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第六章平面图形的初步认识6.2《角》第2课时补角、余角

一、教学目标1.在情境中理解补角、余角等概念，掌握同角（或等角）的补角相等、同角（或等角）的余角相等；2.经历"观察、操作一探索、猜想﹣推理（有条理地表达）"的过程，发展空间观念和推理能力.

二、学习目标了解补角、余角，知道同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等；能利用同角（或等角）的补角相等、同角（或等角）的余角相等的性质进行简单的计算和说理；从数学的角度提出问题、理解问题，锻炼克服困难的意志.

三、教学重点补角、余角的认识及应用．

四、教学难点运用补角、余角的性质解决相关问题.

五、教学过程一、情境导入如图1，将一三角板(尺)的直角顶点放在直线l上(三角板和直线在同一平面内)，随意绕该顶点在同一平面内转动三角板(三角板总在直线的上方)，问∠1与∠2的和是否会发生变化?如图2，将一条线段的一个端点放在直线l上，随意绕该顶点在同一平面内转动线段(线段总在直线的上方)，问∠3与∠4的和是否会发生变化?答：∠1与∠2的和不会发生变化，都等于90°.∠3与∠4的和不会发生变化，都等于180°.师生活动：让学生先自己思考，再相互说一说.设计意图：引发学生对数学活动的思考和对数学的求知欲，通过两个角的度数之和等于180°，90°直接引入补角、余角的概念．新知探究如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角(supplementaryangle)，简称互补.例如，∠1=60°，∠2=120°，∠1+∠2=60°+120°=180°，则∠1和∠2互为补角.如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角(plementaryangle)，简称互余.例如，∠3=20°，∠4=70°，∠3+∠4=20°+70°=90°，则∠3和∠4互为余角.判断对错：1.90度的角叫余角，180度的角叫补角.（）2.若∠1＋∠2＋∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角.（）3.如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角.（）4.互补的两个角不可能相等.（）答：错，错，错，错师生活动：老师提问，学生举手回答问题．设计意图：教学中，在说明"互为"这个词时，应注意与前面学习过的"互为相反数""互为倒数"等概念相联系，互补、互余的角总是成对出现的；同时要注意，互补、互余是指两角在数量（度数）之间存在着的一种特殊的关系，并没有反映它们之间的位置关系，要避免学生误认为互为余角、互为补角的两个角一定有公共顶点和公共边.问题：如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角，那么∠β与∠γ有怎样的数量关系?因为∠α与∠β互为补角，即∠α+∠β=180°，所以∠β=180°－∠α.同理，∠γ=180°－∠α.所以∠β=∠γ.于是，我们得到如下结论:同角(等角)的补角相等.类似地，可以得到:同角(等角)的余角相等.设计意图：将同角（等角）的补角相等的证明过程中的180°替换为90°，即可得到同角（等角）的余角相等．教学时，引导学生类比说明.活动：在桌面上，分别把一副三角板摆成如图的位置，判断∠α与∠β有怎样的关系.答：∠α与∠β互为余角.∠α＋∠β=90°.∠α与∠β互为补角.∠α＋∠β=180°.师生活动：让学生先自己思考，再相互说一说.设计意图：通过直观形象的操作实践，引导学生观察思考图中∠α与∠β度数之间的关系，强化补角、余角的概念．三、应用举例：例1.已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°.求∠α，∠β的大小.答：根据题意，得∠β=∠α＋30°.因为∠α与∠β互为补角，即∠α＋∠β=180°，所以∠a＋(∠a＋30°)=180°.所以∠α=75°，∠β=75°＋30°=105°.师生活动：让学生先独立思考完成，投影展示，全班校对.设计意图：利用补角的概念，建立方程进行求解.本题并没有给出图示，深化对互补、互余是指两角之间特殊的数量关系而非位置关系的理解.例2.填表：∠α的度数50°n°（0＜n＜90）∠α的余角45°∠α的补角120°想一想，同一个锐角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？答：40°，130°；45°，135°；60°，30°；90°－n°，180°－n°.同一个锐角的补角比它的余角多90°。师生活动：表格老师提问，学生举手回答问题．再小组讨论，探究数量关系.设计意图：让学生经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动，引发学生思考.四、课堂练习1.判断对错：（1）钝角没有余角，但一定有补角。（）（2）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（）（3）如果∠1=25°，∠2=75°，那么∠1与∠2互为余角.（）（4）如果∠A=x°，∠B=(90x)°，那么∠A与∠B互余.（）2.下列说法正确的是()A.互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角B.在三角形中，互余的两个角一定都是锐角C.平角就是一条直线D.若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A，∠B，∠C三角互补3.填空：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°62°23′70°39′x4.已知∠α=73°，求∠α的补角和余角.5.如图，∠AOC与∠COB互为余角，∠COB与∠BOD互为余角，∠BOC=52°.求∠AOD的大小.答：1.对，错，错，对2.B3.85°，175°，58°，148°，27°37′，117°37′，19°21′，109°21′，90°－x，180°－x4.∠α的补角为180°－73°=107°，∠α的余角为90°－73°=17°.5.因为∠AOC与∠COB互为余角，所以∠AOC=90°－∠COB=38°.因为∠COB与∠BOD互为余角，所以∠COB＋∠BOD=90°.所以∠AOD=∠AOC＋∠COB＋∠BOD=128°.师生活动：学生独立完成，教师批阅.设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.五、课堂小结设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.六、课后作业1.完成课本上的相关练习题；2.布置一个观察任务，让学生在家中继续寻找生活中的数学，下节课分享.

六、教学反思1.实例引入：在上一课时两角和差内容的基础上，通过两个角的度数之和等于180°，90°这样的特殊值，直接引入补角、余角的概念.2.探索活动：教学时要注意，互补、互余是指两角在数量（度数）之间存在着的一种特殊的关系，并没有反映它们之间的位置关系．对于这个问题，可引导学生思考：同一块三角板上的两个锐角互余吗？教师在讲台上画一个角，一名同学在座位上画一个角，如果这两个角的和为90°，这两个角互余吗？同座位的两名同学各画一个角，如果这两个角的和为180°，这两个角互补吗？3.例题教学："图形与几何"计算题的解题过程中蕴含着推理要求，教学时应让学生逐步熟悉这个要求．教材上例题的说理过程，共分为三个层次：①由题意，得∠α与∠β的关系式；②由补角的定义，得∠α＋∠β=180°；③运用等量间的代换关系，得到关于∠α的等式并求解．4.小结思考：(1）两角互补、两角互余的条件是什么？(2）反思补角、余角性质的探索过程，感悟推理是经历"观察、操作一探索、猜想"等认识过程后的必然延续.通过这样的生活观察和教学反思，我们可以使数学教学更加生动有趣，同时也能帮助学生建立起数学思维，提高他们的数学素养.