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电路方程的矩阵形式目录CATALOG(

)13.1割集13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵13.3回路电流方程的矩阵形式13.4节点电压方程的矩阵形式13.5割集电压方程的矩阵形式13.6状态方程13.7应用案例——计算机辅助电路分析

(

，★)(

，★)(

)复杂电路-计算机求解-宜用矩阵形式知

识

图

谱13.1割集割集定义

割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：

1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)，将图

分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}注意：1.同一割集中每一条支路只能被切割一次。割集的确定123

654n-1基本割集只含有一个树枝及相应连支的割集。割集数＝n-1Q1、Q2、Q3的支路集合为{1，2，4}、{1，2，3，5}、{2，3，6}。2.属于同一个割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个

割集的所有支路都连接在同一个节点上，则割集的KCL

方程变为节点上的KCL方程。思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？

2.如何选择基本割集？3.割集和节点的关系是什么？

4.属于同一割集的所有支路的电流是否满足KCL？

13.2关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示：节点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵ajk=

1有向支路k

背离

j节点。

-1有向支路k指向

j节点。

0有向支路k

与j

节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}n

b节点数支路数Aa=1234

1234567

支路节点

111

0

000

0

0

-11100

0000

-1-11

-1

-1

0-1

01-1设④为参考节点，划去第4行。

称A为降阶关联矩阵

(n-1)

b

，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

关联矩阵1234567①②③④A=123

1234567

支路节点

111

0

000

0

0

-11100

0000

-1-11(1)KCL的矩阵形式以节点④为参考节点n-1个独立方程矩阵形式的KCL：Aib

=0用关联矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567①②③④(2)KVL的矩阵形式=úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu矩阵形式1234567①②③④1支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定：(1)割集方向与树支方向相同。Qf={qjk}n-1

b基本割集数支路数选2、3、6为树支，连支为1、4、5、7。Q1Q2Q3Qf

=2361457支路割集1001110

0100-1

-10=[1

Ql]

0010

0

1-1QtQlQ1:{1,2,4,5}Q2:{3,4,5}Q3:{5,6,7}基本割集矩阵1234567Q2Q1Q3Q1Q2Q3Q=1234567支路割集1101100

001-1-1

00

000011-1矩阵形式的KCL：矩阵形式的KCL：Qib

=0

(1)KCL的矩阵形式取(2，3，6)为树，1234567Q2Q1Q3用割集矩阵Q描述的基尔霍夫定律的矩阵形式电路中的(n-1)个树支电压可用(n-1)阶列向量表示，即(2)KVL的矩阵形式1234567Q2Q1Q3选2、3、6为树支，连支为1、4、5、7。=[1

Bt]Bf={bjk}l

b基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k

与回路j关联，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=基本回路矩阵1234567l3

l4l2l11234B=1234567支路回路1-100000

0-111000

0-1101-10

00000111234Bf

=1457236支路回路1000-100

01

0

0

-1

10

0010-1

1-1

0001001BlBt(1)KCL的矩阵形式独立回路电流矩阵形式的KCL：ib=BTil1234567l3

l4l2l1用回路矩阵B描述的基尔霍夫定律的矩阵形式l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bub=0(2)KVL的矩阵形式1234567l3

l4l2l1QQi=0QTut=u

小结：

ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=01．如何借助树和割集建立一组独立的KCL方程？答：先确定一个树，然后确定一组单连支回路，对所有的单连支

回路列KVL方程，就获得一组独立的KVL方程。答：先确定一个树，然后确定一组单树枝割集，对所有的单树枝

割集列KCL方程，就获得一组独立的KCL方程。2.如何借助树列写一组独立的KVL方程？13-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以节点⑤为参考节点，其余4个节点为独立节点的关联矩阵A为应用举例

(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单连支回路矩阵Bf为⑤123456789①②③④(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单树支割集

矩阵Qf为⑤123456789①②③④1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关联性质？2.对于一个含有n个节点b条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？

检验学习结果3.对于一个含有n个节点b条支路的电路，割集矩阵反映了什么关联性质？

4.对于一个含有n个节点b条支路的电路，用矩阵A、Qf、Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？13.3

回路电流方程的矩阵形式第k条支路(不允许无伴电流源支路)

独立电流源，其参考方向和支路方向相反。支路电压、支路电流，取关联参考方向。复合支路

Zk

独立电压源，其参考方向和支路方向相反。

单一元件阻抗(Rk、jωLk、jωCk)。

阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同。1?1.无互感、无受控源：

按定义写开

Zk

支路方程的矩阵形式Z：支路阻抗矩阵=diag[Z1，Z2，...Zb]2.有互感、无受控源：

设k-j支路有耦合关系，把有耦合的支路编序在一起

（设两个电流都为流入同名端）：仍可统一写为：Z：对角线上仍为支路阻抗、

非对角线元素为相应支路间的ZM。互阻抗前的“±”，电流流入同名端的对应取“＋”，反之取“－”。

13.3

回路电流方程的矩阵形式列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给支路编号，选树。(2)写出支路阻抗矩阵Z(s)和回路矩阵B。按标准复合支路的规定写出支路电压列向量(4)写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式或(3)求出回路阻抗矩阵。3.含受控源而

Z：支路阻抗矩阵不再是对角阵。非对角线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：

Zk

kj取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式

支路电压与支路电流的关系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩阵方程（回路电压源列相量）Zl（回路阻抗阵）回路电流方程的矩阵形式13-2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域表达式。例：解：12435

(1)画出有向图，给支路编号，选树(1,4)。(2)

应用举例

R1C2L3L5uS4uS5**M++--(3)

计算Z(s)UlS(s)。矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为R1C2L3L5uS4uS5**M++--12435思考回答

1.什么是复合支路？

2.矩阵形式回路电流方程的列写中，若电路中含有无伴电流源，将会有何问题？13.4

节点电压方程的矩阵形式KCLAi=0KVLu=Atun元件特性方程VCR

列方程依据—

元件电流—

支路电流—

受控电流—

支路的复导纳(阻抗)

—

支路电压—

独立电压源—

独立电流源按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在“纯电压源支路”。复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。复合支路Zk

(Yk)+-+-规定每个支路必须有一个阻抗KCL支路方程：节点电压方程的矩阵形式

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS

Yn

.Un

.

=Jn

节点导纳矩阵独立电源引起的流入节点的电流列向量

AY

.U

.-AIS=0

.+AYUS13-3列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向图，选参考节点；(2)写关联矩阵A、独立电源列相量和支路导纳矩阵；应用举例

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AISjωL11jωL21R31R41R51jωC6Y=diag[,,,,,]

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jωL11-jωL11-R41-jωL11jωL11+jωL21+jωC6-jωL21-R41-jωL21R41+R51+jωL21L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.写出矩阵形式节点电压方程的表达式4.写列向量小结列写节点电压方程矩阵形式的步骤如下：

Yn

.Un

.

=Jn

1.节点电压方程的矩阵形式的一般步骤是什么？

2.矩阵形式节点电压方程的列写中，若电路中含有无伴（无串联电阻）电压源，将会有何问题？想想练练？13.5

割集电压方程的矩阵形式取割集(树支)电压为未知变量。割集方程矩阵形式

Yt割集导纳阵元件特性：

-

-标准支路

Yt

.Ut

.

=Jt

割集电压法是节点电压法的推广。元件特性方程VCR

规定每个支路必须有一个阻抗例：应用举例

13-4以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设L3、L4、C5的初始条件为零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)选1、2、3为树支，3个单树支割集如虚线所示，树支电压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割集的方向。基本割集矩阵Qf

为:iS2R2R1L4L3C5iS1解：f电压源和电流源列向量分别为（运算法）：支路导纳矩阵为：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS131245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1则割集电压方程的矩阵形式为：应用举例

例：解：13-5按给出的有向图和树(实线)，列写图示电路的割集电压方程。gmu2iS1R1R2u2+-C2L3R5L6124356选3、4、6为树支，3个树支电压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割集的方向。电路中没有独立电压源，为0向量。电压源和电流源列向量分别为：gmu2iS1R1R4u2+-C2L3R5L6124356gmu2iS1R1R2u2+-C2L3R5L6124356则割集电压方程的矩阵形式为：由此可得：(1)两个割集互导中的公共支路若同时与两个割集同(或反)方向，该支路电导取正号，反之取负号。

因为每一树支只能出现在本割集中，所以割集互导不可能包含树支，全部由连支构成。任一连支若是某两单树支割集的共有支路，则该两树支必包含在这个连支的单连支回路中，则：当沿着树绕行，两个树支方向相同时其割集互导为正，反之为负。

(2)当电压源正极性对着该割集方向时取正号，反之取负号。检验学习结果

1.列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是什么？2.节点电压方程和割集电压方程有何区别和联系？13.6状态方程——分析动态电路的另一种方法状态变量和状态方程原因1：方程列写上的需要usR1CL1L2R2is-+uCiL2iL1iR+-iC原因2：容易描述多输入多输出系统13.6状态方程——分析动态电路的另一种方法1.状态变量：描述电路的一组最少数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入(激励)已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。状态变量和状态方程称这一组最少数目的变量为状态变量。[y(t)]t

t0确定[x(t0)][e(t)]

t

t0

已知输出变量:uL,iC,uR,iR。选uC，

iL

为

状态变量。解：由uL(0+)=7ViC(0+)=-1.5AiR(0+)=1.5AuR(0+)=3V例

RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

RuLCe(t)+-3ViLiCuR+-+-+-LiR2

推广至任一时刻t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-

uC(t1)/R

iR(t1)=uC(t1)/R

可由

可见当t=t1时uC

，

iL

和t

t1后的输入e(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题：如何求出t1时刻的状态变量。2.状态方程求解状态变量的方程。设选uC

,iL

为状态变量列微分方程改写为称为状态方程。RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。矩阵形式状态方程的特点：（1）是一阶微分方程组；（2）左端为状态变量的一阶导数；（3）右端仅含状态变量和输入量。[x]=[x1

x2

xn]T式中：

一般形式：

\n

n\n

mn1m13.输出方程特点：(1)代数方程；

(2)用状态变量和输入量表示输出量。一般形式：uL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/R

iR(t)=uC(t)/R

电路中的输出量可由状态变量和激励表示RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

[y]=[C][x]+[D][v]

RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR选uC,iL为状态变量，列微分方程。整理得：状态方程1.直观法13-6电路图如图所示，选uC，iL为状态变量，列写状态方程。解：例：应用举例状态方程的列写矩阵形式：(4)把状态方程整理成标准形式。对于简单的网络，用直观法比较容易，列写状态方程的步骤为：(1)选择独立的uC和iL作为状态变量；(2)对只接有一个电容的节点列写KCL方程；

对只包含一个电感的回路列KVL方程；(3)列写其他必要的方程，消去方程中的非状态变量；直观编写法的缺点：1)编写方程不系统，不利于计算机计算。

2)对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2.拓扑法

在树支中

在连支中(3)对包含电容的单树支割集列写KCL方程；(4)对包含电感的单连支回路列写KVL方程；(1)线性电路以iL，uC为状态变量。(2)每个元件抽象为一条支路，选一个树使

基本思想CRtuS+-RlLiS常态树（特有树）(5)列写其他必要的方程，消去非状态变量；(6)整理并写出矩阵形式。13-7列写如下图所示电路的状态方程。解：例：+_1F+_+__uSiSuiLiC1

1

对图示的两个树支，按基本割集列写KCL方程对图示的两个连支，按基本回路列KVL方程应用举例

整理得：矩阵形式状态方程为：检验学习结果

1.状态方程系统列写法的步骤是什么？

2.如何选取特有树？13.7应用案例——计算机辅助电路分析

电路的矩阵表示

用计算机程序分析电路时，应根据电路图写出这些电路数据，在程序运行时，从键盘将这些数据输入计算机，或者将这些数据先存入到某个数据文件(例如D.DAT)中，让计算机从这个文件中自动读入这些数据。13-11用DCAP程序对图13-21所示电路进行分析。-----电压，电流和功率-----节点电压V1=8.000V2=1.000V3=3.000各支路吸收功率之和P=.0000解：例：应用举例

运行DCAP程序，读入图(b)所示电路数据，选择菜单中的功能代码2，可得到各节点电压，各支路电压、电流和吸收功率：小结：看看记记一、割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。

3.这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。

对于一个具有n个节点，b条支路的连通图G，独立割集的数目等于树支

数，为(n－1)。123

654二、关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=

1有向支路k

背离

j节点。

-1有向支路k指向

j节点。

0有向支路k

与j

节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}n

b节点数支路数643521①②④③Aa=1234

123456

支节

100

-101

-1

-11000

0100

-1-1

00

-11

10设④为参考节点，划去第4行。

-1-11000A=123

123456

支节

100-101

0100

-1-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)

b

，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

1支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定：(1)割集方向与树支方向相同。2.基本割集矩阵：Qf={qjk}n-1

b基本割集数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。Q1Q2Q3Qf

=456123支路割集100-1-10

01011

-1=[1

Ql]

0010

-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6543.基本回路矩阵：选4、5、6为树支，连支为1、2、3。B1B2B3Bf

=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101

-1BlBt123

654l3l2l1Bf

={bjk}l

b基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k

与回路j关联，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=B1:{1,4,5}B2:{2,4,5,6}B3:{3,5,6}QQi=0QTut=u

小结：

ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=01．如何借助树和割集建立一组独立的KCL方程？答：先确定一个树，然后确定一组单连支回路，对所有的单连支

回路列KVL方程，就获得一组独立的KVL方程。答：先确定一个树，然后确定一组单树枝割集，对所有的单树枝

割集列KCL方程，就获得一组独立的KCL方程。2.如何借助树列写一组独立的KVL方程？三、回路电流方程的矩阵形式四、节点电压方程的矩阵形式1.根据已知电路，画出有向图，写出关联矩阵A；2.写支路导纳矩阵Y，电源列向量

.

=AIS

.-AYUS

Yn=AYAT；1.根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵B；2.写出支路阻抗矩阵Z，电源列向量4.列出回路方程；；。3.求出回路阻抗矩阵；3.求出节点导纳矩阵

4.用矩阵乘法求得节点方程。

Yn

.Un

.

=Jn

五、割集分析法线性电路以iL,uC为状态变量，列写步骤：六、状态方程的列写

1.选择一个树，也称为特有树，包含电容和电压源，

而不包含电感和电流源；

2.对包含电容的单树支割集列写KCL方程；

3.对包含电感的单连支割集列写KVL方程；

4.列写其他必要的方程，消去非状态变量；

5.整理并写出矩阵形式。

Yt=QYQT；3.求出割集导纳矩阵

4.用矩阵乘法求得割集方程。

.

=QIS

.-QYUS

Yt

.Ut

.

=Jt

1.选定一个树，写出Q；2.写支路导纳矩阵Y，电源列向量；能力检测题1．图(a)以节点4为参考节点，图(b)以节点5为参考节点，写出13-1图所示有向图的关联矩阵A。(a)123456解：(b)123456782．下图所示有向图，若选支路1、2、3为树支，写出基本回路矩阵和基本割集矩阵。(a)456123解：(b)1234563．电路如下图所示，列出矩阵形式的回路电流方程。R1R2-+1①②③④2345l2l1

1

2

3

45解：R1R2-+1①②③④2345l2l14．用矩阵形式列出电路的回路电流方程：(1)L2和L3之间不含互感；(2)L2和L3之间含有互感。15243(1)选支路1、4、5为树支，支路2、3为连支，则基本回路矩阵为：解：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-代入(2)L2和L3之间含有互感时，只有支路阻抗阵和(1)不同，电流流进互感同名端，则+US5R5R1L2L3C4IS1123M-则回路电流矩阵方程为：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0解：

5．列写如图所示电路的节点电压方程。(1)L2和L3之间不含互感；(2)L2和L3之间含有互感。(1)123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0从[Yn]可知，[Yn]主对角线上的元素为节点自导纳,恒为正值，主对角线外的元素为节点之间的互导纳，恒取负值。等式右边为节点电流源流进的电流(流入为“+”)。(2)L2和L3之间有互感。123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123M-解：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-则

3451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2C51

2345

6．电路如下图(a)所示，图(b)是它的有向图。设的初始条件为零，试用运算形式列写出该电路的节点电压方程。、、解：L3iS5(a)L4G1G2C53451①②③④2(b)7．电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩阵形式。(设电感电容的初始条件为零)(1)作出电路的有向图，如图(b)所示，选支路1、2、3为树支。(3)由于电源中不含受控源，所以支路导纳矩阵为一对角阵L4R1R1C5L3C6R2L3(a)152436(b)123456解：(2)由图(b)可写出基本割集矩阵(4)求割集电压方程得:电压源和电流源列向量分别为:L4R1R1C5L3C6R2L3(a)152436(b)8．选uC,i1,

i2为状态变量，列写状态方程。R1

-+uSCuCiSiRR2i2L2L1

-+i1解：