=20°.5.下列运算正确的是()A.18?8=10

B.(﹣3a3)2=﹣C.(a﹣1)2=a2﹣1 D.6a2÷3a=2a5.D【解析】∵

18?8=3

2?2

2=2,∴A选项不正确,不符合题意;∵(﹣3a3)2=9a6,∴B选项不正确,不符合题意;∵(a﹣1)2=a2﹣2a+1,∴C选项不正确,不符合题意;∵6a2÷3a=2a,6.点A(﹣3,y1)、B(﹣1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数

y=k2+3x(k为常数)的图象上,则y1、y2A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y36.D【解析】∵k2+3>0,∴反比函数图象在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减。逜(﹣3,y1)、B(﹣1,y2)在第三象限内,C(2,y3)在第一象限内,﹣1>﹣3,∴y1>y2,∴y2<y1<y3.7.一元二次方程(x+1)(x﹣1)=2x+3的根的情况是()A.只有一个实数 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根7.C【解析】原方程可化为x2﹣2x﹣4=0,∴b2-4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣4)=20>0,∴原方程有两个不相等的实数根.8.将抛物线y=(x﹣2)2+1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的表达式是()A.y=(x﹣2)2 B.y=(x﹣1)2+2C.y=(x﹣4)2+2 D.y=x2+28.D【解析】将抛物线y=(x﹣2)2+1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的表达式是y=(x﹣2+2)2+1+1,即y=x2+2.9.如图,将边长为

13的菱形OACB绕其对角线的交点顺时针旋转90°后,再向右平移3个单位,则两次变换后点C对应点C′的坐标为()A.(2,4) B.(2,5) C.(5,2) D.(6,2)9.C【解析】∵菱形的边长为

13,∴点B的纵坐标为

(13)2?32=2,∴菱形的中心的坐标为(0,2),∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后,再向右平移3个单位的点C的对应点C′10.河南是中原粮仓,粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标,粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义.其中,电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示,将粮食放在湿敏电阻R1上,使R1的阻值发生变化,其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示.观察图象,下列说法不正确的是()A.当没有粮食放置时,R1的阻值为40Ω B.R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小C.该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5% D.湿敏电阻R1与粮食水分含量之间是反比例关系10.D【解析】A.当没有粮食放置时,即水分含量为0,由图象可知R1的阻值为40Ω,故本选项不符合题意;B.由图象可知,R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减。时狙∠畈环咸庖猓籆.由图象可知,该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%,故本选项不符合题意;D.由图象可知,当水分含量为0时,R1的阻值为40Ω,此时水分含量×R1=0,不符合成反比例关系的定义,故本选项符合题意.二、填空题11.因式分解:m3﹣9m=

.11.m(m+3)(m﹣3)【解析】原式=m(m2﹣9)=m(m+3)(m﹣3).12.不等式组

?x?112.﹣3≤x<﹣1【解析】由﹣x﹣1>0得,x<﹣1,由﹣2x﹣6≤0得,x≥﹣3,∴原不等式组的解集为﹣3≤x<﹣1.13.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是

.13.1【解析】将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记为A、B、C、D,画树状图如下,由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种,∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是21214.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2

3,以点C为圆心,CB的长为半径画。階B边交于点D,将

︵绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为

.14.2【解析】由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,AC=2

3,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC

=33AC=2,∴阴影部分的面积=

12×2

315.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=20,CD是△ABC的中线,E是边BC上一动点,将△BED沿ED折叠,点B落在点F处,EF交线段CD于点G,当△DFG是直角三角形时,CE的长为

.15.5或

25【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=20,∴

AB∵CD是AB的中线,∴

AD=DB=CD=12AB=55,如图①,当∠GDF=90°时,过点D分别作DH⊥BC于点H,DI⊥FG于点I,∴∠BHD=∠FID=90°,由折叠可知∠B=∠F,DB=DF,∴△BHD≌△FID(AAS),∴DH=DI,∴四边形DIEH是正方形,即DH=HE=EI=DI,在△BCD中,DC=DB,DH⊥BC,∴点H是BC的中点,且点D是AB中点,∴DH是Rt△ABC的中位线,∴

EH=DH=12AC=5,∵

CH=BH=12BC=10,∴CE=CH﹣DH=10﹣5=5;如图②,当∠DGF=90°时,过点D作DH⊥BC于点H,∴

CD=BD=12AB=55,∵DH∥AC,AD=DB,∴CH=BH=

答案图①

答案图②三、解答题16.计算:(1)

(?(2)(x﹣2y)2﹣x(x+4y).16.解:(1)

(

=9﹣9

+

=3(2)(x﹣2y)2﹣x(x+4y)

=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣4xy

=4y2﹣8xy.17.某地政府为了旅游宣传,决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广.现从两家的顾客中各随机抽取20名,进行满意度调查打分(满分10分,只打整数分),并对分数整理、描述和分析,下面给出了部分信息.(。┘酌袼20名顾客的满意度分数为:10,5,8,7,10,8,9,8,10,7,9,7,9,7,6,8,9,6,5,9(ⅱ)乙民宿20名顾客的满意度分数条形统计图如图所示:乙名宿抽取的顾客满意度分数条形统计图(ⅲ)甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示.甲、乙民宿满意度分数统计表民宿平均分众数中位数9分及9分以上人数所占百分比甲7.8598a乙7.75bc30%根据以上信息,解答下列问题:(1)求出上述表中的a,b,c的值;(2)五一假期期间,共有80人入住甲民宿,60人入住乙民宿,估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有多少人?(3)根据以上表中信息,你会选择哪一家为“最美民宿”?用尽可能多的统计量说明理由.17.解:(1)由题意可知9分及9分以上人数所占百分比

a=乙民宿顾客满意度分数出现次数最多的是8分,共出现5次,∴乙民宿顾客满意度分数的众数是8分,即b=8;将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后,处在中间位置的两个数的平均数为

8+∴中位数是8分,即c=8;(2)80×40%+60×30%=32+18=50(人),答:入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有50人;(3)甲民宿,理由如下:甲民宿顾客满意度分数的平均数、9分及9分以上的人数、众数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、9分及9分以上的人数、众数要大,因此我会选择甲民宿为“最美民宿”.18.如图是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)图①中点M,N都是格点,请仅用无刻度的直尺作出MN的中点P,要求保留作图痕迹,不写作法.(2)图②中△ABC的三个顶点都是格点,请仅用无刻度的直尺作出△ABC的角平分线AD,要求保留作图痕迹,不写作法.(要求:△ABC的角平分线AD用实线表示,其它线用虚线表示.)18.解:(1)如图①,点P即为所求;答案图①(2)如图②,线段AD即为所求.答案图②19.为落实“双减”政策,丰富课后服务的内容,某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品,两个商店的优惠活动如下:甲:所有商品按原价8.5折出售;乙:一次购买商品总额不超过300元的按原价付费,超过300元的部分打7折.设需要购买体育用品的原价总额为x元,去甲商店购买实付y甲元,去乙商店购买实付y乙元,其函数图象如图所示.(1)分别求y甲,y乙关于x的函数关系式;(2)两图象交于点A,求点A的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.19.解:(1)由题意可得,y甲=0.85x,当0≤x≤300时,y乙=x,当x>300时,y乙=300+(x﹣300)×0.7=0.7x+90,则y乙

=x(2)令0.85x=0.7x+90,解得x=600,将x=600代入y甲=0.85x得,0.85×600=510,∴点A的坐标为(600,510);(3)当x<600时,去甲体育专卖店购买体育用品更合算;当x=600时,两家体育专卖店购买体育用品一样合算;当x>600时,去乙体育专卖店购买体育用品更合算.20.天中柱又名天中塔,始建于2007年,是天中人心中新的标志性建筑,某数学社团在综合实践活动中,组织成员分组测量天中塔AB的高度,如图②是其中一次(同一时刻)测量活动场景抽象出的平面几何图形,已知AB⊥FC,CD⊥EC,点F、B、E、C在一条直线上.下面是两组不同的方案数据:第一组第二组①标杆DC=2.0m;②标杆底部到天中塔底部的距离BC=29m;③从D点看A点的仰角为63°.①标杆DC=2.0m;②标杆的影长CE=3.0m;③天中塔的影长BF=88.26m.(1)请你依据第一组的数据计算天中塔AB的高度;(2)第二组成员事先通过推导得出:同一时刻“

标杆长标杆影长=天中塔高天中塔20.解:(1)如图,过点D作DG⊥AB,垂足为G,∵CD⊥CF,AB⊥CF,∴四边形CDGB是矩形.∴CD=BG=2m,BC=GD=29m.在Rt△AGD中,∵tan∠ADG

=A∴AG=tan∠ADG?DG=tan63°?DG≈1.96×29=56.84≈57m.∴AB=AG+BG≈57+2=59m.答:三圣塔AB的高度约为59m;(2)∵同一时刻“

标杆长∴

CD∴AB

=CD答:两组同学的最后结果是一致的.21.综合与实践.某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑,于是他们走进汽车研发中心考察,刹车距离.【知识背景】“道路千万条,安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障,由于惯性的作用,行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止,这段距离称为刹车距离.【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车,现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时,对它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下:刹车后行驶的时间t0123刹车后行驶的距离y0274863发现:①开始刹车后行驶的距离y(单位:m)与刹车后行驶的时间t(单位:s)之间成二次函数关系;②汽车刹车后行驶的距离y随刹车后行驶的时间t的增大而增大,当刹车后行驶的距离最远时,汽车完全停止.【问题解决】请根据以上信息,解决下列问题:(1)求y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);(2)若汽车刹车4s后行驶了多长距离?(3)若汽车司机以题中相同速度行驶时发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面,立刻刹车,问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车?试说明理由.21.解:(1)设y=at2+bt+c,将(0,0),(1,27),(2,48)代入,得

c=解得

a=∴y关于t的函数表达式为y=﹣3t2+30t;(2)当t=4时,y=﹣3×42+30×4=72,答:汽车刹车4s后,行驶了72m;(3)不会.理由如下:∵y=﹣3t2+30t=﹣3(t﹣5)2+75,∴当t=5时,汽车停下,行驶了75m,∵75<80,∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车.22.阅读与思考学习了圆的相关知识后,某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动,请仔细阅读,并完成相应任务.如图①,A是⊙O外一点,过点A作直线AC,AE分别交⊙O于点B,C,D,E,则有AB?AC=AD?AE.证明:如图①,连接BE,DC∵∠BCD=∠BED(依据:①

)∠CAD=∠EAB,∴△ACD∽△AEB.∴

ADA∴AB?AC=AD?AE.任务:(1)上述阅读材料中①处应填的内容是

,②处应填的内容是

;(2)兴趣小组的同学们继续思考,当直线AE与圆相切时,是否仍有类似的结论?请将下列已知、求证补充完整,并给出证明.已知:如图②,A是⊙O外一点,过点A的直线交⊙O于点B,C,

.求证:AE2=

22.解:(1)同弧所对的圆周角相等(或圆周角定理),

AC(2)AE与⊙O相切于点E,AB?AC.证明:如图,连接CE,BE,连接BO并延长交圆O于点D,连接DE,∵AE与⊙O相切于点E,∴OE⊥AE,∴∠AEO=90°,∵BD是⊙O直径,∴∠BED=90°,∴∠AEB=90°﹣∠BEO=∠OED,∵OE=OD,∴∠OED=∠D,∴∠AEB=∠D,∵∠D=∠C,∴∠AEB=∠C,∵∠A=∠A,∴△AEB∽△ACE,∴

AE∴AE2=AB?AC.23.综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:将一副等腰直角三角板两斜边重合,按图①放置;操作二:将三角板ACD沿CA方向平移(两三角板始终接触)至图②位置.根据以上操作,填空:①图①中四边形ABCD的形状是

;②图②中AA′与CC′的数量关系是

;四边形ABC′D′的形状是

;(2)迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板,继续探究,已知三角板AB边长为6cm,过程如下:将三角板ACD按(1)中方式操作,如图③,在平移过程中,四边形ABC′D′的形状能否是菱形,若不能,请说明理由;若能,请求出CC′的长;(3)拓展应用在(2)的探究过程中:当△BCC′为等腰三角形时,请直接写出CC′的长为

.23.解:(1)①正方形;【解法提示】∵△ABC,△ADC都是等腰直角三角形,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是正方形.②AA′=CC′,平行四边形;【解法提示】根据平移的性质可得,AA′=CC′,如图①,连接AD′,BC′,∵△ABC,△ADC都是等腰直角三角形,∴AB=C′D′,∵将三角板ACD沿CA方向平移(两三角板始终接触),∴AA′=CC′,A′D′=BC,且∠A′=∠BCC′=45°,∴在△A′AD′和△CC′B中,

A′D′=CB∠A′=∠BCC′AA′=C′C,∴△A′AD′≌△CC′B(SAS),∴AD′=C答案图①(2)可以是菱形,理由如下:如图②,连接AD′,BC′,∵AB=6cm,∠ACB=30°,∠ABC=90°,∴AC=12cm,∠BAC=60°,∵将三角板ACD沿CA方向平移,∴CD=C′D′=AB,CD∥C′D′∥AB,∴四边形ABC′D′是平行四边形,∴当BC′=AB=6cm时,四边形ABC′D′是菱形.∵BC′=AB=6cm,∠BAC=60°,∴△ABC′是等边三角形,∴AB=AC′=BC′=6cm,∴CC′=AC﹣AC′=6cm;答案图②(3)6cm或

63【解法提示】∵含30°角的直角三角板,即∠ACB=30°,AB边长为6cm,∴AC=2AB=2×6=12cm,如图③,当BC′=CC′时,△BCC′为等腰三角形,∵∠ACB=30°,BC′=CC′,∴∠CBC′=∠BCC′=30°,∴∠ABC′=∠ABC﹣∠CBC′=90°﹣30°=60°,且∠BAC′=60°,∴BC′=AC′,∴点C′是AC的中点,∴

CC′=12AC=12×12=6cm;如图④,当BC=C′C时,△BCC′为等腰三角形,∵∠ACB=30°,AB=6cm,∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,

BC=3AB=63cm,∵△BCC′为等腰三角形,BC=C′C,∴

CC′=CB=63cm;如图⑤,当BC=BC′时,△BCC′为等腰三角形,与答案图③

答案图④

答案图⑤

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