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重难点04指、对、幕数比较大小问题【七大题型】

【新高考专用】

?题型梳理

【题型1利用单调性比较大小】................................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................2

【题型3作差法、作商法比较大小】............................................................3

【题型4构造函数法比较大小】.................................................................3

【题型5数形结合比较大小】...................................................................3

【题型6含变量问题比较大小】................................................................4

【题型7放缩法比较大小】.....................................................................4

?命题规律

从近几年的高考情况来看,指、对、幕数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一,是高考的热点

问题,主要以选择题的形式考查,往往将哥函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序

比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解,解题时要学会灵活的构造函数.

?知识梳理

【知识点1指、对、塞数比较大小的一般方法】

1.单调性法:当两个数都是指数塞或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或募函数的函数

值,然后利用该函数的单调性比较,具体情况如下:

①底数相同,指数不同时,如优‘和。",利用指数函数>的单调性;

②指数相同,底数不同时,如町和球,利用幕函数单调性比较大小;

③底数相同,真数不同时,如l°g。花和l°g“%,利用指数函数l°g“无单调性比较大小.

2.中间值法:当底数、指数、真数都不同时,要比较多个数的大。托枰罢抑屑浔淞0、1或者其

它能判断大小关系的中间量,然后再各部分内再利用函数的性质比较大。柚屑淞拷写笮」叵档呐

定.

3.作差法、作商法:

(1)一般情况下,作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大。

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理,注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法:

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间;

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值,借助中间值比较大小.

5.构造函数法:

构造函数,观察总结“同构”规律,很多时候三个数比较大。赡苣骋桓鍪岜豢梢缘囊藏了“同构”

规律,所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律,灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法:

(1)对数,利用单调性,放缩底数,或者放缩真数;

(2)指数和幕函数结合来放缩;

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

?举一反三

【题型1利用单调性比较大小】

-1-11

【例1】(2023?陕西商洛?统考一模)已知口=0.9”乃=1。8、。=1。812,则()

23

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

22

【变式1-1](2023?四川南充?模拟预测)已知a=鼾力=(J/=kg』,贝!]()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

231

【变式1-2](2023?广东广州?统考二模)己知a=33,b=24,c=43,则()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【变式1?3】(2023?河南?校联考模拟预测)已知a=ln加力=log37i,c=min2,贝1Ja,瓦c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【题型2中间值法比较大小】

【例2】(2023?陕西宝鸡?校联考模拟预测)已知a=6"瞑)=6四户6,?=0幅0:则()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【变式2-1](2023上?天津河东?高三校考阶段练习)已知a=2-log2?,b=2-log34,c=log23+log34

,则()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

-2024

【变式2-2](2023上?河南开封?高一校考阶段练习)已知a=logi2023力=log20232024,c=2023

3

则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【变式2?3】(2023?浙江嘉兴?统考二模)已知a=I.!?",。=I.213,C=1.3",贝!]()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【题型3作差法、作商法比较大小】

2

已知%=啕2,y=log3,z=?1则%、丫、z的大小关系为

【例3】(2023?山东青岛?统考模拟预测)4

A.x>y>zB.y>x>zC.z>y>xD.y>z>x

【变式3-1](2023?云南?校联考模拟预测)已知a=logi69力=log2516,c=e-2,贝1]()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【变式3-2](2023?贵州六盘水?统考模拟预测)若。=字b=石,c=v,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式3-3](2023?全国?模拟预测)已知a=log8]4,b=log3^e,c=ln2.1,,贝!J()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【题型4构造函数法比较大小】

【例4】(2023?福建宁德?校考模拟预测)记a=0,b=^+l,c=^nn+2,贝|()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

&

【变式4-1](2023?河南?校联考模拟预测)已知实数a,6,c满足a?+log2a=0,2023"=log2023b,c=log7m

,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【变式4-2](2023?全国?模拟预测)已知。=log。09。.18,人=依2-占2,c=ln1+贝U()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【变式4-3](2023?全国?模拟预测)设a=0.21nl0,b=0.99,c=O.9e01,贝!]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【题型5数形结合比较大小】

【例5】(2022?广东茂名?统考一模)已知/y,z均为大于0的实数,且2'=3尸=logsZ,贝收,y,z大小关系正

确的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【变式5-11(2023上?四川?高三校联考阶段练习)已知cz+log2a=4/+log3b=c+log4c=3,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【变式5-2](2023上?广东江门?高一统考期末)已知/(%)=?-X-2,g(x)=logi%-%-2,/i(x)=%3

-久-2的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【变式5-3](2022?河南?统考一模)已知a=e"=/(=(")",则这三个数的大小关系为()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【题型6含变量问题比较大小】

【例6】(2022上?江西吉安?高三统考期末)已知实数a,b,c,满足ln6=e0=c,则a,b,c的大小关系

为()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【变式6-1](2022上?湖北?高三校联考开学考试)已知a,瓦c均为不等于1的正实数,且Inc=alnbjna=力

Inc,贝ija,仇c的大小关系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【变式6-2](2022上?江苏南通?高三统考期中)已知正实数a,b,c满足e,+e"。=e°+屋‘,b=log2

3+log86,c+log2c=2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【变式6-3】(2023上?辽宁丹东?高三统考期末)设小〉1,logma==c,若a,6,c互不相等,则

()

A.a>1B.cWeC.b<c<aD.(c-/))(c-a)<0

【题型7放缩法比较大小】

【例7】(2023?全国?模拟预测)已知a=log2n,b=ln4,c=0.6-1,5,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【变式7-1](2023上?安徽?高二校联考阶段练习)已知a=7n-g,6=6-tc=log53-|log35,则

()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【变式7-2](2023上?江苏泰州?高一泰州中学校考期中)已知三个互不相等的正数见瓦c满足。=/力=

a

log23+loggG^c=log^(2+1),(其中e=2.71828…是一个无理数),贝瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

—/1x0.71

【变式7?3】(2023上?福建漳州?高一校考期中)设Q=O.72023,b—,c=a+而,则()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

1.(2023?天津?统考高考真题)若a=1.01°5力=1.01°,%=0.6°,5,贝b,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

n710-71

2.(2022?天津?统考高考真题)已知a=b=(§),c=log^,则()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.(2022?全国?统考高考真题)设a=0.1e°”=],c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.(2023?全国?统考高考真题)已知函数/(久)=屋。7:记a=f图乃=/停),c=f停),则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

03

5.(2021?天津?统考高考真题)=log20.3,Z?=logl0.4,c=O.4,则a,6,c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

1

6.(2021?全国?统考高考真题)已知a=log52,Z)=log83,c=5,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

7.(2021?全国?统考高考真题)设a=21nl.01,b=lnl,O2,C=7L04-1,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

8.(2022?全国?统考高考真题)已知g-nlO.Cznlom-lLbugm-%则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

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