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3.6线性系统的稳态误差分析

在控制系统的分析与设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，通常称为稳态性能。控制系统设计的任务之一是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。本节主要讨论线性控制系统由于系统结构参数、输入作用形式和类型所产生的原理性稳态误差，不包括由于元件的不灵敏区、机械间隙、零点漂移、老化等原因所引起的附加稳态误差。3.6.1误差与稳态误差的定义假设控制系统的结构图如图3-6-1(a)所示，经过等效变换可以化为图3-6-1(b)的形式，系统的误差通常有以下两种定义方法。图3-6-1控制系统的结构图及等效变换图1.误差的定义(1)从输入端定义：系统的误差定义为输入信号

与反馈信号

之差，即由图3-6-1(a)可得用这种方法定义的误差，又称为偏差。由于它是可以测量的，因而在应用中具有实际意义。(2)从输出端定义：系统的误差定义为输出量的期望值

和实际值

之差，即由图3-6-1(b)可得按输出端定义的误差，在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只有数学意义。显然，两种误差定义之间存在如下关系对单位反馈系统而言，由于

，两种误差定义的方法是一致的。本书除了特别说明外，之后讨论的误差都是按输入端定义的误差。2.稳态误差的定义对于一个稳定的系统，当时间

时，系统的误差称为稳态误差

，以

表示，即如果有理函数

sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)，则可根据拉普拉斯变换终值定理，求得系统的稳态误差为对于图3-6-1(a)所示系统，在输入信号R(s)

作用下的误差传递函数为系统的误差为稳态误差为上式表明，稳态误差既与系统的结构参数有关，也与外作用的形式有关。注意到

的分母与闭环传递函数

的分母相同，都是闭环特征方程式，所以应用终值定理的条件实际上包含系统必须稳定。这样的要求是和物理概念一致的，对于不稳定的系统来讲，系统无法进入稳态，求稳态误差就没有意义。3.6.2控制系统的型别由于稳态误差与系统的结构参数有关，这里介绍一种控制系统按开环传递函数中串联积分环节个数来分类的方法。设系统的开环传递函数为其中，K为系统的开环增益，v为系统开环传递函数中所含积分环节的个数。通常根据v

的数值定义系统的型别，称

v=0,

1,

2，…的系统分别为

0型、

Ⅰ型、Ⅱ型等系统。由于当

v>

2

时，对系统的稳定性是不利的，因此除航天控制系统外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不采用。1.单位阶跃输入下面分别讨论在几种典型输入信号作用下，不同类型系统的稳态误差3.6.3典型输入作用下的稳态误差当

r(t)=1(t)时，则

，系统稳态误差为其中

称为静态位置误差系数。对于0型系统，对于Ⅰ型和Ⅱ型系统，由此可见，对于阶跃输入，0型系统的稳态误差为有限值，且稳态误差随开环增益

K的增大而减。虎裥图耙陨舷低车奈忍蟛钗。习惯上常把系统在阶跃输入作用下没有稳态误差的系统称为无差系统，反之则称为有差系统。因此，0型系统为有差系统，Ⅰ型及以上系统为无差系统。2.单位斜坡输入当

r(t)=t

时，则

，系统稳态误差为其中

称为静态速度误差系数。对于0型系统，对于Ⅰ型系统，对于Ⅱ型系统，由此可见，0型系统不能跟踪斜坡输入信号；Ⅰ型系统虽然能跟踪斜坡输入信号，但存在稳态误差，稳态误差随开环增益

K的增大而减。虎蛐图耙陨舷低，稳态时系统能准确跟踪斜坡输入信号，稳态误差为零。3.单位加速度输入由此可见，0型和Ⅰ型系统均不能跟踪加速度输入信号，Ⅱ型系统能跟踪加速度输入信号，但存在稳态误差。与前面情况类似，加速度误差是指系统在加速度信号作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差。当

时，则

，系统稳态误差为其中

称为静态加速度误差系数。对于0型和Ⅰ型系统,对于Ⅱ型系统，表3-6-1列出了各型系统在典型输入信号作用下的静态误差系数和稳态误差。

表3-6-1揭示了控制系统在输入信号作用下稳态误差随系统结构参数及输入形式变化的规律。即在输入一定时，增大开环增益

K，可以减小稳态误差；提高系统型别，可以消除稳态误差。

特别需要指出，通过采用提高系统型别或增大开环增益以消除或减小稳态误差的措施，必然导致系统稳定性降低，甚至造成系统不稳定，从而恶化系统的动态性能。因此应以确保系统稳定性为前提，同时兼顾动态性能指标和稳态性能指标解：(1)先判断系统的稳定性。例3-17已知单位负反馈系统的开环传递函数为

，若输入信号为

，试求系统的稳态误差。系统的闭环特征方程为列出劳斯表为由于劳斯表第一列系数均为正数，因此系统稳定。(2)求稳态误差。将开环传递函数化为时间常数标准形式，即由此可知，该系统为Ⅱ型系统，开环增益为

。当输入

时，

；当输入

时，

；当输入

时，

；系统在输入信号

作用下的稳态误差为①系统必须是稳定的，否则计算稳态误差是没有意义的，因此计算稳态误差之前必须首先判断系统的稳定性。由以上分析可见，掌握了系统结构特征与输入信号之间的规律性联系后，就可以直接由表3-6-1得出稳态误差，而不需要再利用终值定理逐步计算，但是值得注意的是：②这种规律性的联系只适用于典型输入信号作用下的稳态误差，而不适用于扰动信号作用下的稳态误差。③表3-6-1中指的是系统的开环增益

K，即开环传递函数应化为时间常数标准形式。④上述规律适用于按输入端定义的误差，若误差定义有变，则必须将误差化成满足上述定义的形式才能使用本结论。系统在扰动作用下的典型结构图如图3-6-2所示。扰动信号N(s)

作用下的误差传递函数为3.6.4扰动作用下的稳态误差图3-6-2控制系统的结构图扰动作用下的稳态误差为当

时，有即在深度反馈条件下，

主要与

和

有关。而

是误差信号点到扰动作用点之间前向通道的传递函数。例3-18某系统结构图如图3-6-3所示，已知扰动信号

，试分析扰动信号作用于系统不同位置时，稳态误差有何不同？图3-6-3系统结构图解：系统在扰动作用下的稳态误差与

K1

有关，而与K2

和K3

无关。因此，增大扰动作用点之前的前向通道增益，可以减小系统对扰动作用的稳态误差，而增大扰动作用点之后系统的前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差数值。图3-6-3所示系统，当满足

,

时，系统闭环稳定。系统为Ⅰ型系统，当扰动为零时，对单位阶跃输入信号，稳态误差为零。由于扰动作用点不同，相同的扰动会引起不同的稳态误差。对于图3-6-3(a)所示系统，在单位阶跃扰动

作用下，系统的稳态误差为对于图3-6-3(b)所示系统，在单位阶跃扰动

作用下，系统的稳态误差为系统对于阶跃扰动作用的稳态误差为零，由此可以看出，在扰动作用点和误差信号点之间增加积分环节，可减小或消除扰动作用下的稳态误差。由例3-18可见，同一系统对同一形式的扰动作用，由于扰动作用点不同，其稳态误差不一定相同。例3-19某系统结构图如图3-6-4所示，已知输入信号

，扰动信号

，试求系统的稳态误差。解：此系统为二阶系统，当满足

，

时，系统稳定。系统开环传递函数为由开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，开环增益为

。因此总的稳态误差为系统在干扰信号

作用下的稳态误差为系统在输入信号

作用下的稳态误差为利用函数dcgain()可求取控制系统的稳态误差，其调用格式为3.6.5MATLAB实现ess=dcgain(num,den)%其中ess为系统的稳态误差；num和den分别为传递函数的分子和分母多项式的系数按降幂排列构成的系数行向量。解：系统在输入信号作用下的稳态误差为例3-20利用MATLAB求解例3-17系统的稳态误差。clc;clearGs=tf([10,10],[1,4,0,0]);sys=feedback(Gs,1);[num,den]=tfdata(sys,'v');sys1=tf(den-num,den);s=tf([10],[1]);sys2=sys1*s;3.6.5MATLAB实现MATLAB程序如下：运行结果为R1=tf([1],[1,0]);ess1=dcgain(sys2*R1)R2=tf([2],[1,0,0]);ess2=dcgain(sys2*R2)R3=tf([6],[1,0,0,0]);ess3=dcgain(sys2*R3)ess=ess1+ess2+ess3ess1=0ess2=0ess3=2.4000ess=2.4000由运行结果可知，系统在作用下的稳态误差