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云南省丘北二中2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.2.已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值为()A.2 B.3 C.5 D.83.是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则()A. B. C. D.4.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.5.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是()A. B. C. D.8.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线9.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i10.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.11.已知随机变量的分布列是则()A. B. C. D.12.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.命题“对任意,”的否定是.14.若x,y满足,且y≥?1,则3x+y的最大值_____15.已知,则展开式中的系数为__16.已知集合,,则_____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.18.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.19.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63521.(12分)已知数列满足:对任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比数列,求的通项公式;(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数在上的值域;(Ⅱ)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故。築【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.2、D【解析】

画出函数的图象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出.【详解】解:函数,如图所示当时,,由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3,又∴,,则当时,,则不满足题意;当时,当时,,没有整数解当时,,至少有两个整数解综上,实数的最大值为故。篋【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围,属于较难题.3、B【解析】

设正四面体的棱长为,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,求出面的法向量,设的坐标,求出向量,求出线面所成角的正弦值,再由角的范围,结合为定值,得出为定值,且的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系,进而求出正切值.【详解】由题意设四面体的棱长为,设为的中点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,过垂直于面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则可得,,取的三等分点、如图,则,,,,所以、、、、,由题意设,,和都是等边三角形,为的中点,,,,平面,为平面的一个法向量,因为与平面所成角为定值,则,由题意可得,因为的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,,可得,此时,则,.故。築.【点睛】考查线面所成的角的求法,及正切值为定值时的情况,属于中等题.4、C【解析】

将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故。篊【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.5、B【解析】

构造函数(),求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.6、C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.7、B【解析】

画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.【详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,,故,且.故.故。.【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.8、C【解析】

根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,

方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,

故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.9、B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故。.【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.10、C【解析】

根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故。篊【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.11、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得,得,所以,,因此,.故。篊.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是基本知识的考查.12、C【解析】

求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故。海镜憔Α勘咎饪疾榻患、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、存在,使得【解析】试题分析:根据命题否定的概念,可知命题“对任意,”的否定是“存在,使得”.考点:命题的否定.14、5.【解析】

由约束条件作出可行域,令z=3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为:5【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.15、1.【解析】

由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,

它表示4个因式的乘积.

故其中有2个因式。桓鲆蚴饺。O碌囊桓鲆蚴饺1,可得的项.

故展开式中的系数.

故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.16、【解析】

由集合和集合求出交集即可.【详解】解:集合,,.故答案为:.【点睛】本题考查了交集及其运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2),最大值.【解析】

(1)先证明,,故平面ADC.由,即得证;(2)可证明平面ABC,结合条件表示出,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圆O的直径,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,当且仅当,即时取等号,∴当时,体积有最大值.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积,考查了学生逻辑推理,空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18、(1);(2)证明见解析【解析】

(1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】(1)①当时,恒成立,;②当时,,即,;③当时,显然不成立,不合题意;综上所述,不等式的解集为.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)上述三式相加可得(当且仅当时取等号),,故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用,解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19、(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)连结.由是正三角形,且为中点,则.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,两两垂直.以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,∴,,.设平面的一个法向量为.由可得,.令,则,,∴.设与平面所成角为,则.【点睛】本题考查了空间几何中,面面垂直的性质,线线垂直的证明,及线面角的求法,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.20、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列见解析.【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数,由表格得达标人数,从而得男生中达标人数,这样不达标人数随之而得,然后计算可得结论;(2)由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数,总共选2人,女生有4人,的可能值为0,1,2,分别计算概率得分布列,再由期望公式可计算出期望.【详解】(1)列出列联表,,所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.(2)(i)在“锻炼达标”的学生中,男女生人数比为,用分层抽样方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,人中女生的人数为,则的可能值为,,,则,,,可得的分布列为:可得数学期望.【点睛】本题考查列联表与独立性检验,考查分层抽样,随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力,运算求解能力,属于中档题.21、(1)3;(2);(3)见解析.【解析】

(1)依据下标的关系,有,,两式相加,即可求出;(2)依据等比数列的通项公式知,求出首项和公比即可。利用关系式,列出方程,可以解出首项和公比;(3)利用等差数列的定义,即可证出。【详解】(1)因为对任意,都有,所以,,两式相加,,解得;(2)设等比数列的首项为,公比为,因为对任意,都有,所以有,解得,又,即有,化简得,,即,或,因为,化简得,所以故。(3)因为对任意,都有,所以有,成等差数列,设公差为,,,,,由等差数列的定义知,也成等差数列。【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用,意在考查学生的逻辑推理,数学建模,综合运用数列知识的能力。22、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)把代入,可得,令,求出其在上的值域,利用对数函数的单调性即可求解.(Ⅱ)根据对数函数的单调性可得在上单调递增,再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.【详解】(Ⅰ)当时,,此时函数的定义域为.因为函数的最小值为.最大值为,故函数在上的值域为;(Ⅱ)因为函数在上单调递减,故在上单调递增,则解得,综上所述,实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质,属于中档题.

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