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PAGE1-第1节集合的概念与运算考试要求1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对详细问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简洁集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；5.能运用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.知识梳理1.集合的概念(1)肯定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等.(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.(5)特殊地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.2.集合间的基本关系(1)子集：假如集合A的随意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A?B或B?A.(2)真子集：假如A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.(3)空集：空集是任何集合的子集.(4)相等：假如两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为S，则集合A的补集为?SA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈S，且x?A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?SA)＝?，A∪(?SA)＝S，?S(?SA)＝A.[常用结论与微点提示]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.3.留意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的探讨.4.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??SA??SB.5.?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB).诊断自测1.推断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于随意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.()解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.(3)错误.当x＝1时，不满意集合中元素的互异性.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(新教材必修第一册P9T1(1)改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，则()A.a∈P B.{a}∈PC.{a}?P D.a?P解析因为a＝2eq\r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq\r(2021)的自然数构成的集合，所以a?P，只有D正确.答案D3.(教材必修1P13练习T6)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.解析集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，则A∩B中有两个元素.答案24.(2024·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A.{－1，0，1} B.{0，1}C.{－1，1} D.{0，1，2}解析因为B＝{x|x2≤1|}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}.答案A5.(2024·全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，则A∩(?UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)解析由题意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知?UB＝{x|x<1}，∴A∩(?UB)＝{x|x<1}.答案A6.(2024·青岛模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，假如P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x<2}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<1}解析由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，∴P－Q＝{x|0<x<1}.答案D考点一集合的基本概念【例1】(1)定义P⊙Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z|z＝yx＋\f(x,y)，x∈P，y∈Q))，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，则P⊙Q＝()A.{1，－1} B.{1，－1，0}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(3,4))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围为________.解析(1)由定义，当x＝0时，z＝1，当x＝－2时，z＝1－2＋eq\f(－2,1)＝－1或z＝2－2－1＝－eq\f(3,4).因此P⊙Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(3,4))).(2)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.答案(1)C(2)(1，2]规律方法1.探讨集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满意的限制条件是什么，从而精确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要留意检验集合中的元素是否满意互异性.【训练1】(1)(2024·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4(2)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k－1?A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.解析(1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素.(2)依题意可知，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”时，这三个元素肯定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.答案(1)A(2)6考点二集合间的基本关系【例2】(1)(2024·苏州调研)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B?A，则实数a的全部可能取值的集合为()A.{－1} B.{1}C.{－1，1} D.{－1，0，1}(2)(2024·苏、锡、常、镇四市调研)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋2m2<0(m>0)}，若B?A，则实数m的取值范围为()A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)解析(1)当B＝?时，a＝0，此时，B?A.当B≠?时，则a≠0，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a))).又B?A，∴－eq\f(1,a)∈A，∴a＝±1.综上可知，实数a全部取值的集合为{－1，0，1}.(2)由x2－3x－4>0得x<－1或x>4，所以集合A＝{x|x<－1或x>4}.由x2－3mx＋2m2<0(m>0)得m<x<2m.又B?A，所以2m≤－1(舍去)或m≥4.答案(1)D(2)B规律方法1.若B?A，应分B＝?和B≠?两种状况探讨.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满意的关系.解决这类问题经常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满意的条件时，肯定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.【训练2】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A.M＝N B.M?NC.M∩N＝? D.N?M(2)(2024·苏北四市调研)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，则实数a的取值范围为()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－∞，3]解析(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M.(2)由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，即B＝(a－2，a＋2).因为A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3].答案(1)D(2)B考点三集合的运算多维探究角度1集合的基本运算【例3－1】(1)(2024·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(?UA)＝()A.{1，6} B.{1，7}C.{6，7} D.{1，6，7}(2)(2024·南通一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|lnx<2}，则?U(A∩B)＝()A.{x|x>4} B.{x|x≤0或x>4}C.{x|0<x≤4} D.{x|x<4或x≥e2}解析(1)由题意知?UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(?UA)＝{6，7}.(2)易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|0<x<e2}，则A∩B＝{x|0<x≤4}，故?U(A∩B)＝{x|x≤0或x>4}.答案(1)C(2)B角度2抽象集合的运算【例3－2】设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由图可知，若“存在集合C，使得A?C，B??UC”，则肯定有“A∩B＝?”；反过来，若“A∩B＝?”，则肯定能找到集合C，使A?C且B??UC.答案C规律方法1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再探讨其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特殊留意端点是实心还是空心.【训练3】(1)(角度1)(2024·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?RB)＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}(2)(多选题)(角度1)已知集合A＝{x∈N||x|≤1}，B＝{x∈Z|y＝eq\r(x＋1)·eq\r(3－x)}，则()A.A∩B＝A B.A∪B＝BC.?BA＝{－1，2，3} D.?BA＝{x|1＜x≤3}(3)(角度2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1} B.{－1，0}C.{－1，1} D.{0}解析(1)因为B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x<1}.(2)易知A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}＝A，A∪B＝B，?BA＝{－1，2，3}，故A，B，C正确.(3)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U(A∪B)＝{0}.答案(1)B(2)ABC(3)DA级基础巩固一、选择题1.(2024·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A.{x|－4<x<3} B.{x|－4<x<－2}C.{x|－2<x<2} D.{x|2<x<3}解析M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}.答案C2.(2024·浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(?UA)∩B＝()A.{－1} B.{0，1}C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}解析由题意，得?UA＝{－1，3}，∴(?UA)∩B＝{－1}.答案A3.(多选题)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集可以为()A.? B.{1} C.{3} D.{1，3}解析由题意，得B＝{－1，1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}.故集合A∩B的子集可以为?，{1}，{3}，{1，3}.答案ABCD4.设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))，则()A.MN B.NMC.M＝N D.M∪N＝R解析集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.答案C5.设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是()A.(?RA)∩B＝{x|x<－1}B.A∩B＝{x|－1<x<0}C.A∪(?RB)＝{x|x≥0}D.A∪B＝{x|x<0}解析易求?RA＝{x|x≤－1或x>2}，?RB＝{x|x≥0}，∴(?RA)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.A∩B＝{x|－1<x<0}，B项正确，检验C、D错误.答案B6.已知集合M＝{x|y＝eq\r(x－1)}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则?R(M∩N)＝()A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞)C.[0，1] D.(－∞，0)∪[2，＋∞)解析由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴?R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}.答案B7.(2024·日照一中月考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(1，＋∞)解析由题意可得3a－1≥1，解得a≥eq\f(2,3)，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).答案C8.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满意M?(A∩B)的集合M的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∴A∩B＝{(2，－1)}.由M?(A∩B)，知M＝?或M＝{(2，－1)}.答案C二、填空题9.(2024·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.解析由交集定义可得A∩B＝{1，6}.答案{1，6}10.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.解析由已知得B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，故集合A∪B中元素的个数为6.答案611.已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________.解析A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠?时，若B?A，如图.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.综上，m的取值范围为(－∞，4].答案(－∞，4]12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(?UB)＝________.解析由题意，得集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因为log3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3，解得－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，从而?UB＝{x|x<－1或x≥2}，故A∩(?UB)＝{x|x<－1或x≥2}.答案{x|x<－1或x≥2}B级实力提升13.(2024·启东月考)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则()A.A∪B＝? B.B?AC.A∩B＝{0} D.A?B解析由题意，得A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|3x2＋6x＝1}＝{0，－6}，A∪B＝{x|x＝－6或－4<x<4}，A∩B＝{0}，故A错误，明显B、D错误，故C正确.答案C14.已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]C.[－2，1] D.[2，＋∞)解析集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B?A.又B≠?，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.答案C15.(多填题)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案－1116.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴?UB＝[1，＋∞)，A∩(?UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}.答案[1，2)C级创新猜想17.(多选题)设非空集合A为实数集的子集，若A满意下列两个条件：(1)0∈A，1∈A；(2)对随意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，xy∈A，eq\f(x,y)∈A(y≠0).则称A为一个数域.则下列命题正确的是()A.有理数集Q是一个数域B.若A是一个数域，则Q?AC.若A，B都是数域，则A∩B也是一个数域D.若A，B都是数域，则A∪B也是一个数域解析由数域的定义可得有理数集Q满意定义，是一个数域，故A正确；若A为一个数域，则A中包含随意整数和分数，故Q?A，故B正确；若A，B都是数域，则Q?(A∩B)，故A∩B中的元素均满意定义，故A∩B也是一个数域，故C正确；若A，B都是数域，则Q?(A∪B)，故A∪B中的元素均满意定义，故A∪B也是一个数域，故D正确.答案ABCD18.(多填题)对于随意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.解析由题意，得A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3<x<3}，∴A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}.因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}.答案{x|－3<x<0}{x|－3<x<0或x≥3}