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2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练(范围:第四、五章)【人教Akok电子竞技(2019)】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1.(24-25高三上·上海·期中)数列an满足:an为正整数,an+1=an2,2.(24-25高三上·全国·自主招生)数列an,a1=2,.3.(2024高三·全国·专题练习)在数列an中,a1=13,前n项和Sn=n4.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)已知数列an满足:a1=1且anan?1=题型2题型2求数列的最大项、最小项5.(23-24高二下·安徽亳州·阶段练习)数列an的通项an=nn2+56.(23-24高二上·上海杨浦·阶段练习)已知数列an的通项公式为an=n22n7.(23-24高二下·辽宁大连·阶段练习)已知数列an的通项公式an=n?197n?1988.(23-24高二下·广东·阶段练习)在数列an中,an=2n?178n题型3题型3求等差数列的前n项和及其最值9.(24-25高三上·北京西城·开学考试)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=3,a10.(2024高三·全国·专题练习)已知数列an满足a1=15,(n+1)an?nan+1=2n(n+1),n∈11.(23-24高二下·山西晋中·阶段练习)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1<0,S6=S2012.(23-24高二上·河南洛阳·期末)首项为正数,公差不为0的等差数列an,其前n项和为S①若S8<S②若S11=0,则③若S13>0,S14<0④若S2=S10,则使其中所有真命题的序号是.题型4题型4求等比数列的前n项和及其最值13.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)已知公比不为l的等比数列an满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列.记S14.(24-25高三上·山东聊城·期中)等比数列an的前n项和记为Sn,若S2=?1,S815.(2024·河北邯郸·模拟预测)记Sn为等比数列an的前n项的和,若a3+a4=1,16.(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知数列an为正项的递增等比数列,a1+a5=82,a2?a4=81,记数列2an题型5题型5等差、等比数列的综合应用17.(24-25高三上·湖南常德·阶段练习)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,b5=318.(2024·湖北襄阳·二模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5,b1=2,a2=2b2+1,a3=b3+5.数列an和bn中的所有项分别构成集合A19.(24-25高三上·宁夏银川·阶段练习)正项等比数列|an满足a1+a3=54,且2a2,20.(24-25高三上·上海长宁·期中)已知数列an是公差不为0的等差数列,a4=5,且a1、a3、a7成等比数列,设bn=a题型6题型6数列的求和21.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)已知数列an满足2n?1a1+2n?2a2+?+2an?122.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)设数列an满足a1+3a2+5a3+?+2n?123.(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)已知函数fx=4x4x+2,数列an满足24.(24-25高二上·全国·课后作业)已知数列an的首项a1=1,且an+1+an=3?2n题型7题型7数列不等式25.(24-25高二上·上海·期中)设Sn是数列an的前n项和,a1=14,且对任意正整数m,n,都有am+n=a26.(24-25高三上·重庆·阶段练习)在数列an中,a1=1,an+1=3an+427.(2024高二·全国·专题练习)在数列an中,a1=3,3a1a2+3a2a328.(24-25高三上·上海·开学考试)已知数列an的通项公式是an=2n?1,记bm为an在区间m,2mm∈N题型8题型8新情景、新定义下的数列问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示29.(24-25高二上·湖南长沙·期中)若数列an满足1an+1?1an=d(n∈N?,d为常数),则称数列an30.(2024·北京通州·三模)若数列{bn}、{cn}均为严格增数列,且对任意正整数n,都存在正整数m,使得bm∈[cn,cn+1],则称数列{b①存在等差数列{an},使得{an②存在等比数列{an},使得{an③存在等差数列{an},使得{Sn④存在等比数列{an},使得{Sn31.(23-24高二下·安徽宿州·期中)定义np1+p2+?+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列an的前n项的“均倒数”为32.(24-25高三上·北京朝阳·期中)对于无穷数列an,若存在常数M>0,使得对任意的n∈N?,都有不等式a2?a1①存在公差不为0的等差数列an具有性质P②以1为首项,qq<1为公比的等比数列an③若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P,则数列an④若数列an和bn均具有性质P,则数列an其中所有正确结论的序号是.题型9题型9两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示33.(24-25高三上·辽宁·期中)已知直线y=x+t是曲线y=lnx?1和y=ax2?3x的公切线,则a+t34.(23-24高二下·湖北武汉·期中)已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex?1与g(x)=ex+2023?2024的公切线,则35.(2024·北京朝阳·一模)已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点Ax136.(2024·河北邯郸·三模)若曲线y=ex与圆(x?a)2+y2=2题型10题型10函数的单调性问题37.(24-25高三上·湖北武汉·阶段练习)已知函数fx=sin.38.(24-25高三上·河北张家口·阶段练习)已知函数fx=x2+x?2ex?2x+539.(2024高三·全国·专题练习)已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x,对任意x∈0,π,有f′xsinx>fxcosx,设a=2fπ6,40.(24-25高三上·安徽·开学考试)定义在R上的函数f(x)满足f(1?x)=f(1+x),当x∈[1,+∞)时,f(x)=12x2?x题型11题型11函数单调性、极值与最值的综合应用41.(23-24高三上·浙江绍兴·期末)设函数fx=x3+ax2?3x?ba,b∈R在x=x1,x=x242.(23-24高二下·安徽合肥·阶段练习)若函数fx=13x3?x243.(23-24高三下·浙江·开学考试)设x1,x2是函数fx=12ax2?e44.(23-24高二下·北京·期末)已知函数fx①当a≥0时,y=fx在0,+②当0<a<12时,③当a≤0时,y=fx④若函数存在两个不同的极值点x1,x2,则其中所有正确结论的序号是.题型12题型12利用导数研究函数的零点(方程的根)45.(24-25高三上·山东济宁·期中)已知函数fx=x2?12lnx46.(23-24高二下·江苏苏州·阶段练习)已知函数f(x)=x?ex,x<1lnxx,x≥1,方程47.(23-24高三上·黑龙江鸡西·期末)已知函数fx=x2,x≤0xex?1,x>0,若关于x48.(2024·全国·模拟预测)已知函数fx=ex,x≤0lnxx,x>0题型13题型13利用导数研究恒成立、存在性问题49.(24-25高三上·上海·期中)已知k为常数,若关于x的不等式(x?k)2exk≤1e对任意的x∈(0,+50.(24-25高二上·浙江宁波·期中)已知函数fx=5ex+alnx+1?a+5x?5,若51.(24-25高三上·江西宜春·阶段练习)若关于x的不等式x2?mx+3m?2≥0在区间1,2上有解,则实数m的取值范围是52.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数fx=lnx2+1,gx=题型14题型14利用导数研究双变量问题53.(23-24高二上·湖南郴州·期末)已知函数fx=12x2,gx=54.(24-25高二·全国·课后作业)若函数fx=x3?3ax2+12xa>055.(2024·江苏南通·二模)已知函数fx=lnx,x≥11?x2,x<1,若Fx=f56.(2023·湖南郴州·模拟预测)已知函数fx=12x2+1?ax?xlnx有两个极值点x1,x2题型15题型15利用导数解决实际应用问题57.(23-24高二下·上海·期末)采矿、采石或取土时,常用炸药包进行爆破,部分爆破呈圆锥漏斗形状(如图),已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,它的值是固定的.当炸药包埋的深度为可使爆破体积最大.
58.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款,小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售,据测算每年利润y(单位:万元)与贷款x满足关系式y=lnx?x?12x+959.(24-25高三上·上海·阶段练习)如图,某城市公园内有一矩形空地ABCD,AB=300m,AD=180m,现规划在边AB,CD,DA上分别取点E,F,G,且满足AE=EF,FG=GA,在△EAG内建造喷泉瀑布,在△EFG内种植花奔,其余区域铺设草坪,并修建栈道EG作为观光路线(不考虑宽度),则当时,栈道EG最短.60.(2024·广东茂名·二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD、BE均与圆C相切,切点分别为D、E,其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.题型16题型16导数中的新定义问题61.(23-24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习)对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0给出定义:设f′x是函数y=fx的导数,f″x是函数f′x的导数,若方程f62.(2024·全国·模拟预测)定义:设函数y=fx在a,b上的导函数为f′x,若f′x在a,b上也存在导函数,则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数,简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0,则称函数y=fx63.(23-24高二下·吉林·期中)已知函数f(x)的导数为f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x①f(x)=x2
②f(x)=e?x
③64.(23-24高二上·全国·期末)如图,对于曲线G所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角α,使得对于曲线G上的任意两个不同的点A,B,恒有∠AOB≤α成立,则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C:y=xex-1+1,x>0,116x2+1,x≤0(其中2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练(范围:第四、五章)【人教Akok电子竞技(2019)】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1.(24-25高三上·上海·期中)数列an满足:an为正整数,an+1=an2,【解题思路】利用递推关系式可推得数列an是周期为3【解答过程】因为an+1=a所以a2=3a1+1=4,a以此类推,可知an+3=an,即数列所以a=674×1+4+2故答案为:4723.2.(24-25高三上·全国·自主招生)数列an,a1=2,?7080.【解题思路】由递推关系式求前几项的值,易判断an【解答过程】由题意可得a1故数列an则a2022=a故2022a故答案为:?7080.3.(2024高三·全国·专题练习)在数列an中,a1=13,前n项和Sn=n【解题思路】当n≥2时,由已知的等式可得Sn?1=n?12n?3a【解答过程】由于数列an中,a1=13所以当n≥2时,Sn?1两式相减可得:an所以n?12n?3n?12n?3所以2n?3a所以an所以a=1a1因此an故答案为:an4.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)已知数列an满足:a1=1且anan?1=【解题思路】根据累乘法求数列通项公式即可.【解答过程】因为an所以a2累乘可得a2即ana1当n=1时,a1所以an故答案为:an题型2题型2求数列的最大项、最小项5.(23-24高二下·安徽亳州·阶段练习)数列an的通项an=nn2+5【解题思路】由作商法求出数列an的单调性,可得a1<【解答过程】因为an=n则an+1令an+1an>1,即解得n=1,所以a2令an+1an所以a1故数列an中的最大项为a2,其值为故答案为:296.(23-24高二上·上海杨浦·阶段练习)已知数列an的通项公式为an=n22n【解题思路】通过列举法进行观察,然后利用差比较法比较求得正确答案.【解答过程】依题意,an则a1当n≥5时,an+1所以当n≥5时,an+1所以数列an的最大项为第3故答案为:3.7.(23-24高二下·辽宁大连·阶段练习)已知数列an的通项公式an=n?197n?198【解题思路】分离常数,然后利用数列单调性求最小项.【解答过程】an当n>198时,a当n<198时,a又当n<198时,a所以当n=14时,a14故答案为:14.8.(23-24高二下·广东·阶段练习)在数列an中,an=2n?178n【解题思路】利用作商法,结合n∈N?,判断得【解答过程】因为an所以an+1an又n∈N?,所以当1≤n≤7时,an+1>a所以a8最大,则n=8故答案为:8.题型3题型3求等差数列的前n项和及其最值9.(24-25高三上·北京西城·开学考试)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1【解题思路】根据等差数列的基本量运算得出通项公式,再根据通项的正负得出和的最大值.【解答过程】设公差为d,因为a1所以d=?1,即an因为n≤3,an所以Sn故答案为:6.10.(2024高三·全国·专题练习)已知数列an满足a1=15,(n+1)an?nan+1=2n(n+1),n∈【解题思路】化简得到an+1n+1?ann=?2,得出a【解答过程】由数列an满足(n+1)an又由a1=15,可得a11=15,所以数列a所以an令ann≥0,即17?2n≥0,解得n≤所以,当1≤n≤8,n∈N?时,ann>0所以数列ann的前n项和的最大值是故答案为:64.11.(23-24高二下·山西晋中·阶段练习)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1<0,S6=【解题思路】根据S6=S20,利用等差数列前n项和公式推得175d=?14a1,结合【解答过程】由题意知a1<0,S6=S则6a1+15d=20因为a1<0,故d>0,即等差数列又由S6=S即7(a13+即等差数列an故Sn取最小值时,n=13故答案为:13.12.(23-24高二上·河南洛阳·期末)首项为正数,公差不为0的等差数列an,其前n项和为S①若S8<S②若S11=0,则③若S13>0,S14<0④若S2=S10,则使其中所有真命题的序号是②③④.【解题思路】①由题意可以推出a9>0,不能推出a10>0,判断①错误;②由题意可得a1+a【解答过程】若S8<S9,则a9若S11=0,则S11=11(若S13>0,S所以a7>0,a8<0若S2=S即2a因为首项为正数,则公差小于0,则a6则S11=11(则使Sn>0的故答案为:②③④.题型4题型4求等比数列的前n项和及其最值13.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)已知公比不为l的等比数列an满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列.记S【解题思路】利用等差数列的性质与等比数列的通项公式求出a1,q,再利用等比数列的前【解答过程】设等比数列an的公比为q,且q≠1因为a1+a∴a1+∴S∴Sk=∴831?当k为偶数时,?1所以k为奇数,设k=2m?1,m∈N则?122m?1即14m>所以正整数m≤2,所以m的最大值为2,此时k的最大值为3,所以使Sk>23故答案为:3.14.(24-25高三上·山东聊城·期中)等比数列an的前n项和记为Sn,若S2=?1,S8【解题思路】由题意知公比q≠1,设首项为a1,根据等比数列公式,由S8=17S4求出q,再代入【解答过程】设首项为a1因为S8=17S所以a1所以1?q8=17?所以q4=16,解得又因为S2=?1,所以当q=2时,a1=?1当q=?2时,a1=1故答案为:?21.15.(2024·河北邯郸·模拟预测)记Sn为等比数列an的前n项的和,若a3+a4=1,【解题思路】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【解答过程】设等比数列an的公比为q,由题意可得q≠1由4S6=7S2又a3+a4=1同理a5+a6=12因为S12所以S12故答案为:631616.(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知数列an为正项的递增等比数列,a1+a5=82,a2?a4=81,记数列2an【解题思路】由下标和性质得到a1?a5=81,从而求出a1、a5,即可求出a【解答过程】因为数列an为正项的递增等比数列,所以a又a1所以a1、a5是关于x方程解得x1=1,所以a1=1a设公比为qq>1,则q4=a5a所以an=3所以Tn=2所以202413Tn?1又函数fx=3x在定义域上单调递增,f5所以n≤6,故正整数n的最大值为6.故答案为:6.题型5题型5等差、等比数列的综合应用17.(24-25高三上·湖南常德·阶段练习)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,b5=3【解题思路】利用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量,并求出{an}的通项,进而有c【解答过程】令{an}的公差为d,{则b1q4所以cn所以数列{cn}的前n故答案为:3n18.(2024·湖北襄阳·二模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5,b1=2,a2=2b2+1,a3=b3+5.数列an和bn【解题思路】由等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差和公比,求得an,bn,由题意可得{cn}【解答过程】设等差数列{an}的公差为d和等比数列{由a1=5,b1=2,a2=2b解得d=4,q=2,则an=5+4(n?1)=4n+1,由a15由{an}和{bn}中无公共项,可得则S20故答案为:557.19.(24-25高三上·宁夏银川·阶段练习)正项等比数列|an满足a1+a3=54,且2a2,【解题思路】先由题意列出关于a1,q的方程,求得an的通项公式,再表示出(【解答过程】设an公比为q,且q>0∴a3=得:2×1∴2×1∴q∵q>0,∴q=2,∴a∴a1=14∴b∴=2∴n=2时,上式有最小值2?4故答案为:2.20.(24-25高三上·上海长宁·期中)已知数列an是公差不为0的等差数列,a4=5,且a1、a3、a7成等比数列,设bn=a【解题思路】设等差数列an的公差为d,则d≠0,根据a32=a1a7求出【解答过程】设等差数列an的公差为d,则d≠0因为a1、a3、a7成等比数列,则a即5?d2=5?3d5+3d,因为所以,an所以,bn对任意的k∈N?,b4k?2=4k?1b4k所以,b4k?3因为2024=4×506,故数列bn的前2024项和为2×506=1012故答案为:1012.题型6题型6数列的求和21.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)已知数列an满足2n?1a1+2n?2a2+?+2an?1【解题思路】根据所给递推关系,得出2n?2【解答过程】当n=1时,a1=3?22n?1当n≥2时,2n?2①?2×②得an所以an当n=1时,a1=2也适合综上,ancnT=n+2故答案为:n+2?22.(24-25高二上·江苏苏州·阶段练习)设数列an满足a1+3a2+5a3+?+2n?1【解题思路】由a1+3a2+5相减可得an【解答过程】因为a1所以当n=1时,a1当n≥2时,a1(1)?(2)可得:2n?1an=2当n=1时,a1所以an=所以2n记数列2nan的前n则Tn所以2T①-②可得:?T所以?T所以Tn故答案为:2n23.(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)已知函数fx=4x4x+2,数列an满足【解题思路】由函数f(x)的解析式,求出数列{an}的通项公式,将n=2019代入即可得到a【解答过程】依题意,函数fx=4x4数列an满足a所以an=fnan设此数列前2019项的和S2019S2019S2019所以2S2019=1×2019故答案为:2019224.(24-25高二上·全国·课后作业)已知数列an的首项a1=1,且an+1+an=3?2n【解题思路】根据题意,推得an+1?2n+1=?an【解答过程】因为an+1+an=3×2n所以数列an?2n是首项为所以an?2可得2n+1?则Sn记Tn则?T由①-②得2T即2Tn=?3+2×记Mn=3×2所以Sn故答案为:n+1?题型7题型7数列不等式25.(24-25高二上·上海·期中)设Sn是数列an的前n项和,a1=14,且对任意正整数m,n,都有am+n=a【解题思路】根据给定条件,由任意性可得数列an为等比数列,求出公比及前n【解答过程】在数列an中,对任意正整数m,n,都有am+n=am则有an+1=a1?an则Sn=14[1?所以实数a的取值范围为a≥1故答案为:a≥126.(24-25高三上·重庆·阶段练习)在数列an中,a1=1,an+1=3an+4【解题思路】利用构造法分析得数列an+2是等比数列,进而求得an+2,从而将问题转化为k≥3n?5【解答过程】由an+1=3an+4故数列an+2为首项为3,公比为所以an则不等式kan+2≥3n?5可化为当n=1时,fn<0;当n≥2时,又fn+1则当n=2时,f3>f2,当n≥3所以fn≤f3=3×3?533故答案为:42727.(2024高二·全国·专题练习)在数列an中,a1=3,3a1a2+3a2a3【解题思路】在已知等式中用n?1替换n得另一等式(n≥2),两式相减得3anan+1,然后用累乘法求得通项公式an,不等式λ【解答过程】因为a1=3,3a所以当n≥2时,有3a两式相减可得3anan+1=当n=1时,3a1a2=1+所以an而a1=3也满足该式,故由于λan≥由于cn+1当n=4时,c4当n<4时,cn+1cn当n>4时,cn+1cn所以c1故数列cn最大项为c4=故答案为:3208128.(24-25高三上·上海·开学考试)已知数列an的通项公式是an=2n?1,记bm为an在区间m,2m【解题思路】分别谈论m为奇数和偶数时,bm+1?b【解答过程】由m≤2n?1<2m?当m为奇数时,bm当m为偶数时,bm所以当m为奇数时,bm+1?bm=2由2m?1?1>2062?当m为偶数时,bm+1?bm==由2m?1>2062?又m为偶数,所以m≥14综上可知:m的最小值为13.故答案为:13.题型8题型8新情景、新定义下的数列问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示29.(24-25高二上·湖南长沙·期中)若数列an满足1an+1?1an=d(n∈N?,d为常数),则称数列【解题思路】根据题设易知正项数列bn为等差数列,公差为d,应用等差数列前n项和公式得b1+【解答过程】由题意,正项数列1bn为“调和数列”,则bn+1所以正项数列bn为等差数列,公差为d则b1+b则b1b2022所以b1故答案为:100.30.(2024·北京通州·三模)若数列{bn}、{cn}均为严格增数列,且对任意正整数n,都存在正整数m,使得bm∈[cn,cn+1],则称数列①存在等差数列{an},使得{an②存在等比数列{an},使得{an③存在等差数列{an},使得{Sn④存在等比数列{an},使得{Sn【解题思路】对于①取an=n分析判断,对于②④取【解答过程】对于①:例如an=n,则{an}所以an+1?a故{an}取m=n(n+1)2,则am所以{an}是{对于②,例如an=2n?1>0,则{所以an+1?a故{an}取m=n+1,则am=a所以{an}是{对于③,假设存在等差数列{an},使得{Sn设等差数列{an}因为{an}又因为{Sn}为严格增数列,所以Sn+1?取n0∈N?,满足an又因为{S所以对任意正整数m≥n0+1,则有S对任意正整数m≤n0,则有Sm故当n=k+1时,不存在正整数m,使得ak+1对于④,例如an=2n?1>0,则{an所以an+1?a故{an}取m=n,则Sm=S所以{Sn}是{故答案为:①②④.31.(23-24高二下·安徽宿州·期中)定义np1+p2+?+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列an的前n项的“均倒数”为【解题思路】根据数列新定义可求得Sn=n2,继而求得an【解答过程】设数列an的前n项和为Sn,则nS当n=1时,a1当n≥2时,an=S故an所以bn=a故数列1bnbn+1的前故答案为:nn+132.(24-25高三上·北京朝阳·期中)对于无穷数列an,若存在常数M>0,使得对任意的n∈N?,都有不等式a2?a1①存在公差不为0的等差数列an具有性质P②以1为首项,qq<1为公比的等比数列an③若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P,则数列an④若数列an和bn均具有性质P,则数列an其中所有正确结论的序号是②③④.【解题思路】对于①,可使用反证法证明①错误;对于②,取M=q?1?11?q【解答过程】对于①,假设存在公差为dd≠0的等差数列an具有性质P,则存在常数使得对任意的n∈N?,都有不等式则对任意的n∈N?,都有但这对大于Md的正整数n对于②,设an是以1为首项,qq<1为公比的等比数列,则a所以正实数M=q?1?1a=q?1对于③,若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P,则存在常数使得对任意的n∈N?,都有不等式从而正实数a1+2M满足对任意的a==a对于④,若数列an和bn均具有性质P,存在常数M1都有不等式a2?a使得对任意的n∈N?,都有不等式从而正实数b1M1a≤≤k=1≤k=1≤=≤b故答案为:②③④.题型9题型9两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示33.(24-25高三上·辽宁·期中)已知直线y=x+t是曲线y=lnx?1和y=ax2?3x的公切线,则a+t【解题思路】利用导数的几何意义求解即可.【解答过程】令fx=ln因为直线y=x+t是曲线y=ln所以由f′x=1所以fx在2,0处的切线为y=x?2,所以t=?2又y=x?2是y=ax联立y=x?2y=ax2令Δ=16?8a=0解得a=2所以a+t=0,故答案为:0.34.(23-24高二下·湖北武汉·期中)已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex?1与g(x)=ex+2023【解题思路】设出公切线与两曲线的切点坐标,分别求出在切点处的切线方程,利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等即可求解.【解答过程】设直线y=kx+b与f(x)的图象相切于点P与g(x)的图象相切于点P2又f'(x)=e曲线y=f(x)在点P1x1曲线y=g(x)在点P2x2故ex解得x1故k=y故答案为:1.35.(2024·北京朝阳·一模)已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点Ax1【解题思路】利用导数的几何意义,结合条件可知,cos2【解答过程】f′x=即cos2x1?cos2x2=?1或cos2x1=?1cos2x所以x1?x2=?所以x1?x故答案为:π2(答案不唯一)36.(2024·河北邯郸·三模)若曲线y=ex与圆(x?a)2+y2=2【解题思路】易得曲线y=ex在点x0,y0处的切线方程为y?ex0=ex0x?x0,再根据切线与圆x?a2【解答过程】解:曲线y=ex在点x0由于直线y?ex0=e因为曲线y=ex与圆即方程e2令gx=e2xx?a?1显然,g′当x∈?∞,a?1时,g′x>0,当x∈a?1,a+2所以,gx在?∞,a?1上单调递增,在a?1,a+2且当x→?∞时,gx=x?a?12因此,只需ga?1>2g解得a>1.故答案为:1,+∞题型10题型10函数的单调性问题37.(24-25高三上·湖北武汉·阶段练习)已知函数fx=sin2π3,【解题思路】利用导数判断函数的单调性即可.【解答过程】f′x=令f′x=2cosx+12+当x∈0,2π3时,f′当x∈2π3,4π3当x∈4π3,2π时,f综上可知,函数fx的单调递减区间为2故答案为:2π38.(24-25高三上·河北张家口·阶段练习)已知函数fx=x2+x?2ex?2x+5【解题思路】根据题意可知y=f'x【解答过程】由题意知f'因为fx在区间2m?1,3m+2上不单调,即y=f'x在区间2m?1,3m+2有变号零点,又ex+2>0,所以所以x=1在区间2m?1,3m+2内,所以2m?1<13m+2>1,解得?13<m<1,即故答案为:?139.(2024高三·全国·专题练习)已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x,对任意x∈0,π,有f′xsinx>fxcosx,设a=2fπ6,【解题思路】构造函数Fx【解答过程】构造函数Fx=fxsin则x∈0,π时,所以函数Fx在0,于是Fπ即2fπ所以a<b<c,故答案为:a<b<c.40.(24-25高三上·安徽·开学考试)定义在R上的函数f(x)满足f(1?x)=f(1+x),当x∈[1,+∞)时,f(x)=12x2?x【解题思路】根据给定条件,可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,再利用导数求出f(x)在[1,+∞【解答过程】依题意,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈[1,+∞)时,f′(x)=x?ln函数f′(x)在[1,+∞)上单调递增,f′不等式f(3x?1)≥f(0)化为|3x?1?1|≥|0?1|,解得x≤13或所以不等式f(3x?1)≥f(0)的解集为(?∞故答案为:(?∞题型11题型11函数单调性、极值与最值的综合应用41.(23-24高三上·浙江绍兴·期末)设函数fx=x3+ax2?3x?ba,b∈R在x=x1,x=x2【解题思路】利用导数求函数的单调性及极值,结合韦达定理求参数a,再分类讨论b的范围计算即可.【解答过程】由已知得f′x=3可得Δ=4则x2可得fx=令f′x>0,解得x<?1或x>1;令f易知fx=x3?3x?b在?故当x∈0,2时,0,1上单调递减,1,2而f1当?b<0<2?b,即0<b<2时,M=f当b=0时,M=f当b≥2时,M=f当b<0时,M=f显然对于?b∈R,当b=0时,M故答案为:2.42.(23-24高二下·安徽合肥·阶段练习)若函数fx=13x3?x2【解题思路】求得函数的导数,判断单调性,确定函数极值,结合函数值情况,列出使得函数fx在区间?2,1+a【解答过程】由fx=1当x<0或x>2时,f′x>0;当0<x<2即fx=13x故x=0为函数的极大值点,且f0令fx=13x故要使函数fx=13x需满足0<1+a≤3,∴?1<a≤2,故答案为:(?1,2].43.(23-24高三下·浙江·开学考试)设x1,x2是函数fx=12ax2?e【解题思路】根据极值点定义可将问题转化为y=a与gx=exx有两个不同交点x1,x2;化简得到ex2?x【解答过程】∵f′x=ax?e∴x1,x2即ex1=ax1,ex2所以ex2?x1令?(t)=lntt?1令u(t)=1?1t?所以u(t)在[2,+∞)上单调递减,所以所以?(t)在[2,+∞)所以a=e令φ(x)=exx所以φ(x)在(0,ln2]故答案为:2ln44.(23-24高二下·北京·期末)已知函数fx①当a≥0时,y=fx在0,+②当0<a<12时,③当a≤0时,y=fx④若函数存在两个不同的极值点x1,x2,则其中所有正确结论的序号是②④.【解题思路】根据导函数的正负,即可判断①,极值点的定义,结合函数的单调性即可判断②③,根据极值点,构造函数ga【解答过程】fx=xf′当a≥0时,2x2?2x+a=2x?1若y=fx存在两个极值点;则2x2?2x+a=0有两个相异的正实数根,所以当a≤0时,令f′x=0,则2x2则x1x2当x∈0,x2所以fx在0,x2因此当x=x2时,由②知若函数存在两个不同的极值点x1,x2,0<a<1令ga由于y=2a,y=lna?1均为所以g′a=2a+lna?1为0<a<12故ga为0<a<12上的单调递减函数,当a趋近于0时,ga也趋向于于0,因此故答案为:②④.题型12题型12利用导数研究函数的零点(方程的根)45.(24-25高三上·山东济宁·期中)已知函数fx=x2?12lnx【解题思路】根据题意转化为fx=x2?12lnx【解答过程】因为函数fx=x2?12所以fx=x所以a>lnx2设gx=ln因为x>2,lnx2>0,可得1?所以gx在区间2,+∞上单调递减,所以gx所以,实数a的取值范围为[?2,+∞故答案为:[?2,+∞46.(23-24高二下·江苏苏州·阶段练习)已知函数f(x)=x?ex,x<1lnxx,x≥1,方程【解题思路】分x<1和x≥1两种情况,分别求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间与极值,从而得到函数图象,由方程fx【解答过程】因为fx当x<1时fx=x?e当x<?1时f′x<0,当?1<x<1所以fx在?∞,?1上单调递减,在?1,1上单调递增,fx在x=?1当x≥1时,fx=当1≤x<e时,f′x>0,当所以fx在1,e上单调递增,在所以fx在x=e取得极大值,令lnx=t,若x≥1,则t≥0,从而ln当t→+∞时,ln所以fx
方程fx由图可知当且仅当a∈?故答案为:?147.(23-24高三上·黑龙江鸡西·期末)已知函数fx=x2,x≤0xex?1,x>0,若关于x【解题思路】求得f′x=1?xe【解答过程】当x>0时,fx=x当x∈(0,1)时,f′x>0当x∈(1,+∞)时,f′x<0画出函数y=fx关于x的方程f2令fx=t,令则gx=0在则满足Δ=?m2所以实数m的取值范围为(1故答案为:(1
48.(2024·全国·模拟预测)已知函数fx=ex,x≤0lnxx,x>0【解题思路】题目转化为函数y=fx与函数y=x?a=x?a,x≥aa?x,x<a【解答过程】函数gx则函数y=fx与函数y=作出函数y=fx
当x≤0时,fx=ex,则故曲线fx=ex在x=0处的切线方程为当x>0时,fx=lnxx故曲线fx=lnxx在x=1综上所述:实数a的取值范围为?∞故答案为:?∞题型13题型13利用导数研究恒成立、存在性问题49.(24-25高三上·上海·期中)已知k为常数,若关于x的不等式(x?k)2exk≤1e对任意的x∈(0,+【解题思路】分析可知k<0,整理可得xk?12ex【解答过程】显然k≠0,若k>0,当x趋近于+∞,y=(x?k)2可知k<0,因为(x?k)2ex由x>0,可得xk<0,令t=x原题意等价于t?12et构建ft=t?1令f′t>0,解得t<?1;令f可知ft在?∞,?1则ft≤f?1所以实数k的取值范围为?1故答案为:?150.(24-25高二上·浙江宁波·期中)已知函数fx=5ex+alnx+1?a+5x?5,若【解题思路】就a>0、a≤0分类讨论,前者再就0≤a≤5,a>5分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围,后者结合常见的函数不等式可得恒成立,故可得参数的取值范围.【解答过程】当a>0时,f′设gx=5因为a>0,故y=5ex,y=?故g′x在若5?a≥0即0<a≤5,则g′x>0故gx在0,+∞上为增函数,故故fx为0,+∞上为增函数,故故0<a≤5符合,若5?a<0即a>5,此时g′0=5?a<0故存在x0∈0,且?x∈0,x0,g′x故?x∈0,x0,gx<g故fx当a≤0时,设sx=x?ln故sx在0,+∞上为增函数,故sx设tx=etx在0,+∞上为增函数,故tx而a≤0,故5e即5ex+alnx+1综上,a≤5,故答案为:a≤5.51.(24-25高三上·江西宜春·阶段练习)若关于x的不等式x2?mx+3m?2≥0在区间1,2上有解,则实数m的取值范围是?2,+∞【解题思路】分离参数可得m≥2?x23?x在区间【解答过程】∵x∈1,2∴不等式x2?mx+3m?2≥0,即m≥2?设g(x)=2?x2则g(x)=?令t=3?x,t∈1,2设?(t)=?t+7t?′(t)=?1?7t故?(t)min=?(1)=?2故要使m≥2?x23?x在区间即实数m的取值范围是?2,+∞故答案为:?2,+∞52.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数fx=lnx2+1,gx=【解题思路】根据题意得fx【解答过程】由题意,可得fx当?1≤x≤1时,f′由f′x<0,可得?1≤x<0,由f所以函数fx在?1,0上单调递减,在0,1上单调递增,所以f因为gx=1ex?a,所以所以0≥1e2?a,解得a≥1故答案为:1e题型14题型14利用导数研究双变量问题53.(23-24高二上·湖南郴州·期末)已知函数fx=12x2,gx=【解题思路】由f′x1=gx2得【解答过程】因为f′x=x,若f′令?x=3x?当x∈0,13时,?当x∈13,+∞时,?xmin=?故x2?x故答案为:1+ln54.(24-25高二·全国·课后作业)若函数fx=x3?3ax2+12xa>0【解题思路】根据极值点定义可知x1,x2为f′x=0的两根,由Δ>0可求得a>2,并得到韦达定理的形式;结合韦达定理将fx【解答过程】由题意知:fx的定义域为R,f∵fx有两个极值点x1,x2∴Δ=36a2?144>0,又a>0,解得:a>2∴fx1+fx2=x令ga=?4a∴当a>2时,g′a<0恒成立,∴g∴ga<g2=?4×8+24×2=16,则故答案为:?∞55.(2024·江苏南通·二模)已知函数fx=lnx,x≥11?x2,x<1,若Fx=f【解题思路】先运用分段函数的解析式,得出F(x)=f(f(x)+1)+m的解析式,再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得x1【解答过程】当x≥1时,f(x)=lnx≥0,∴f(x)+1≥1,当x<1,f(x)=1?x综上可知:F(x)=f(f(x)+1)+m=ln则f(x)+1=e?m,f(x)=e?m?1有两个根x当x≥1时,lnx2=e?m令t=e?m?1>12,则lnx2=t,x2设g(t)=et(2?2t),t>12,所以g′(t)=?2t∴g(x)的值域为(?∞,e),∴x故答案为:(?∞,e56.(2023·湖南郴州·模拟预测)已知函数fx=12x2+1?ax?xlnx有两个极值点x1,x2【解题思路】由f(x)有两个极值点x1,x2,得f′(x)有两个变号零点,构造函数?x=x?lnx?a,利用导数研究函数的性质,得函数的草图,利用草图列式可求出【解答过程】f(x)的定义域为(0,+∞),由已知得x1,x令?x=x?ln当x∈0,1时,?′x<0,,?(x)单调递减,当x∈1,+所以函数f′x在0,1上单调递减,在当x→0时,lnx→?∞,?ln当x→+∞时,lnx→?∞,?如图:由图可知,只需f′xmin即实数a的取值范围是1,+∞若3x1≥x2由已知a=x1?则tx1?x1所以lnx令mt=t+1令φ(t)=?2lnt+t?1所以函数φ(t)在t∈(1,3]上递增,又因为φ(1)=0,所以当t∈(1,3]时,φ(t)>0,即m′所以函数m(t)在t∈(1,3]上递增,所以m(t)≤m(3)=2ln所以lnx1+故答案为:1,+∞;2题型15题型15利用导数解决实际应用问题57.(23-24高二下·上海·期末)采矿、采石或取土时,常用炸药包进行爆破,部分爆破呈圆锥漏斗形状(如图),已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,它的值是固定的.当炸药包埋的深度为33R
【解题思路】先将圆锥的体积转化为关于深处?的关系式,再利用导数与函数性质的关系求得V的最大值点,从而得解.【解答过程】结合图形,可知圆锥的体积为V=1又因为R2=?所以V=13πR2令V′≥0,得0<?<33R所以V=13πR2所以在?=33R所以炸药包要埋在33故答案为:3358.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款,小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售,据测算每年利润y(单位:万元)与贷款x满足关系式y=lnx?x?12【解题思路】利用导数研究函数的单调性,利用单调性即可求出最值.【解答过程】依题意y=lnx?x?12y′=1所以当x=4时,y′当x∈0,4时,y′>0,函数y=当x∈4,10时,y′<0,函数y=所以当x=4万元时,函数取得最大值.故答案为:4.59.(24-25高三上·上海·阶段练习)如图,某城市公园内有一矩形空地ABCD,AB=300m,AD=180m,现规划在边AB,CD,DA上分别取点E,F,G,且满足AE=EF,FG=GA,在△EAG内建造喷泉瀑布,在△EFG内种植花奔,其余区域铺设草坪,并修建栈道EG作为观光路线(不考虑宽度),则当33时,栈道EG【解题思路】由题设有Rt△EAG≌Rt△EFG,设∠AEG=θ0<θ<π【解答过程】由題意,Rt△EAG≌设∠AEG=θ0<θ<π2在Rt△GDF中cos2θ=DG则EG=AG由于AG=90cos2令sinθ=t,t∈1010令f(t)=t?t3,则当f′(t)>0时t∈10当f′(t)<0时t∈3所以t=sinθ=33,故答案为:3360.(2024·广东茂名·二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD、BE均与圆C相切,切点分别为D、E,其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为2π3+5【解题思路】连接CD,CE,设∠CBE=∠CBD=θ,建立出需要修建的栈道的函数关系式,利用导数求出最小值.【解答过程】连接CD,CE,由半圆半径为1得:CD=CE=1.由对称性,设∠CBE=∠CBD=θ,又CD⊥BD,CE⊥BE,所以BE=BD=CDtanθ易知∠MCE=∠NCD=θ,所以ME=ND的长为又AC=3,故AB=AC?BC=3?1sinθ令sinθ0=13且θ所以f′θθππf-0+f单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值fθ故答案为:2π题型16题型16导数中的新定义问题61.(23-24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习)对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0给出定义:设f′x是函数y=fx的导数,f″x是函数f′x的导数,若方程f【解题思路】对已知函数两次求导数,由题意可得函数关于点(12,1)对称,即【解答过程】解:由题意,f′x=由f″(x)=0,得2x?1=0,解得x=1所以函数f(x)关于点(12,所以f(x)+f(1?x)=2,f12013+f故答案为:2012.62.(2024·全国·模拟预测)定义:设函数y=fx在a,b上的导函数为f′x,若f′x在a,b上也存在导函数,则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数,简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0,则称函数y=fx【解题思路】根据题意对函数y=fx求二阶导函数y=f″x,令f″【解答过程】∵f∴∴∵fx=ln∴f″x∴2m>ex(1+设g(x)=ex(1+则g(x)=当且仅当x=0时取得最大值14,∴2m>∴m>故答案为:m>163.(23-24高二下·吉林·期中)已知函数f(x)的导数为f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′①f(x)=x2
②f(x)=e?x
③【解题思路】结合“巧值点”的定义,逐个求解fx【解答过程】对于①,f′(x)=2x,令x2=2x,得对于②,f′(x)=?e对于③,f′(x)=1x,令lnx=函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数g(x)在(1,2)上有零点,③有“巧值点”;对于④,f′(x)=1cos2所以给定函数中有“巧值点”的是①③.故答案为:①③.64.(23-24高二上·全国·期末)如图,对于曲线G所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角α,使得对于曲线G上的任意两个不同的点A,B,恒有∠AOB≤α成立,则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C:y=xex-1+1,x>0,116x2+1,【解题思路】利用导数的几何意义,求出x>0时,过原点且与y=xex?1+1相切的切线斜率,以及过原点且与【解答过程】当x>0时,过原点作y=xe设切点A(x1,x1则切线方程为y?x又切线过点0,0,所以?所以x1设gx=x2ex?1当x<0时,过原点作y=1设切点Bx2,1则切线为y?116所以?116x22因为k1k2故答案为:0.
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